Номер 1098, страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 5. Занимательные задачи. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1098, страница 229.

Условие.

1098. Задача Леонардо да Винчи. Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. По условию, окружности равны, значит их радиусы одинаковы. Обозначим радиус как $R$.

Окружности пересекаются в двух точках, которые мы назовем $A$ и $B$. Прямая, проходящая через эти точки, является их общей хордой (или, точнее, секущей).

Требуется доказать, что любая точка $P$, лежащая на прямой $AB$, равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$, то есть выполняется равенство $PO_1 = PO_2$.

Доказательство

1. Рассмотрим точку $A$. Так как точка $A$ является точкой пересечения, она принадлежит обеим окружностям.

• Поскольку $A$ лежит на окружности с центром $O_1$, расстояние от $A$ до $O_1$ равно радиусу: $AO_1 = R$.
• Поскольку $A$ лежит на окружности с центром $O_2$, расстояние от $A$ до $O_2$ также равно радиусу: $AO_2 = R$.

Отсюда следует, что $AO_1 = AO_2$. Таким образом, точка $A$ равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

2. Рассмотрим точку $B$. Аналогично, точка $B$ принадлежит обеим окружностям.

• Расстояние от $B$ до $O_1$ равно радиусу: $BO_1 = R$.
• Расстояние от $B$ до $O_2$ также равно радиусу: $BO_2 = R$.

Отсюда следует, что $BO_1 = BO_2$. Таким образом, точка $B$ также равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

3. Известно, что геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае от $O_1$ и $O_2$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезку $O_1O_2$).

4. Мы установили, что обе точки $A$ и $B$ равноудалены от $O_1$ и $O_2$. Следовательно, обе эти точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $O_1O_2$.

5. Через две различные точки ($A$ и $B$) можно провести только одну прямую. Это означает, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, и есть тот самый серединный перпендикуляр к отрезку $O_1O_2$.

6. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку $P$ — это произвольная точка на прямой, проходящей через $A$ и $B$, то точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к $O_1O_2$. Следовательно, она равноудалена от точек $O_1$ и $O_2$, то есть $PO_1 = PO_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.