Номер 1101, страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 5. Занимательные задачи - номер 1101, страница 229.

Условие.

1101. Велосипедист проехал путь от $A$ до $B$ и обратно с некоторой постоянной скоростью. Пешеход прошёл путь от $A$ до $B$ со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста, но зато возвращался на автобусе со скоростью, в 4 раза большей скорости велосипедиста. Сколько времени затратил каждый из них на путь туда и обратно, если один был в пути на $0,5$ ч дольше другого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть $S$ — расстояние от A до B, а $v$ — постоянная скорость велосипедиста.

Согласно условию задачи, выразим скорости пешехода и автобуса через скорость велосипедиста:
Скорость пешехода на пути из А в В: $v_{п} = \frac{v}{2}$.
Скорость автобуса на обратном пути из B в А: $v_{а} = 4v$.

Теперь рассчитаем общее время в пути для велосипедиста и для пешехода.

Велосипедист проехал путь туда и обратно ($2S$) с постоянной скоростью $v$. Его время в пути:
$t_{в} = \frac{2S}{v}$

Пешеход прошел путь из А в В ($S$) со скоростью $v_{п}$ и вернулся на автобусе ($S$) со скоростью $v_{а}$. Его общее время в пути:
$t_{п} = \frac{S}{v_{п}} + \frac{S}{v_{а}} = \frac{S}{v/2} + \frac{S}{4v} = \frac{2S}{v} + \frac{S}{4v}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$t_{п} = \frac{8S}{4v} + \frac{S}{4v} = \frac{9S}{4v}$

Сравним время в пути велосипедиста и пешехода:
$t_{в} = \frac{2S}{v} = \frac{8S}{4v}$
$t_{п} = \frac{9S}{4v}$
Так как $\frac{9}{4} > \frac{8}{4}$, то $t_{п} > t_{в}$. Это означает, что пешеход был в пути дольше.

По условию, разница во времени составляет 0,5 часа. Составим уравнение:
$t_{п} - t_{в} = 0.5$
$\frac{9S}{4v} - \frac{8S}{4v} = 0.5$
$\frac{S}{4v} = 0.5$
Выразим отсюда отношение $\frac{S}{v}$:
$\frac{S}{v} = 0.5 \cdot 4 = 2$

Зная, что $\frac{S}{v} = 2$ (это время, за которое велосипедист проезжает расстояние $S$ в одну сторону), можем найти общее время для каждого:
Время велосипедиста: $t_{в} = 2 \cdot (\frac{S}{v}) = 2 \cdot 2 = 4$ часа.
Время пешехода: $t_{п} = \frac{9}{4} \cdot (\frac{S}{v}) = \frac{9}{4} \cdot 2 = \frac{18}{4} = 4.5$ часа.

Ответ: велосипедист затратил на весь путь 4 часа, а пешеход — 4,5 часа.