Страница 234 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1144. Вычислите:

а) $\frac{45 \cdot 56 + 45 \cdot 14}{70 \cdot 72}$;

б) $\frac{38 \cdot 53 - 38 \cdot 25}{19 \cdot 42}$;

в) $\frac{395 \cdot 43 + 5 \cdot 43}{695 \cdot 86 + 86 \cdot 105}$;

г) $\frac{359 \cdot 23 - 59 \cdot 23}{758 \cdot 69 - 158 \cdot 69}$;

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Вынесем общий множитель 45 в числителе за скобки:
$\frac{45 \cdot 56 + 45 \cdot 14}{70 \cdot 72} = \frac{45 \cdot (56 + 14)}{70 \cdot 72} = \frac{45 \cdot 70}{70 \cdot 72}$
Теперь сократим дробь на общий множитель 70:
$\frac{45 \cdot 70}{70 \cdot 72} = \frac{45}{72}$
Сократим полученную дробь на 9, так как 45 и 72 делятся на 9:
$\frac{45}{72} = \frac{45 \div 9}{72 \div 9} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\frac{5}{8}$

б) Применим распределительное свойство умножения $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$. Вынесем общий множитель 38 в числителе за скобки:
$\frac{38 \cdot 53 - 38 \cdot 25}{19 \cdot 42} = \frac{38 \cdot (53 - 25)}{19 \cdot 42} = \frac{38 \cdot 28}{19 \cdot 42}$
Заметим, что $38 = 2 \cdot 19$. Подставим это в выражение и сократим на 19:
$\frac{2 \cdot 19 \cdot 28}{19 \cdot 42} = \frac{2 \cdot 28}{42} = \frac{56}{42}$
Сократим полученную дробь на 14:
$\frac{56}{42} = \frac{56 \div 14}{42 \div 14} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

в) Применим распределительное свойство и для числителя, и для знаменателя.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 43:
$395 \cdot 43 + 5 \cdot 43 = (395 + 5) \cdot 43 = 400 \cdot 43$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 86:
$695 \cdot 86 + 86 \cdot 105 = (695 + 105) \cdot 86 = 800 \cdot 86$
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{400 \cdot 43}{800 \cdot 86}$
Сократим дробь на 400:
$\frac{1 \cdot 43}{2 \cdot 86} = \frac{43}{172}$
Заметим, что $172 = 4 \cdot 43$. Сократим дробь на 43:
$\frac{43}{172} = \frac{43 \div 43}{172 \div 43} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

г) Используем распределительное свойство для числителя и знаменателя.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 23:
$359 \cdot 23 - 59 \cdot 23 = (359 - 59) \cdot 23 = 300 \cdot 23$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 69:
$758 \cdot 69 - 158 \cdot 69 = (758 - 158) \cdot 69 = 600 \cdot 69$
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{300 \cdot 23}{600 \cdot 69}$
Сократим дробь на 300:
$\frac{1 \cdot 23}{2 \cdot 69} = \frac{23}{138}$
Заметим, что $138 = 6 \cdot 23$. Сократим дробь на 23:
$\frac{23}{138} = \frac{23 \div 23}{138 \div 23} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

1145. Вычислите по образцу:

а) $742 \cdot 16 : 371 \cdot 5 : 80 = \frac{\overset{2}{\cancel{742}} \cdot \overset{1}{\cancel{16}} \cdot 5}{\underset{1}{\cancel{371}} \cdot \underset{5}{\cancel{80}}} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2$

б) $954 \cdot 35 : 742 \cdot 9;$

в) $5292 : 63 : 28 \cdot 999;$

г) $4189 : 71 \cdot 26 : 118;$

д) $1125 \cdot 808 : 375 \cdot 33 : 1111.$

Запишем выражение в виде дроби, поместив множители в числитель, а делители в знаменатель, согласно образцу. Числа, перед которыми стоит знак умножения (·), идут в числитель. Числа, перед которыми стоит знак деления (:), идут в знаменатель. Первое число всегда в числителе.

