Страница 232 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите значение числового выражения (1122-1124):

1122. a) $-640 : (-80) - 560 : 7 + 490 : 7;$

б) $-540 : 9 + (-450) : 5 + 160;$

в) $720 : (-36) - 840 : (-42) - 753;$

г) $-860 : 20 - 625 : 25 + 75.$

а) $-640 : (-80) - 560 : 7 + 490 : 7$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняем деление, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним первое деление: $-640 : (-80)$. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. $640 : 80 = 8$.

2. Выполним второе деление: $560 : 7 = 80$.

3. Выполним третье деление: $490 : 7 = 70$.

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$8 - 80 + 70$

5. Выполним вычитание: $8 - 80 = -72$.

6. Выполним сложение: $-72 + 70 = -2$.

Таким образом, $-640 : (-80) - 560 : 7 + 490 : 7 = 8 - 80 + 70 = -2$.

Ответ: -2

б) $-540 : 9 + (-450) : 5 + 160$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.

1. Первое деление: $-540 : 9$. При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число. $540 : 9 = 60$. Значит, $-540 : 9 = -60$.

2. Второе деление: $(-450) : 5$. $450 : 5 = 90$. Значит, $(-450) : 5 = -90$.

3. Подставим результаты в выражение:

$-60 + (-90) + 160$

4. Выполняем сложение слева направо: $-60 - 90 = -150$.

5. $-150 + 160 = 10$.

Таким образом, $-540 : 9 + (-450) : 5 + 160 = -60 - 90 + 160 = 10$.

Ответ: 10

в) $720 : (-36) - 840 : (-42) - 753$

Сначала выполняем деление, затем вычитание.

1. Первое деление: $720 : (-36)$. При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. $720 : 36 = 20$. Значит, $720 : (-36) = -20$.

2. Второе деление: $840 : (-42)$. $840 : 42 = 20$. Значит, $840 : (-42) = -20$.

3. Подставим результаты в выражение:

$-20 - (-20) - 753$

4. Вычитание отрицательного числа $(-20)$ эквивалентно сложению положительного числа $20$:

$-20 + 20 - 753$

5. Выполняем действия слева направо: $-20 + 20 = 0$.

6. $0 - 753 = -753$.

Таким образом, $720 : (-36) - 840 : (-42) - 753 = -20 - (-20) - 753 = -20 + 20 - 753 = -753$.

Ответ: -753

г) $-860 : 20 - 625 : 25 + 75$

Сначала выполняем деление, затем вычитание и сложение.

1. Первое деление: $-860 : 20$. $860 : 20 = 86 : 2 = 43$. Значит, $-860 : 20 = -43$.

2. Второе деление: $625 : 25 = 25$.

3. Подставим результаты в выражение:

$-43 - 25 + 75$

4. Выполняем вычитание: $-43 - 25 = -68$.

5. Выполняем сложение: $-68 + 75 = 7$.

Таким образом, $-860 : 20 - 625 : 25 + 75 = -43 - 25 + 75 = -68 + 75 = 7$.

Ответ: 7

1123. a) $222 : (-3996 : 54) + 33;$

б) $256 \cdot (37 \cdot (-9) + 33) : (-1200);$

в) $-2376 : (-625 : 25 + 49);$

г) $5100 : (-2279 : 53 + 26) \cdot (-17).$

а) $222 : (-3996 : 54) + 332$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем деление и умножение, и в конце сложение и вычитание):

1. Выполним действие в скобках (деление): $-3996 : 54$.

$3996 : 54 = 74$. Следовательно, $-3996 : 54 = -74$.

2. Теперь выполним деление: $222 : (-74)$.

$222 : 74 = 3$. Следовательно, $222 : (-74) = -3$.

3. Последнее действие — сложение: $-3 + 332$.

$-3 + 332 = 329$.

Итоговое решение: $222 : (-3996 : 54) + 332 = 222 : (-74) + 332 = -3 + 332 = 329$.

Ответ: 329

б) $256 \cdot (37 \cdot (-9) + 33) : (-1200)$

Решим по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в скобках. Первым действием будет умножение: $37 \cdot (-9)$.

$37 \cdot 9 = 333$. Следовательно, $37 \cdot (-9) = -333$.

2. Теперь сложение в скобках: $-333 + 33$.

