Номер 1096, страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 5. Занимательные задачи. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1096, страница 229.

Условие.

1096. Дан отрезок $AB$. Провели две пересекающиеся окружности одинакового радиуса с центрами в точках $A$ и $B$. Точки пересечения окружностей обозначили буквами $M$ и $N$. Докажите, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $MN$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Чтобы доказать, что точки A и B симметричны относительно прямой MN, нужно показать, что прямая MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Рассмотрим четырехугольник AMBN, вершинами которого являются центры окружностей (A и B) и точки их пересечения (M и N).

Пусть радиус данных окружностей, которые по условию равны, составляет $R$.Точки M и N лежат на окружности с центром в точке A, поэтому отрезки AM и AN являются радиусами этой окружности. Следовательно, $AM = AN = R$.

Точки M и N также лежат на окружности с центром в точке B, поэтому отрезки BM и BN являются радиусами этой окружности. Следовательно, $BM = BN = R$.

Таким образом, все стороны четырехугольника AMBN равны между собой: $AM = AN = BM = BN = R$.Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Значит, четырехугольник AMBN — это ромб.

По свойству ромба, его диагонали (в нашем случае это отрезки AB и MN) взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что прямая MN является серединным перпендикуляром к диагонали AB.

По определению, две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Поскольку прямая MN — серединный перпендикуляр к отрезку AB, то точки A и B симметричны относительно прямой MN.

Ответ: Утверждение доказано. Точки A и B симметричны относительно прямой MN.