$ \frac{954 \cdot 35 \cdot 9}{742} $

Теперь сократим дробь. Разложим числа на множители или найдем общие делители. Заметим, что $954 = 2 \cdot 477$ и $742 = 2 \cdot 371$.

$ \frac{2 \cdot 477 \cdot 35 \cdot 9}{2 \cdot 371} = \frac{477 \cdot 35 \cdot 9}{371} $

Найдем общие делители у чисел 477 и 371. Можно заметить, что $477 = 9 \cdot 53$ и $371 = 7 \cdot 53$.

$ \frac{9 \cdot 53 \cdot 35 \cdot 9}{7 \cdot 53} = \frac{9 \cdot 35 \cdot 9}{7} $

Сократим 35 и 7, так как $35 : 7 = 5$.

$ 9 \cdot 5 \cdot 9 = 45 \cdot 9 = 405 $

Ответ: 405

Запишем выражение $5292 : 63 : 28 \cdot 999$ в виде дроби. В числитель пойдут 5292 и 999, а в знаменатель — 63 и 28.

$ \frac{5292 \cdot 999}{63 \cdot 28} $

Будем сокращать дробь по частям. Сначала разделим 5292 на 28.

$ 5292 : 28 = 189 $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{189 \cdot 999}{63} $

Далее разделим 189 на 63.

$ 189 : 63 = 3 $

В результате остается вычислить произведение:

$ 3 \cdot 999 = 2997 $

Ответ: 2997

Представим выражение $4189 : 71 \cdot 26 : 118$ в виде дроби.

$ \frac{4189 \cdot 26}{71 \cdot 118} $

Для сокращения дроби попробуем разделить 4189 на 71.

$ 4189 : 71 = 59 $

Подставим результат в дробь:

$ \frac{59 \cdot 26}{118} $

Теперь разложим на множители 26 и 118. $26 = 2 \cdot 13$ и $118 = 2 \cdot 59$.

$ \frac{59 \cdot (2 \cdot 13)}{2 \cdot 59} $

Сокращаем одинаковые множители 59 и 2 в числителе и знаменателе.

$ = 13 $

Ответ: 13

Запишем выражение $1125 \cdot 808 : 375 \cdot 33 : 1111$ в виде дроби.

$ \frac{1125 \cdot 808 \cdot 33}{375 \cdot 1111} $

Начнем сокращение с чисел 1125 и 375. Заметим, что 1125 в 3 раза больше, чем 375.

$ 1125 : 375 = 3 $

Выражение упрощается до:

$ \frac{3 \cdot 808 \cdot 33}{1111} $

Теперь разложим на множители числа 808, 33 и 1111 для дальнейшего сокращения.

$ 808 = 8 \cdot 101 $

$ 33 = 3 \cdot 11 $

$ 1111 = 11 \cdot 101 $

Подставим эти разложения в нашу дробь:

$ \frac{3 \cdot (8 \cdot 101) \cdot (3 \cdot 11)}{11 \cdot 101} $

Сократим общие множители 101 и 11.

$ 3 \cdot 8 \cdot 3 = 72 $

Ответ: 72

1146. Проверьте равенство:

а) $ \frac{1}{3+\frac{1}{2}} = \frac{2}{7} $;

б) $ \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}} = \frac{13}{30} $.

а) Чтобы проверить равенство $ \frac{1}{3 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{7} $, нужно упростить левую часть выражения.

1. Сначала выполним сложение в знаменателе:

$ 3 + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $

2. Теперь подставим полученное значение обратно в исходную дробь:

$ \frac{1}{\frac{7}{2}} $

3. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ 1 \div \frac{7}{2} = 1 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7} $

4. Сравниваем полученный результат с правой частью равенства:

$ \frac{2}{7} = \frac{2}{7} $

Равенство выполняется.

Ответ: Равенство верно.

б) Чтобы проверить равенство $ \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}} = \frac{13}{30} $, нужно последовательно упростить левую часть, начиная с самого нижнего выражения в знаменателе.