$-333 + 33 = -300$.

3. Выражение принимает вид: $256 \cdot (-300) : (-1200)$. Выполним действия слева направо. Сначала умножение: $256 \cdot (-300)$.

$256 \cdot 300 = 76800$. Следовательно, $256 \cdot (-300) = -76800$.

4. Последнее действие — деление: $-76800 : (-1200)$.

При делении отрицательного числа на отрицательное получится положительное. $76800 : 1200 = 768 : 12 = 64$.

Итоговое решение: $256 \cdot (37 \cdot (-9) + 33) : (-1200) = 256 \cdot (-300) : (-1200) = -76800 : (-1200) = 64$.

Ответ: 64

в) $-2376 : (-625 : 25 + 49)$

Решим по действиям:

1. Вычислим значение в скобках. Сначала деление: $-625 : 25$.

$625 : 25 = 25$. Следовательно, $-625 : 25 = -25$.

2. Теперь сложение в скобках: $-25 + 49$.

$-25 + 49 = 24$.

3. Теперь выполним основное деление: $-2376 : 24$.

При делении отрицательного числа на положительное получится отрицательное. $2376 : 24 = 99$. Следовательно, $-2376 : 24 = -99$.

Итоговое решение: $-2376 : (-625 : 25 + 49) = -2376 : (-25 + 49) = -2376 : 24 = -99$.

Ответ: -99

г) $5100 : (-2279 : 53 + 26) \cdot (-17)$

Решим по действиям:

1. Вычислим значение в скобках. Сначала деление: $-2279 : 53$.

$2279 : 53 = 43$. Следовательно, $-2279 : 53 = -43$.

2. Теперь сложение в скобках: $-43 + 26$.

$-43 + 26 = -17$.

3. Выражение принимает вид: $5100 : (-17) \cdot (-17)$. Выполняем действия слева направо. Сначала деление: $5100 : (-17)$.

$5100 : 17 = 300$. Следовательно, $5100 : (-17) = -300$.

4. Последнее действие — умножение: $-300 \cdot (-17)$.

При умножении двух отрицательных чисел получится положительное. $300 \cdot 17 = 5100$.

Итоговое решение: $5100 : (-2279 : 53 + 26) \cdot (-17) = 5100 : (-17) \cdot (-17) = -300 \cdot (-17) = 5100$.

Ответ: 5100

1124. а) $49 \cdot 68 + 51 \cdot 68 + 49 \cdot 12 + 51 \cdot 12;$

б) $87 \cdot 52 - 17 \cdot 52 + 87 \cdot 38 - 17 \cdot 38;$

в) $77 \cdot 99 + 23 \cdot 99 - 77 \cdot 29 - 23 \cdot 29;$

г) $108 \cdot 86 - 86 \cdot 18 - 108 \cdot 56 + 18 \cdot 56;$

д) $428 \cdot 356 + 72 \cdot 356 + 144 \cdot 428 + 72 \cdot 144.$

а)

Исходное выражение: $49 \cdot 68 + 51 \cdot 68 + 49 \cdot 12 + 51 \cdot 12$.
Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесение общего множителя за скобки). Сгруппируем слагаемые:

1. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:
$(49 \cdot 68 + 51 \cdot 68) + (49 \cdot 12 + 51 \cdot 12)$

2. Вынесем общие множители 68 и 12 за скобки:
$68 \cdot (49 + 51) + 12 \cdot (49 + 51)$

3. Теперь мы видим, что у обеих групп есть общий множитель $(49 + 51)$. Вынесем его за скобки:
$(49 + 51) \cdot (68 + 12)$

4. Выполним вычисления в скобках:
$100 \cdot 80$

5. Найдем конечное произведение:
$8000$
Ответ: 8000

б)

Исходное выражение: $87 \cdot 52 - 17 \cdot 52 + 87 \cdot 38 - 17 \cdot 38$.
Сгруппируем слагаемые с общими множителями:

1. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(87 \cdot 52 - 17 \cdot 52) + (87 \cdot 38 - 17 \cdot 38)$

2. Вынесем общие множители 52 и 38 за скобки:
$52 \cdot (87 - 17) + 38 \cdot (87 - 17)$

