Страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1096. Дан отрезок $AB$. Провели две пересекающиеся окружности одинакового радиуса с центрами в точках $A$ и $B$. Точки пересечения окружностей обозначили буквами $M$ и $N$. Докажите, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $MN$.

Чтобы доказать, что точки A и B симметричны относительно прямой MN, нужно показать, что прямая MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Рассмотрим четырехугольник AMBN, вершинами которого являются центры окружностей (A и B) и точки их пересечения (M и N).

Пусть радиус данных окружностей, которые по условию равны, составляет $R$.Точки M и N лежат на окружности с центром в точке A, поэтому отрезки AM и AN являются радиусами этой окружности. Следовательно, $AM = AN = R$.

Точки M и N также лежат на окружности с центром в точке B, поэтому отрезки BM и BN являются радиусами этой окружности. Следовательно, $BM = BN = R$.

Таким образом, все стороны четырехугольника AMBN равны между собой: $AM = AN = BM = BN = R$.Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Значит, четырехугольник AMBN — это ромб.

По свойству ромба, его диагонали (в нашем случае это отрезки AB и MN) взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что прямая MN является серединным перпендикуляром к диагонали AB.

По определению, две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Поскольку прямая MN — серединный перпендикуляр к отрезку AB, то точки A и B симметричны относительно прямой MN.

Ответ: Утверждение доказано. Точки A и B симметричны относительно прямой MN.

1097. Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, перпендикулярную отрезку и делящую его пополам. Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$, являющаяся его серединным перпендикуляром. Пусть $M$ — точка пересечения прямой $m$ и отрезка $AB$.

Согласно определению серединного перпендикуляра, прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$ и делит его пополам в точке $M$. Это означает, что выполняются два условия:

1. $AM = MB$ (прямая $m$ делит отрезок пополам).
2. Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$, следовательно, углы, образованные при их пересечении, прямые: $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$.

Выберем на прямой $m$ произвольную точку $C$ и соединим её с концами отрезка — точками $A$ и $B$. Нам необходимо доказать, что расстояния $AC$ и $BC$ равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

• Сторона $CM$ — общая для обоих треугольников.
• Стороны $AM$ и $MB$ равны по определению серединного перпендикуляра.
• Углы $\angle AMC$ и $\angle BMC$ равны $90^\circ$ и, следовательно, равны между собой.

Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle AMC$, а сторона $BC$ — напротив угла $\angle BMC$. Поскольку углы равны, то и противолежащие им стороны равны: $AC = BC$.

Так как точка $C$ была выбрана на серединном перпендикуляре произвольно, мы доказали, что любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена (равноудалена) от концов отрезка.

Ответ: Доказано, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

1098. Задача Леонардо да Винчи. Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. По условию, окружности равны, значит их радиусы одинаковы. Обозначим радиус как $R$.

Окружности пересекаются в двух точках, которые мы назовем $A$ и $B$. Прямая, проходящая через эти точки, является их общей хордой (или, точнее, секущей).

Требуется доказать, что любая точка $P$, лежащая на прямой $AB$, равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$, то есть выполняется равенство $PO_1 = PO_2$.

Доказательство

1. Рассмотрим точку $A$. Так как точка $A$ является точкой пересечения, она принадлежит обеим окружностям.

• Поскольку $A$ лежит на окружности с центром $O_1$, расстояние от $A$ до $O_1$ равно радиусу: $AO_1 = R$.
• Поскольку $A$ лежит на окружности с центром $O_2$, расстояние от $A$ до $O_2$ также равно радиусу: $AO_2 = R$.

Отсюда следует, что $AO_1 = AO_2$. Таким образом, точка $A$ равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

2. Рассмотрим точку $B$. Аналогично, точка $B$ принадлежит обеим окружностям.

• Расстояние от $B$ до $O_1$ равно радиусу: $BO_1 = R$.
• Расстояние от $B$ до $O_2$ также равно радиусу: $BO_2 = R$.

Отсюда следует, что $BO_1 = BO_2$. Таким образом, точка $B$ также равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

3. Известно, что геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае от $O_1$ и $O_2$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезку $O_1O_2$).