1. Вычислим сумму в самом нижнем знаменателе:

$ 3 + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} $

2. Теперь выражение принимает вид:

$ \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{13}{4}}} $

3. Упростим дробь $ \frac{1}{\frac{13}{4}} $:

$ \frac{1}{\frac{13}{4}} = 1 \div \frac{13}{4} = 1 \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{13} $

4. Подставим полученное значение в знаменатель основной дроби:

$ 2 + \frac{4}{13} = \frac{2 \cdot 13}{13} + \frac{4}{13} = \frac{26}{13} + \frac{4}{13} = \frac{30}{13} $

5. Теперь все выражение выглядит так:

$ \frac{1}{\frac{30}{13}} $

6. Выполним последнее деление:

$ 1 \div \frac{30}{13} = 1 \cdot \frac{13}{30} = \frac{13}{30} $

7. Сравниваем полученный результат с правой частью равенства:

$ \frac{13}{30} = \frac{13}{30} $

Равенство выполняется.

Ответ: Равенство верно.

1147. Вычислите:

а) $\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}}$

б) $\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}$

в) $\frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}}$

а) Для вычисления значения выражения $ \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}} $ будем выполнять действия, начиная с самого нижнего знаменателя.

1. Сначала вычислим сумму в самом внутреннем знаменателе:
$ 2 + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $.

2. Теперь подставим полученное значение в выражение:
$ \frac{1}{1+\frac{1}{\frac{7}{3}}} $.

3. Вычислим дробь в знаменателе:
$ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1 \div \frac{7}{3} = 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} $.

4. Подставим это значение обратно:
$ \frac{1}{1+\frac{3}{7}} $.

5. Вычислим сумму в знаменателе:
$ 1 + \frac{3}{7} = \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = \frac{10}{7} $.

6. Наконец, вычислим значение всего выражения:
$ \frac{1}{\frac{10}{7}} = 1 \div \frac{10}{7} = 1 \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{10} $.

Ответ: $ \frac{7}{10} $.

б) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}} $ по действиям, начиная снизу.

1. Вычислим внутренний знаменатель:
$ 2 + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $.

2. Подставим результат в исходное выражение:
$ \frac{1}{2+\frac{1}{\frac{5}{2}}} $.

3. Упростим дробь в знаменателе:
$ \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \div \frac{5}{2} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5} $.

4. Подставим полученное значение:
$ \frac{1}{2+\frac{2}{5}} $.

5. Вычислим сумму в знаменателе:
$ 2 + \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = \frac{12}{5} $.

6. Вычислим окончательное значение:
$ \frac{1}{\frac{12}{5}} = 1 \div \frac{12}{5} = 1 \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{12} $.

Ответ: $ \frac{5}{12} $.

в) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}} $ по аналогии с предыдущими примерами.

1. Вычислим сумму в самом нижнем знаменателе:
$ 3 + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} $.

2. Подставим полученный результат в выражение:
$ \frac{1}{3+\frac{1}{\frac{10}{3}}} $.

3. Упростим вторую дробь:
$ \frac{1}{\frac{10}{3}} = 1 \div \frac{10}{3} = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10} $.

4. Подставим это значение в знаменатель основной дроби:
$ \frac{1}{3+\frac{3}{10}} $.

5. Вычислим сумму в знаменателе:
$ 3 + \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10}{10} + \frac{3}{10} = \frac{30}{10} + \frac{3}{10} = \frac{33}{10} $.

6. Найдем окончательное значение выражения:
$ \frac{1}{\frac{33}{10}} = 1 \div \frac{33}{10} = 1 \cdot \frac{10}{33} = \frac{10}{33} $.

Ответ: $ \frac{10}{33} $.

1148. a) Найдите натуральные числа x, y, z, для которых верно равенство

$\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30}$

б) Найдите целые числа x, y, z, для которых верно то же равенство.

