Номер 1100, страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 5. Занимательные задачи - номер 1100, страница 229.

Условие.

1100. Разделите отрезок пополам циркулем и линейкой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для того чтобы разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки (без делений), необходимо построить его серединный перпендикуляр. Точка пересечения серединного перпендикуляра и отрезка и будет его серединой. Алгоритм построения следующий:

1. Пусть дан отрезок $AB$. Устанавливаем раствор циркуля на радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ (например, можно взять радиус, примерно равный длине всего отрезка).
2. Ставим ножку циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом $R$ с обеих сторон от отрезка.
3. Не меняя раствора циркуля, ставим его ножку в точку $B$ и проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух токах. Назовем эти точки пересечения $C$ и $D$.
4. С помощью линейки соединяем точки $C$ и $D$ прямой линией.
5. Точка $M$, в которой прямая $CD$ пересекает отрезок $AB$, является его серединой. Таким образом, $AM = MB$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$. По построению, $AC = BC = R$ и $AD = BD = R$. Сторона $CD$ у них общая. Следовательно, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ACM = \angle BCM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. У них $AC = BC$ (по построению), сторона $CM$ — общая, а угол между этими сторонами $\angle ACM = \angle BCM$ (как доказано выше). Следовательно, $\triangle AMC = \triangle BMC$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ следует, что $AM = BM$, что и означает, что точка $M$ — середина отрезка $AB$. Также из этого равенства следует, что $\angle AMC = \angle BMC$. Так как эти углы смежные и в сумме дают $180^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ$. Это доказывает, что прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Ответ: Середина отрезка находится как точка пересечения данного отрезка с его серединным перпендикуляром, построенным с помощью двух пересекающихся дуг окружностей одинакового радиуса (большего половины длины отрезка) с центрами в концах отрезка.