3. Вынесем общий множитель $(87 - 17)$ за скобки:
$(87 - 17) \cdot (52 + 38)$

4. Выполним вычисления в скобках:
$70 \cdot 90$

5. Найдем произведение:
$6300$
Ответ: 6300

в)

Исходное выражение: $77 \cdot 99 + 23 \cdot 99 - 77 \cdot 29 - 23 \cdot 29$.
Сгруппируем слагаемые:

1. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых. Обратим внимание на знаки:
$(77 \cdot 99 + 23 \cdot 99) - (77 \cdot 29 + 23 \cdot 29)$

2. Вынесем общие множители 99 и 29 за скобки:
$99 \cdot (77 + 23) - 29 \cdot (77 + 23)$

3. Вынесем общий множитель $(77 + 23)$ за скобки:
$(77 + 23) \cdot (99 - 29)$

4. Выполним вычисления в скобках:
$100 \cdot 70$

5. Найдем произведение:
$7000$
Ответ: 7000

г)

Исходное выражение: $108 \cdot 86 - 86 \cdot 18 - 108 \cdot 56 + 18 \cdot 56$.
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

1. Сгруппируем слагаемые с общим множителем 86 и с общим множителем 56:
$(108 \cdot 86 - 18 \cdot 86) - (108 \cdot 56 - 18 \cdot 56)$

2. Вынесем общие множители 86 и 56 за скобки:
$86 \cdot (108 - 18) - 56 \cdot (108 - 18)$

3. Вынесем общий множитель $(108 - 18)$ за скобки:
$(108 - 18) \cdot (86 - 56)$

4. Выполним вычисления в скобках:
$90 \cdot 30$

5. Найдем произведение:
$2700$
Ответ: 2700

д)

Исходное выражение: $428 \cdot 356 + 72 \cdot 356 + 144 \cdot 428 + 72 \cdot 144$.
Перегруппируем слагаемые:

1. Сгруппируем слагаемые с общим множителем 428 и с общим множителем 72:
$(428 \cdot 356 + 428 \cdot 144) + (72 \cdot 356 + 72 \cdot 144)$

2. Вынесем общие множители 428 и 72 за скобки:
$428 \cdot (356 + 144) + 72 \cdot (356 + 144)$

3. Вынесем общий множитель $(356 + 144)$ за скобки:
$(428 + 72) \cdot (356 + 144)$

4. Выполним вычисления в скобках:
$500 \cdot 500$

5. Найдем произведение:
$250000$
Ответ: 250000

1125. Два ученика по очереди пишут цифры десятизначного числа.

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3.Всего в десятизначном числе 10 цифр. Первый ученик пишет цифры на нечетных позициях (1-ю, 3-ю, ..., 9-ю), а второй ученик — на четных (2-ю, 4-ю, ..., 10-ю). Всего каждый напишет по 5 цифр.Ключевым является то, что второй ученик делает последний ход, то есть пишет 10-ю цифру.Пусть $S_9$ — это сумма первых девяти цифр, которые уже написаны. Когда наступает очередь второго ученика делать последний ход, он должен выбрать десятую цифру $d_{10}$ так, чтобы итоговая сумма $S = S_9 + d_{10}$ делилась на 3.Рассмотрим, какой остаток может давать $S_9$ при делении на 3:
1. Если $S_9$ делится на 3, то есть $S_9 \equiv 0 \pmod 3$. Второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая также делится на 3. У него есть выбор: 0, 3, 6, 9. Он может выбрать любую из них.
2. Если $S_9$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 1 \pmod 3$. Второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 2 при делении на 3 (так как $1+2=3$). У него есть выбор: 2, 5, 8.
3. Если $S_9$ дает остаток 2 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 2 \pmod 3$. Второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 1 при делении на 3 (так как $2+1=3$). У него есть выбор: 1, 4, 7.В любой ситуации, независимо от ходов первого ученика, у второго всегда есть как минимум три варианта для своей последней цифры, чтобы сумма всех цифр делилась на 3. Таким образом, второй ученик всегда может добиться своей цели.
Ответ: Да, может.

