Номер 1097, страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 5. Занимательные задачи - номер 1097, страница 229.

Условие.

1097. Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, перпендикулярную отрезку и делящую его пополам. Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$, являющаяся его серединным перпендикуляром. Пусть $M$ — точка пересечения прямой $m$ и отрезка $AB$.

Согласно определению серединного перпендикуляра, прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$ и делит его пополам в точке $M$. Это означает, что выполняются два условия:

1. $AM = MB$ (прямая $m$ делит отрезок пополам).
2. Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$, следовательно, углы, образованные при их пересечении, прямые: $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$.

Выберем на прямой $m$ произвольную точку $C$ и соединим её с концами отрезка — точками $A$ и $B$. Нам необходимо доказать, что расстояния $AC$ и $BC$ равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

• Сторона $CM$ — общая для обоих треугольников.
• Стороны $AM$ и $MB$ равны по определению серединного перпендикуляра.
• Углы $\angle AMC$ и $\angle BMC$ равны $90^\circ$ и, следовательно, равны между собой.

Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle AMC$, а сторона $BC$ — напротив угла $\angle BMC$. Поскольку углы равны, то и противолежащие им стороны равны: $AC = BC$.

Так как точка $C$ была выбрана на серединном перпендикуляре произвольно, мы доказали, что любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена (равноудалена) от концов отрезка.

Ответ: Доказано, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.