а)

Дано равенство:

$$ \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30} $$

По условию, $x, y, z$ — натуральные числа, то есть $x, y, z \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Перевернем обе части равенства, чтобы избавиться от дроби в левой части:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{30}{7} $$

Представим правую часть в виде смешанной дроби (выделим целую часть):

$$ \frac{30}{7} = 4 + \frac{2}{7} $$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = 4 + \frac{2}{7} $$

Поскольку $y$ и $z$ — натуральные числа, $y \ge 1$ и $z \ge 1$.
Следовательно, $y + \frac{1}{z} > 1$.
Тогда $0 < \frac{1}{y + \frac{1}{z}} < 1$.
Это означает, что $x$ должен быть равен целой части числа $\frac{30}{7}$, а дробная часть $\frac{1}{y + \frac{1}{z}}$ должна быть равна дробной части $\frac{2}{7}$.

Отсюда получаем:

$$ x = 4 $$

и

$$ \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{2}{7} $$

Снова перевернем обе части второго равенства:

$$ y + \frac{1}{z} = \frac{7}{2} $$

Выделим целую часть в правой части:

$$ \frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2} $$

Получаем уравнение:

$$ y + \frac{1}{z} = 3 + \frac{1}{2} $$

Так как $z$ — натуральное число и $z \ge 1$, то $0 < \frac{1}{z} \le 1$.
Если $z=1$, то $y+1 = 3.5$, откуда $y=2.5$, что не является натуральным числом.
Если $z > 1$, то $0 < \frac{1}{z} < 1$. В этом случае $y$ должен быть равен целой части числа $\frac{7}{2}$, а $\frac{1}{z}$ — его дробной части.

Отсюда получаем:

$$ y = 3 $$

и

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{2} $$

Из последнего равенства очевидно, что:

$$ z = 2 $$

Таким образом, мы нашли единственное решение в натуральных числах: $x=4, y=3, z=2$.

Проверим: $x + \frac{1}{y+\frac{1}{z}} = 4 + \frac{1}{3+\frac{1}{2}} = 4 + \frac{1}{7/2} = 4 + \frac{2}{7} = \frac{30}{7}$.
Тогда $\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30}$. Верно.

Ответ: $x=4, y=3, z=2$.

б)

Теперь найдем все целые числа $x, y, z$, для которых верно то же равенство. В этом случае $x, y, z \in \mathbb{Z}$.
Начнем так же, как и в пункте а):

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{30}{7} = 4 + \frac{2}{7} $$

Поскольку $x$ — целое число, мы можем записать $x = 4 - k$ для некоторого целого $k$. Тогда:

$$ (4-k) + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = 4 + \frac{2}{7} $$

$$ \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = k + \frac{2}{7} = \frac{7k+2}{7} $$

Перевернув дробь, получим:

$$ y + \frac{1}{z} = \frac{7}{7k+2} $$

Выразим $\frac{1}{z}$:

$$ \frac{1}{z} = \frac{7}{7k+2} - y = \frac{7 - y(7k+2)}{7k+2} $$

Отсюда выразим $z$:

$$ z = \frac{7k+2}{7 - y(7k+2)} $$

Обозначим $N = 7k+2$ и $D = 7 - y(7k+2)$. Тогда $z = \frac{N}{D}$.
Поскольку $z$ должно быть целым числом, знаменатель $D$ должен быть делителем числителя $N$.
Пусть $N = q \cdot D$ для некоторого целого $q$. Тогда $z=q$.
Подставим $N=qD$ в выражение для $D$:

$$ D = 7 - y(qD) \implies D = 7 - yqD \implies D(1+yq) = 7 $$

Так как $D, y, q$ — целые числа, то $D$ и $(1+yq)$ должны быть целыми делителями числа 7. Делители числа 7: $\pm 1, \pm 7$.
Рассмотрим все возможные пары для $(D, 1+yq)$:

1. $(D, 1+yq) = (1, 7) \implies D=1, yq=6$.
   Из $N=qD$ следует $N=q$. Тогда $yN=6$. Так как $N=7k+2$, то $y(7k+2)=6$. Переберем целые делители $y$ числа 6:
   • $y=1 \implies 7k+2=6 \implies 7k=4$, нет целых $k$.
   • $y=2 \implies 7k+2=3 \implies 7k=1$, нет целых $k$.
   • $y=3 \implies 7k+2=2 \implies 7k=0 \implies k=0$. Тогда $x=4-0=4$. $q=N=2$, т.е. $z=2$. Получаем решение $(4,3,2)$.
   • $y=6 \implies 7k+2=1 \implies 7k=-1$, нет целых $k$.
   • $y=-1 \implies 7k+2=-6 \implies 7k=-8$, нет целых $k$.
   • $y=-2 \implies 7k+2=-3 \implies 7k=-5$, нет целых $k$.
   • $y=-3 \implies 7k+2=-2 \implies 7k=-4$, нет целых $k$.
   • $y=-6 \implies 7k+2=-1 \implies 7k=-3$, нет целых $k$.
2. $(D, 1+yq) = (-1, -7) \implies D=-1, yq=-8$.
   Из $N=qD$ следует $N=-q$. Тогда $y(-N)=-8 \implies yN=8$. Так как $N=7k+2$, то $y(7k+2)=8$. Переберем целые делители $y$ числа 8:
   • $y=1 \implies 7k+2=8 \implies 7k=6$, нет целых $k$.
   • $y=2 \implies 7k+2=4 \implies 7k=2$, нет целых $k$.
   • $y=4 \implies 7k+2=2 \implies 7k=0 \implies k=0$. Тогда $x=4-0=4$. $N=2$. $q=-N=-2$, т.е. $z=-2$. Получаем решение $(4,4,-2)$.
   • $y=8 \implies 7k+2=1 \implies 7k=-1$, нет целых $k$.
   • $y=-1 \implies 7k+2=-8 \implies 7k=-10$, нет целых $k$.
   • $y=-2 \implies 7k+2=-4 \implies 7k=-6$, нет целых $k$.
   • $y=-4 \implies 7k+2=-2 \implies 7k=-4$, нет целых $k$.
   • $y=-8 \implies 7k+2=-1 \implies 7k=-3$, нет целых $k$.
3. $(D, 1+yq) = (7, 1) \implies D=7, yq=0$.
   Если $y=0$, то $y+\frac{1}{z} = \frac{1}{z}$. Уравнение $x+\frac{1}{1/z} = x+z=\frac{30}{7}$ не имеет целых решений для $x, z$, так как сумма двух целых чисел не может быть равна нецелому числу $\frac{30}{7}$.
   Если $q=0$, то $z=0$, что недопустимо, так как $z$ находится в знаменателе.
4. $(D, 1+yq) = (-7, -1) \implies D=-7, yq=-2$.
   $N=qD=-7q$. Так как $N=7k+2$, то $7k+2 = -7q \implies 7(k+q)=-2$. Это уравнение не имеет целых решений для $k$ и $q$, так как -2 не делится на 7.

Таким образом, мы нашли два набора целых чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Ответ: $(4, 3, 2)$ и $(4, 4, -2)$.

1149. Вычислите:

а) $4.35 \cdot 3.08 - 16.119 / 4.05 + 0.95 \cdot 40;$

б) $(454.5 / 5 - 0.3636 / 0.09) / 4.343.$

а) $4,35 \cdot 3,08 - 16,119 : 4,05 + 0,95 \cdot 40$

Для решения примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются операции умножения и деления в порядке их следования, а затем — сложения и вычитания.

1. Первое действие — умножение: $4,35 \cdot 3,08 = 13,398$.

2. Второе действие — деление: $16,119 : 4,05 = 3,98$.

3. Третье действие — умножение: $0,95 \cdot 40 = 38$.

4. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним оставшиеся действия: вычитание и сложение.
   $13,398 - 3,98 + 38 = 9,418 + 38 = 47,418$.

Ответ: $47,418$

б) $(454,5 : 5 - 0,3636 : 0,09) : 4,343$

Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), а после этого — деление за скобками.

1. Первое действие в скобках — деление: $454,5 : 5 = 90,9$.

2. Второе действие в скобках — деление: $0,3636 : 0,09 = 36,36 : 9 = 4,04$.

3. Третье действие — вычитание в скобках: $90,9 - 4,04 = 86,86$.

4. Последнее действие — деление результата, полученного в скобках, на $4,343$:
   $86,86 : 4,343 = 86860 : 4343 = 20$.

Ответ: $20$