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9.Первый ученик хочет, чтобы итоговая сумма цифр $S$ делилась на 9. Второй ученик хочет ему помешать.Как и в предыдущем пункте, второй ученик делает последний ход, записывая цифру $d_{10}$. Это дает ему решающее преимущество.Пусть $S_9$ — это сумма первых девяти цифр. Итоговая сумма равна $S = S_9 + d_{10}$.Цель первого ученика — сделать так, чтобы $S$ делилось на 9. Цель второго — чтобы не делилось.Когда второй ученик делает свой последний ход, он знает сумму $S_9$. Ему нужно выбрать цифру $d_{10}$ так, чтобы сумма $S_9 + d_{10}$ не делилась на 9.Для любого значения $S_9$ существует единственное значение $r \in \{0, 1, ..., 8\}$, такое что если $d_{10} \equiv r \pmod 9$, то итоговая сумма $S$ будет делиться на 9.
Например, если $S_9 = 40$, то $40 \equiv 4 \pmod 9$. Чтобы сумма делилась на 9, нужно, чтобы $d_{10} \equiv 5 \pmod 9$. Единственная подходящая цифра — это 5. Второй ученик может выбрать любую другую цифру из 9 оставшихся (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9), и тогда сумма не будет делиться на 9.
Если $S_9 = 45$, то $45 \equiv 0 \pmod 9$. Чтобы сумма делилась на 9, нужно, чтобы $d_{10} \equiv 0 \pmod 9$. Подходящие цифры — 0 и 9. Второй ученик может выбрать любую из 8 других цифр.В общем случае, для того чтобы сумма $S$ делилась на 9, второй ученик должен был бы выбрать цифру $d_{10}$ с определенным остатком при делении на 9. Таких цифр среди $\{0, 1, ..., 9\}$ может быть одна или две (только для остатка 0 — цифры 0 и 9). Это означает, что у второго ученика всегда есть как минимум $10 - 2 = 8$ вариантов для выбора цифры, которая гарантированно помешает первому ученику достичь цели.Поскольку второй ученик всегда может сделать ход, который нарушает делимость на 9, первый ученик не может этого гарантировать.
Ответ: Нет, не может.

1126. Делится ли число 12345678910111213...979899 на 3? на 9?

Чтобы определить, делится ли число на 3 или на 9, нужно найти сумму его цифр. Если сумма цифр делится на 3 (или на 9), то и само число делится на 3 (или на 9).

Данное число составлено из последовательно записанных чисел от 1 до 99. Найдём сумму цифр этого числа, то есть сумму всех цифр всех целых чисел от 1 до 99.

Для удобства расчёта рассмотрим числа от 00 до 99. Всего таких чисел 100.

1. Посчитаем сумму цифр в разряде единиц. В каждом десятке (0-9, 10-19, ..., 90-99) встречаются все цифры от 0 до 9. Всего таких десятков 10. Сумма цифр от 0 до 9 равна: $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. Так как таких десятков 10, то общая сумма цифр в разряде единиц будет: $10 \times 45 = 450$.

2. Посчитаем сумму цифр в разряде десятков. Каждая цифра от 0 до 9 (0 для чисел 00-09, 1 для чисел 10-19 и т.д.) встречается по 10 раз. Сумма цифр в разряде десятков будет: $10 \times (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 10 \times 45 = 450$.

3. Общая сумма цифр для чисел от 00 до 99 равна сумме цифр в разрядах единиц и десятков: $S = 450 + 450 = 900$.

Сумма цифр чисел от 1 до 99 такая же, как и от 00 до 99, поскольку добавление числа 00 не меняет общую сумму цифр.

Теперь проверим делимость.

на 3?
Сумма цифр числа равна 900. Так как $900$ делится на $3$ без остатка ($900 : 3 = 300$), то и исходное число делится на $3$.
Ответ: да, делится.

на 9?
Сумма цифр числа равна 900. Так как $900$ делится на $9$ без остатка ($900 : 9 = 100$), то и исходное число делится на $9$.
Ответ: да, делится.

1127. Докажите, что если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11.

Пусть дано трёхзначное число. Обозначим его цифры как $a$ (сотни), $b$ (десятки) и $c$ (единицы).