4. Мы установили, что обе точки $A$ и $B$ равноудалены от $O_1$ и $O_2$. Следовательно, обе эти точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $O_1O_2$.

5. Через две различные точки ($A$ и $B$) можно провести только одну прямую. Это означает, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, и есть тот самый серединный перпендикуляр к отрезку $O_1O_2$.

6. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку $P$ — это произвольная точка на прямой, проходящей через $A$ и $B$, то точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к $O_1O_2$. Следовательно, она равноудалена от точек $O_1$ и $O_2$, то есть $PO_1 = PO_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1099. Даны точки A и B. Постройте ось симметрии точек A и B.

Осью симметрии для двух точек $A$ и $B$ является прямая, каждая точка которой равноудалена от точек $A$ и $B$. Эта прямая представляет собой срединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Построение оси симметрии точек А и В

Для построения оси симметрии с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Из точки $A$ как из центра провести дугу окружности радиусом $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$.
2. Из точки $B$ как из центра провести дугу окружности тем же самым радиусом $R$.
3. Отметить две точки пересечения построенных дуг. Обозначим их $M$ и $N$.
4. С помощью линейки провести прямую через точки $M$ и $N$.

Прямая $MN$ является искомой осью симметрии. По построению, точки $M$ и $N$ равноудалены от $A$ и $B$ ($AM = BM = R$ и $AN = BN = R$). Прямая, проходящая через две точки, равноудаленные от концов отрезка, является его срединным перпендикуляром.

Ответ: Искомая ось симметрии — это срединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Построение заключается в нахождении двух точек пересечения двух окружностей одинакового радиуса с центрами в точках $A$ и $B$ и проведении через них прямой.

1100. Разделите отрезок пополам циркулем и линейкой.

Для того чтобы разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки (без делений), необходимо построить его серединный перпендикуляр. Точка пересечения серединного перпендикуляра и отрезка и будет его серединой. Алгоритм построения следующий:

1. Пусть дан отрезок $AB$. Устанавливаем раствор циркуля на радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ (например, можно взять радиус, примерно равный длине всего отрезка).
2. Ставим ножку циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом $R$ с обеих сторон от отрезка.
3. Не меняя раствора циркуля, ставим его ножку в точку $B$ и проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух токах. Назовем эти точки пересечения $C$ и $D$.
4. С помощью линейки соединяем точки $C$ и $D$ прямой линией.
5. Точка $M$, в которой прямая $CD$ пересекает отрезок $AB$, является его серединой. Таким образом, $AM = MB$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$. По построению, $AC = BC = R$ и $AD = BD = R$. Сторона $CD$ у них общая. Следовательно, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ACM = \angle BCM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. У них $AC = BC$ (по построению), сторона $CM$ — общая, а угол между этими сторонами $\angle ACM = \angle BCM$ (как доказано выше). Следовательно, $\triangle AMC = \triangle BMC$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ следует, что $AM = BM$, что и означает, что точка $M$ — середина отрезка $AB$. Также из этого равенства следует, что $\angle AMC = \angle BMC$. Так как эти углы смежные и в сумме дают $180^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ$. Это доказывает, что прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Ответ: Середина отрезка находится как точка пересечения данного отрезка с его серединным перпендикуляром, построенным с помощью двух пересекающихся дуг окружностей одинакового радиуса (большего половины длины отрезка) с центрами в концах отрезка.

1101. Велосипедист проехал путь от $A$ до $B$ и обратно с некоторой постоянной скоростью. Пешеход прошёл путь от $A$ до $B$ со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста, но зато возвращался на автобусе со скоростью, в 4 раза большей скорости велосипедиста. Сколько времени затратил каждый из них на путь туда и обратно, если один был в пути на $0,5$ ч дольше другого?

Пусть $S$ — расстояние от A до B, а $v$ — постоянная скорость велосипедиста.

