Страница 230 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1106. Принёс крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц. (Таблица старинных денежных единиц дана на форзаце учебника.)

Для решения этой задачи составим уравнение, основываясь на замысловатом ответе крестьянина. Пусть $x$ — это цена одного яйца. В качестве денежной единицы для расчётов будем использовать «полушку», так как она упоминается в условии.

Фраза крестьянина «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц» означает, что стоимость 25 яиц, уменьшенная на стоимость одной полушки, равна стоимости пяти полушек, уменьшенной на стоимость пяти яиц.

Переведём это утверждение на язык математики:

Стоимость «двадцати пяти яиц без полушки» можно записать как $25x - 1$ (в полушках).

Стоимость «пяти полушек без пяти яиц» можно записать как $5 - 5x$ (в полушках).

Приравняем эти два выражения, чтобы составить уравнение:

$25x - 1 = 5 - 5x$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесём все члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$25x + 5x = 5 + 1$

Сложим подобные члены:

$30x = 6$

Теперь найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 30:

$x = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Таким образом, цена одного яйца составляет $\frac{1}{5}$ полушки.

В задаче спрашивается, по какой цене крестьянин продавал десяток яиц, то есть 10 штук. Чтобы найти эту цену, нужно цену одного яйца умножить на 10:

Цена за 10 яиц = $10 \cdot x = 10 \cdot \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2$ полушки.

Для справки, старинная денежная единица полушка составляла четверть копейки ($1$ копейка = $4$ полушки). Следовательно, десяток яиц стоил полкопейки.

Ответ: 2 полушки.

1107. Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 день-ги без 5 яиц. Сколько яиц приходится на 1 деньгу?

Для решения этой задачи составим уравнение. Давайте обозначим стоимость одного яйца за $x$ деньги.

Стоимость двадцати пяти яиц с полуденьгой (0,5 деньги) можно выразить как $25x + 0.5$.

Стоимость трех денег без пяти яиц можно выразить как $3 - 5x$.

Согласно условию задачи, эти две стоимости равны. Составим и решим уравнение:

$25x + 0.5 = 3 - 5x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$25x + 5x = 3 - 0.5$

$30x = 2.5$

Теперь найдем $x$ (стоимость одного яйца):

$x = \frac{2.5}{30} = \frac{25}{300} = \frac{1}{12}$

Таким образом, одно яйцо стоит $\frac{1}{12}$ деньги.

Чтобы узнать, сколько яиц приходится на 1 деньгу, нужно разделить 1 на стоимость одного яйца:

$1 \div \frac{1}{12} = 1 \cdot 12 = 12$

Следовательно, на 1 деньгу приходится 12 яиц.

Ответ: 12 яиц.

1108. Один араб перед смертью завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, с тем чтобы старший получил половину, средний — треть, младший — девятую часть всех верблюдов. После смерти отца сыновья никак не могли разделить верблюдов по завещанию, и они позвали главу племени. Этот глава приехал на собственном верблюде и, узнав, в чём дело, предложил присоединить к их верблюдам своего и поделить их по завещанию. Братья обрадовались предложению главы племени. Но каково же было их удивление, когда оказалось, что, выполнив в точности завещание отца, они получили на самом деле не 18, а 17 верблюдов, вследствие чего им пришлось вернуть главе племени его верблюда. Почему так получилось?

Эта задача является классическим примером головоломки, решение которой кроется в математической несогласованности самого завещания. Проблема не в делении 17 верблюдов, а в том, что доли, указанные отцом, в сумме не составляют единое целое (всё наследство).

Давайте посчитаем сумму долей, которые должны были получить сыновья:

$\frac{1}{2} \text{ (старшему)} + \frac{1}{3} \text{ (среднему)} + \frac{1}{9} \text{ (младшему)}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 9 — это 18.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{9+6+2}{18} = \frac{17}{18}$

Таким образом, отец завещал распределить между сыновьями только $\frac{17}{18}$ своего стада, а судьба оставшейся $\frac{1}{18}$ части была не определена. Именно эта "недостающая" часть и создала проблему.

Глава племени, добавив своего верблюда, довел их общее число до 18. Это число идеально подходит для расчетов, так как оно делится на 2, 3 и 9 без остатка. Это позволило сыновьям формально выполнить завещание, рассчитав доли от нового, удобного числа.

Расчет долей от 18 верблюдов:

• Старший сын получил половину: $18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ верблюдов.
• Средний сын получил треть: $18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ верблюдов.
• Младший сын получил девятую часть: $18 \cdot \frac{1}{9} = 2$ верблюда.

Теперь сложим количество верблюдов, которое в итоге получили сыновья:

$9 + 6 + 2 = 17$ верблюдов.

Как мы видим, в сумме они получили ровно 17 верблюдов — то есть всё наследство отца. Оставшийся восемнадцатый верблюд ($18 - 17 = 1$) и был тем самым верблюдом, которого временно добавил глава племени. Поэтому его и удалось без проблем вернуть владельцу.

Ответ: Так получилось потому, что сумма долей, указанных в завещании ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{9}$), не равна единице, а составляет $\frac{17}{18}$. Глава племени, добавив своего верблюда, создал временное стадо из 18 животных, что позволило рассчитать доли в целых числах. В результате сыновья забрали свои доли, которые в сумме составили ровно 17 верблюдов ($18 \cdot \frac{17}{18} = 17$), а оставшийся верблюд, принадлежавший главе племени, был ему возвращен.

1109. Шли три путника с грузом.

— Если бы кто-нибудь сейчас продал нам мула, я бы отдал за него $\frac{1}{2}$ его стоимости, — сказал первый путник.

— А я бы добавил $\frac{1}{3}$ его стоимости, — сказал второй.

— И я добавил бы $\frac{1}{4}$, — произнёс третий.

Вдруг перед ними появился погонщик мулов, который согласился продать мула за 13 монет. Так как 13 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, то путники долго спорили, кто сколько монет должен дать. Тогда погонщик сказал:

— Я согласен, чтобы каждый из вас дал мне соответственно $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ не от 13, а от 12 монет. Каждый из путников понял, что даст меньше, чем обещал, и поэтому все они согласились на такое распределение платы за мула. Сколько монет получил погонщик?

Для решения задачи нужно рассчитать, сколько денег заплатил каждый из путников, следуя предложению погонщика. Погонщик предложил им рассчитывать свои доли (половину, треть и четверть) не от 13 монет, а от 12, так как число 12 удобно делится на 2, 3 и 4.

Вклад первого путника:

Первый путник заплатил половину от 12 монет. Его взнос составил: $12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ монет.

Вклад второго путника:

Второй путник заплатил треть от 12 монет. Его взнос составил: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ монеты.

Вклад третьего путника:

Третий путник заплатил четверть от 12 монет. Его взнос составил: $12 \cdot \frac{1}{4} = 3$ монеты.

Общая сумма, полученная погонщиком:

Чтобы найти, сколько всего монет получил погонщик, необходимо сложить взносы всех трех путников:$6 + 4 + 3 = 13$ монет.

Таким образом, хотя каждый путник рассчитывал свою долю от меньшей суммы (12 монет), в итоге погонщик получил ровно ту цену, которую просил за мула — 13 монет.

Ответ: 13 монет.