Тогда значение этого числа $N$ можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $N = 100a + 10b + c$

Согласно условию задачи, средняя цифра равна сумме крайних цифр. Запишем это в виде равенства: $b = a + c$

Теперь подставим выражение для $b$ из условия в формулу для числа $N$: $N = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы упростить выражение: $N = 100a + 10a + 10c + c$

$N = 110a + 11c$

В полученном выражении можно вынести за скобки общий множитель 11: $N = 11(10a + c)$

Так как $a$ и $c$ являются цифрами (целыми числами), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Следовательно, число $N$ представлено как произведение числа 11 и некоторого целого числа, что по определению означает, что $N$ кратно 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любое трёхзначное число $N$, у которого средняя цифра $b$ равна сумме крайних $a$ и $c$, можно представить в виде $N = 11(10a + c)$, из чего следует, что оно всегда делится на 11.

1128. Разность двух нечётных чисел равна 8. Докажите, что эти числа взаимно простые.

Пусть даны два нечётных числа, назовём их $a$ и $b$. По условию, их разность равна 8. Без ограничения общности, предположим, что $a > b$, тогда $a - b = 8$.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) равен 1. Нам нужно доказать, что $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Воспользуемся основным свойством наибольшего общего делителя, которое гласит, что $\text{НОД}$ двух чисел равен $\text{НОД}$ одного из них и их разности: $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a - b, b)$.

Подставим в это свойство известное нам значение разности $a - b = 8$:
$\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(8, b)$.

Теперь задача сводится к нахождению $\text{НОД}(8, b)$. Общие делители чисел 8 и $b$ должны быть делителями числа 8. Положительные делители числа 8 — это 1, 2, 4, 8.

По условию, число $b$ — нечётное. Нечётное число по определению не делится на 2, а значит, не может иметь и других чётных делителей. Числа 2, 4, 8 являются чётными, поэтому они не могут быть делителями нечётного числа $b$.

Следовательно, единственным общим положительным делителем для числа 8 и нечётного числа $b$ является 1.

Таким образом, $\text{НОД}(8, b) = 1$.

А так как $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(8, b)$, то и $\text{НОД}(a, b) = 1$. Это доказывает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми.

Ответ: Утверждение доказано. Наибольший общий делитель этих чисел равен наибольшему общему делителю одного из них и их разности ($\text{НОД}(a,b) = \text{НОД}(b, 8)$). Так как одно из чисел нечётное, их общий делитель с числом 8 не может быть 2, 4 или 8. Значит, $\text{НОД}$ равен 1, и числа взаимно простые.

1129. Чтобы узнать, является ли число 2503 простым, его стали последовательно делить на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ....
На каком простом числе можно прекратить испытание?

Чтобы определить, является ли число $n$ простым, достаточно проверить его делимость на все простые числа $p$, не превосходящие квадратный корень из $n$ (то есть, $p \le \sqrt{n}$). Если окажется, что $n$ не делится ни на одно из этих простых чисел, то $n$ является простым. Это правило основано на том, что если составное число $n$ раскладывается на два множителя ($n = a \cdot b$), то хотя бы один из них не будет превышать $\sqrt{n}$.

В данной задаче мы проверяем число $n = 2503$. Сначала определим, до какого простого числа нужно проводить проверку. Для этого оценим значение $\sqrt{2503}$.

Подберем ближайшие к 2503 квадраты целых чисел:

$50^2 = 2500$

$51^2 = 2601$

Так как $2500 < 2503 < 2601$, можно сделать вывод, что $\sqrt{2500} < \sqrt{2503} < \sqrt{2601}$, а значит $50 < \sqrt{2503} < 51$.

Следовательно, для проверки простоты числа 2503 достаточно испытать его деление на все простые числа, которые меньше 51. Это числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Последнее простое число в этом списке — 47. После проверки делимости на него можно прекратить испытание. Следующее простое число, 53, уже больше, чем $\sqrt{2503}$, поэтому его и все последующие простые числа проверять не требуется.

Ответ: 47.

1130. Из утверждений «A делится на 2», «A делится на 4», «A делится на 8», «A делится на 16» три верных, а одно неверное. Какое? Объясните ваш ответ.

Рассмотрим четыре утверждения:

1. «А делится на 2»
2. «А делится на 4»
3. «А делится на 8»
4. «А делится на 16»

Эти утверждения логически связаны между собой. Делимость на $16$ влечет за собой делимость на $8$, делимость на $8$ влечет делимость на $4$, а делимость на $4$ влечет делимость на $2$. Это можно представить в виде цепочки логических следствий:

Если «А делится на 16» верно $\implies$ «А делится на 8» верно $\implies$ «А делится на 4» верно $\implies$ «А делится на 2» верно.