Согласно условию задачи, выразим скорости пешехода и автобуса через скорость велосипедиста:
Скорость пешехода на пути из А в В: $v_{п} = \frac{v}{2}$.
Скорость автобуса на обратном пути из B в А: $v_{а} = 4v$.

Теперь рассчитаем общее время в пути для велосипедиста и для пешехода.

Велосипедист проехал путь туда и обратно ($2S$) с постоянной скоростью $v$. Его время в пути:
$t_{в} = \frac{2S}{v}$

Пешеход прошел путь из А в В ($S$) со скоростью $v_{п}$ и вернулся на автобусе ($S$) со скоростью $v_{а}$. Его общее время в пути:
$t_{п} = \frac{S}{v_{п}} + \frac{S}{v_{а}} = \frac{S}{v/2} + \frac{S}{4v} = \frac{2S}{v} + \frac{S}{4v}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$t_{п} = \frac{8S}{4v} + \frac{S}{4v} = \frac{9S}{4v}$

Сравним время в пути велосипедиста и пешехода:
$t_{в} = \frac{2S}{v} = \frac{8S}{4v}$
$t_{п} = \frac{9S}{4v}$
Так как $\frac{9}{4} > \frac{8}{4}$, то $t_{п} > t_{в}$. Это означает, что пешеход был в пути дольше.

По условию, разница во времени составляет 0,5 часа. Составим уравнение:
$t_{п} - t_{в} = 0.5$
$\frac{9S}{4v} - \frac{8S}{4v} = 0.5$
$\frac{S}{4v} = 0.5$
Выразим отсюда отношение $\frac{S}{v}$:
$\frac{S}{v} = 0.5 \cdot 4 = 2$

Зная, что $\frac{S}{v} = 2$ (это время, за которое велосипедист проезжает расстояние $S$ в одну сторону), можем найти общее время для каждого:
Время велосипедиста: $t_{в} = 2 \cdot (\frac{S}{v}) = 2 \cdot 2 = 4$ часа.
Время пешехода: $t_{п} = \frac{9}{4} \cdot (\frac{S}{v}) = \frac{9}{4} \cdot 2 = \frac{18}{4} = 4.5$ часа.

Ответ: велосипедист затратил на весь путь 4 часа, а пешеход — 4,5 часа.

Плата работнику за 30 дней 10 динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье?

Для решения этой задачи давайте введем переменную. Пусть $x$ — это стоимость платья в динарах. Теперь мы можем выразить дневную плату работника двумя разными способами.

Способ 1: Исходя из полного контракта

По условию, за 30 дней работы плата составляет 10 динаров и платье. Общая стоимость этой платы равна $10 + x$ динаров.Чтобы найти стоимость одного дня работы (дневную плату), нужно общую стоимость разделить на количество дней:

Дневная плата = $\frac{10 + x}{30}$ динаров.

Способ 2: Исходя из фактически отработанного времени

Работник трудился 3 дня и заработал платье. Стоимость платья, как мы обозначили, составляет $x$ динаров.Следовательно, дневная плата, рассчитанная по фактической работе, равна:

Дневная плата = $\frac{x}{3}$ динаров.

Решение уравнения

Поскольку дневная плата работника — это постоянная величина, мы можем приравнять два полученных выражения:

$\frac{10 + x}{30} = \frac{x}{3}$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на 30:

$30 \cdot \frac{10 + x}{30} = 30 \cdot \frac{x}{3}$

$10 + x = 10x$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$10 = 10x - x$

$10 = 9x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{10}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{1}{9}$

Таким образом, стоимость платья составляет $1\frac{1}{9}$ динара.

Ответ: Платье стоит $1\frac{1}{9}$ динаров.

1103. Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.). Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчёте получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

Для решения этой задачи сравним условия оплаты за полный год и за 7 месяцев.

Оплата за год (12 месяцев) была оговорена как одежда и 10 флоринов.

Оплата за 7 месяцев работы по факту составила одежду и 2 флорина.

Разница в сроке работы составляет $12 - 7 = 5$ месяцев.