Математически это записывается так: $(A \vdots 16) \implies (A \vdots 8) \implies (A \vdots 4) \implies (A \vdots 2)$.

По условию, три утверждения верны, а одно неверно. Проанализируем, какое из утверждений может быть неверным, двигаясь по цепочке в обратном порядке.

• Если неверно утверждение «А делится на 2», то число А — нечетное. Следовательно, оно не может делиться на 4, 8 и 16. В этом случае все четыре утверждения были бы неверными, что противоречит условию.
• Если неверно утверждение «А делится на 4», то А не может делиться и на 8, и на 16 (так как если бы оно делилось на 8 или 16, то делилось бы и на 4). В этом случае неверными были бы как минимум три утверждения. Это противоречит условию.
• Если неверно утверждение «А делится на 8», то А не может делиться и на 16. В этом случае неверными были бы как минимум два утверждения. Это также противоречит условию.
• Если неверно утверждение «А делится на 16», то остальные три утверждения могут быть верными. Это возможно, если число А делится на 8 (и, следовательно, на 4 и на 2), но при этом не делится на 16. Например, число $A=8$.
  • $8$ делится на 2 — верно.
  • $8$ делится на 4 — верно.
  • $8$ делится на 8 — верно.
  • $8$ не делится на 16 — неверно.
  Этот случай полностью соответствует условию задачи: три верных утверждения и одно неверное.

Таким образом, единственное утверждение, которое может быть неверным, — это «А делится на 16».

Ответ: Неверное утверждение — «А делится на 16».

1131. Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3?

Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, мы можем использовать метод исключения. Сначала мы найдем, сколько чисел делится на 2 или на 3, а затем вычтем это количество из общего числа (100).

1. Количество чисел, делящихся на 2.
Это все четные числа от 1 до 100. Чтобы их посчитать, нужно 100 разделить на 2.
$N_2 = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$ чисел.

2. Количество чисел, делящихся на 3.
Чтобы их посчитать, нужно 100 разделить на 3 и взять целую часть.
$N_3 = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$ числа.

3. Количество чисел, делящихся одновременно на 2 и на 3.
Если число делится и на 2, и на 3, то оно делится на их наименьшее общее кратное, то есть на $2 \times 3 = 6$. Посчитаем количество таких чисел.
$N_{2 \text{ и } 3} = N_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ чисел.
Эти 16 чисел были посчитаны дважды: и в группе делящихся на 2, и в группе делящихся на 3. Поэтому их нужно вычесть один раз.

4. Количество чисел, делящихся на 2 или на 3.
Используем формулу включений-исключений: сложим количество чисел, делящихся на 2 и на 3, и вычтем количество чисел, делящихся на оба числа одновременно.
$N_{2 \text{ или } 3} = N_2 + N_3 - N_6 = 50 + 33 - 16 = 83 - 16 = 67$ чисел.

5. Количество чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3.
Теперь вычтем из общего количества чисел (100) те, что делятся на 2 или на 3.
$100 - 67 = 33$ числа.

Ответ: 33

1132. Сравните дроби $\frac{12}{13}$ и $\frac{16}{17}$, не приводя их к общему знаменателю.

Чтобы сравнить дроби $\frac{12}{13}$ и $\frac{16}{17}$ без приведения к общему знаменателю, можно определить, насколько каждая из них меньше единицы. Та дробь, которой не хватает до единицы меньшего значения, будет больше.

1. Найдем, на сколько первая дробь меньше единицы:

$1 - \frac{12}{13} = \frac{13}{13} - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$

2. Найдем, на сколько вторая дробь меньше единицы:

$1 - \frac{16}{17} = \frac{17}{17} - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}$

3. Теперь сравним полученные разности: $\frac{1}{13}$ и $\frac{1}{17}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $13 < 17$, то $\frac{1}{13} > \frac{1}{17}$.

Это означает, что дроби $\frac{12}{13}$ не хватает до единицы большего числа ($\frac{1}{13}$), чем дроби $\frac{16}{17}$, которой не хватает меньшего числа ($\frac{1}{17}$). Следовательно, дробь $\frac{16}{17}$ находится ближе к единице, а значит, она больше, чем $\frac{12}{13}$.

Таким образом, $\frac{12}{13} < \frac{16}{17}$.

Ответ: $\frac{12}{13} < \frac{16}{17}$.

1133. Сравните дроби:

а) $\frac{2323}{6464}$ и $\frac{23}{64}$;

б) $\frac{71}{98}$ и $\frac{7171}{9898}$.

а) Сравним дроби $\frac{2323}{6464}$ и $\frac{23}{64}$.

Для этого рассмотрим дробь $\frac{2323}{6464}$ и попробуем ее упростить. Заметим, что и числитель, и знаменатель имеют повторяющиеся группы цифр. Мы можем представить их в следующем виде:

Числитель: $2323 = 2300 + 23 = 23 \times 100 + 23 \times 1 = 23 \times (100 + 1) = 23 \times 101$.

Знаменатель: $6464 = 6400 + 64 = 64 \times 100 + 64 \times 1 = 64 \times (100 + 1) = 64 \times 101$.

Теперь подставим эти выражения обратно в дробь:

$\frac{2323}{6464} = \frac{23 \times 101}{64 \times 101}$

Поскольку в числителе и знаменателе есть общий множитель 101, мы можем сократить на него дробь:

$\frac{23 \times 101}{64 \times 101} = \frac{23}{64}$

Таким образом, первая дробь равна второй дроби.

Ответ: $\frac{2323}{6464} = \frac{23}{64}$.

б) Сравним дроби $\frac{71}{98}$ и $\frac{7171}{9898}$.

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Упростим дробь $\frac{7171}{9898}$. Представим ее числитель и знаменатель в виде произведений:

Числитель: $7171 = 7100 + 71 = 71 \times 100 + 71 \times 1 = 71 \times (100 + 1) = 71 \times 101$.

Знаменатель: $9898 = 9800 + 98 = 98 \times 100 + 98 \times 1 = 98 \times (100 + 1) = 98 \times 101$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{7171}{9898} = \frac{71 \times 101}{98 \times 101}$

Сократим общий множитель 101:

$\frac{71 \times 101}{98 \times 101} = \frac{71}{98}$

Таким образом, вторая дробь равна первой.

Ответ: $\frac{71}{98} = \frac{7171}{9898}$.

Найдите значение числового выражения (1134–1141):

1134. а) $\frac{11}{15} \cdot \left(4\frac{1}{2} - 3\frac{2}{5} : \frac{17}{20}\right) + 1\frac{11}{20};$

б) $5\frac{4}{7} : 1\frac{5}{21} - \left(5\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{22} + 1\frac{14}{15}\right);$

в) $7\frac{2}{3} + 4\frac{1}{6} \cdot \left(6\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7}\right);$

г) $4\frac{2}{7} : 1\frac{5}{21} + \left(4\frac{3}{13} \cdot \frac{14}{15} - 3\frac{1}{3}\right).$

а)

Решим выражение $\frac{11}{15} \cdot (4\frac{1}{2} - 3\frac{2}{5} : \frac{17}{20}) + 1\frac{11}{20}$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, внутри скобок — деление, затем вычитание; после этого — умножение и сложение).

1. Первым действием выполним деление в скобках. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{2}{5} : \frac{17}{20} = \frac{17}{5} : \frac{17}{20} = \frac{17}{5} \cdot \frac{20}{17} = \frac{17 \cdot 20}{5 \cdot 17} = \frac{20}{5} = 4$.

2. Вторым действием выполним вычитание в скобках:
$4\frac{1}{2} - 4 = \frac{1}{2}$.

3. Третьим действием выполним умножение результата, полученного в скобках, на дробь перед скобками:
$\frac{11}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11 \cdot 1}{15 \cdot 2} = \frac{11}{30}$.

4. Четвертым действием выполним сложение:
$\frac{11}{30} + 1\frac{11}{20} = \frac{11}{30} + \frac{31}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$\frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} + \frac{31 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{22}{60} + \frac{93}{60} = \frac{22 + 93}{60} = \frac{115}{60}$.
Сократим дробь на 5 и выделим целую часть:
$\frac{115 : 5}{60 : 5} = \frac{23}{12} = 1\frac{11}{12}$.