За эти 5 месяцев работник не получил разницу в денежной части вознаграждения, так как одежда входила в оплату в обоих случаях. Эта разница составляет:

$10 - 2 = 8$ флоринов.

Таким образом, мы можем заключить, что оплата за 5 месяцев работы составляет 8 флоринов.

Теперь найдем, сколько стоил один месяц работы:

$\frac{8 \text{ флоринов}}{5 \text{ месяцев}} = 1,6$ флорина в месяц.

Зная месячную плату, можно рассчитать общую стоимость годового контракта:

$12 \text{ месяцев} \times 1,6 \text{ флорина/месяц} = 19,2$ флорина.

По условию, годовая плата состояла из одежды и 10 флоринов. Пусть $x$ — стоимость одежды. Тогда мы можем составить уравнение:

$x + 10 = 19,2$

Решим это уравнение, чтобы найти стоимость одежды:

$x = 19,2 - 10$

$x = 9,2$

Следовательно, одежда ценилась в 9,2 флорина.

Ответ: 9,2 флорина.

1104. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.

Обозначим неизвестную цену кафтана за $x$ рублей.

Согласно условию, полная плата работнику за год (12 месяцев) должна была составить 12 рублей и кафтан, то есть $(12 + x)$ рублей.

Работник трудился 7 месяцев и получил за это 5 рублей и кафтан, то есть $(5 + x)$ рублей.

Плата за работу пропорциональна времени, которое было отработано. Это означает, что стоимость одного месяца работы является постоянной величиной. Мы можем составить пропорцию, приравняв стоимость одного месяца работы, рассчитанную из годового и фактического заработка:

$\frac{\text{Плата за 12 месяцев}}{12 \text{ месяцев}} = \frac{\text{Плата за 7 месяцев}}{7 \text{ месяцев}}$

Подставим наши выражения в эту пропорцию:

$\frac{12 + x}{12} = \frac{5 + x}{7}$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$7 \cdot (12 + x) = 12 \cdot (5 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$84 + 7x = 60 + 12x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$12x - 7x = 84 - 60$

Приведем подобные слагаемые:

$5x = 24$

Найдем $x$:

$x = \frac{24}{5} = 4,8$

Следовательно, цена кафтана составляла 4,8 рубля (что равно 4 рублям 80 копейкам).

Проверка:
1. Найдем полную стоимость годового контракта: $12 \text{ р.} + 4,8 \text{ р.} = 16,8$ р.
Стоимость одного месяца работы при этом: $\frac{16,8}{12} = 1,4$ р.
2. Найдем плату за 7 месяцев: $5 \text{ р.} + 4,8 \text{ р.} = 9,8$ р.
Стоимость одного месяца работы при этом: $\frac{9,8}{7} = 1,4$ р.
Поскольку стоимость одного месяца работы в обоих случаях одинакова, задача решена верно.

Ответ: 4,8 рубля.

1105. Несколько работников получило 120 р. Если бы их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?

Пусть $x$ — это первоначальное количество работников.

Тогда сумма, которую получил каждый работник, составляет $\frac{120}{x}$ рублей.

Если бы работников было на 4 меньше, их количество составило бы $x - 4$.

В этом случае каждый работник получил бы $\frac{120}{x - 4}$ рублей.

Согласно условию задачи, новая сумма для каждого работника была бы втрое больше первоначальной. На основе этого можно составить уравнение:

$\frac{120}{x - 4} = 3 \cdot \frac{120}{x}$

Поскольку $120 \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на 120, чтобы упростить его:

$\frac{1}{x - 4} = \frac{3}{x}$

Это пропорция. Произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$1 \cdot x = 3 \cdot (x - 4)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x = 3x - 12$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$12 = 3x - x$

$12 = 2x$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, первоначально было 6 работников.

Проверим решение:

1. Если было 6 работников, каждый получил: $120 / 6 = 20$ рублей.

2. Если бы работников было на 4 меньше, то есть $6 - 4 = 2$ работника, то каждый получил бы: $120 / 2 = 60$ рублей.

3. Сравним полученные суммы: $60 = 3 \cdot 20$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 6 работников.