Ответ: $1\frac{11}{12}$.

б)

Решим выражение $5\frac{4}{7} : 1\frac{5}{21} - (5\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{22} + 1\frac{14}{15})$ по действиям.

1. Выполним умножение в скобках:
$5\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{22} = \frac{77}{15} \cdot \frac{3}{22} = \frac{77 \cdot 3}{15 \cdot 22} = \frac{(7 \cdot 11) \cdot 3}{(5 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 11)} = \frac{7}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10}$.

2. Выполним сложение в скобках:
$\frac{7}{10} + 1\frac{14}{15} = \frac{7}{10} + \frac{29}{15}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{29 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{21}{30} + \frac{58}{30} = \frac{79}{30}$.

3. Выполним деление в левой части выражения:
$5\frac{4}{7} : 1\frac{5}{21} = \frac{39}{7} : \frac{26}{21} = \frac{39}{7} \cdot \frac{21}{26} = \frac{39 \cdot 21}{7 \cdot 26} = \frac{(3 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 7)}{7 \cdot (2 \cdot 13)} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$.

4. Выполним вычитание:
$\frac{9}{2} - \frac{79}{30}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$\frac{9 \cdot 15}{2 \cdot 15} - \frac{79}{30} = \frac{135}{30} - \frac{79}{30} = \frac{135 - 79}{30} = \frac{56}{30}$.
Сократим дробь на 2 и выделим целую часть:
$\frac{56 : 2}{30 : 2} = \frac{28}{15} = 1\frac{13}{15}$.

Ответ: $1\frac{13}{15}$.

в)

Решим выражение $7\frac{2}{3} + 4\frac{1}{6} \cdot (6\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7})$ по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Так как $\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$, займем единицу у целой части:
$6\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} = 5\frac{9}{7} - 3\frac{5}{7} = (5-3) + (\frac{9}{7} - \frac{5}{7}) = 2\frac{4}{7}$.

2. Выполним умножение:
$4\frac{1}{6} \cdot 2\frac{4}{7} = \frac{25}{6} \cdot \frac{18}{7} = \frac{25 \cdot 18}{6 \cdot 7} = \frac{25 \cdot 3}{7} = \frac{75}{7}$.

3. Выполним сложение:
$7\frac{2}{3} + \frac{75}{7} = \frac{23}{3} + \frac{75}{7}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$\frac{23 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{75 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{161}{21} + \frac{225}{21} = \frac{161 + 225}{21} = \frac{386}{21}$.
Выделим целую часть:
$\frac{386}{21} = 18\frac{8}{21}$.

Ответ: $18\frac{8}{21}$.

г)

Решим выражение $4\frac{2}{7} : 1\frac{5}{21} + (4\frac{3}{13} \cdot \frac{14}{15} - 3\frac{1}{3})$ по действиям.

1. Выполним умножение в скобках:
$4\frac{3}{13} \cdot \frac{14}{15} = \frac{55}{13} \cdot \frac{14}{15} = \frac{55 \cdot 14}{13 \cdot 15} = \frac{(5 \cdot 11) \cdot 14}{13 \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{11 \cdot 14}{13 \cdot 3} = \frac{154}{39}$.

2. Выполним вычитание в скобках:
$\frac{154}{39} - 3\frac{1}{3} = \frac{154}{39} - \frac{10}{3}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 39:
$\frac{154}{39} - \frac{10 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{154}{39} - \frac{130}{39} = \frac{24}{39}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{24 : 3}{39 : 3} = \frac{8}{13}$.

3. Выполним деление в левой части выражения:
$4\frac{2}{7} : 1\frac{5}{21} = \frac{30}{7} : \frac{26}{21} = \frac{30}{7} \cdot \frac{21}{26} = \frac{30 \cdot 21}{7 \cdot 26} = \frac{30 \cdot 3}{26} = \frac{90}{26}$.
Сократим дробь на 2: $\frac{90 : 2}{26 : 2} = \frac{45}{13}$.

4. Выполним сложение:
$\frac{45}{13} + \frac{8}{13} = \frac{45 + 8}{13} = \frac{53}{13}$.
Выделим целую часть:
$\frac{53}{13} = 4\frac{1}{13}$.

Ответ: $4\frac{1}{13}$.