Страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1079. У шахматной доски отрезали две противоположные угловые клетки (рис. 143). Можно ли эту доску разрезать на фигуры домино, покрывающие две клетки доски?

Рис. 143

Стандартная шахматная доска имеет размер $8 \times 8$, что составляет 64 клетки. Эти клетки окрашены в два цвета, которые условно назовем черным и белым. Количество клеток каждого цвета одинаково: 32 белые и 32 черные.

В задаче говорится, что у доски отрезали две противоположные угловые клетки. Важно отметить, что противоположные угловые клетки на шахматной доске всегда одного цвета. Например, если взять стандартную нотацию, то углы a1 и h8 — черные, а углы a8 и h1 — белые. Таким образом, с доски удалили две клетки одного цвета.

Предположим, что удалили две белые клетки. Тогда на доске останется:

• Общее количество клеток: $64 - 2 = 62$
• Количество белых клеток: $32 - 2 = 30$
• Количество черных клеток: 32

Итак, на доске осталось 30 белых и 32 черные клетки.

Фигура домино покрывает ровно две соседние клетки. На шахматной доске любые две соседние клетки всегда имеют разный цвет. Следовательно, каждая фигура домино, размещенная на доске, будет покрывать одну белую и одну черную клетку.

Если бы можно было разрезать всю доску на фигуры домино, то общее количество покрытых белых клеток должно было бы быть равно общему количеству покрытых черных клеток. Однако на нашей доске 30 белых и 32 черные клетки. Это означает, что после того, как мы покроем все 30 белых клеток (используя 30 домино, которые также покроют 30 черных клеток), останутся две черные клетки, которые невозможно покрыть одной или несколькими фигурами домино, так как каждая из них требует одну белую и одну черную клетку.

Таким образом, разрезать такую доску на фигуры домино невозможно.

Ответ: Нет, такую доску нельзя разрезать на фигуры домино.

1080. Прямоугольник $2\times4$ состоит из 8 квадратов. Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов. Найдите три способа разрезания.

Прямоугольник размером $2 \times 4$ состоит из $2 \times 4 = 8$ единичных квадратов. Чтобы разрезать его на две равные части, линия разреза должна разделить его на две фигуры одинаковой площади. Площадь всего прямоугольника равна 8 квадратам, следовательно, площадь каждой части должна быть $8 \div 2 = 4$ квадрата. Условие, что части «равные», также означает, что они должны быть конгруэнтны, то есть совпадать при наложении. Линия разреза должна проходить по сторонам квадратов.

Вот три способа, как это можно сделать:

Способ 1

Разрезать прямоугольник прямой вертикальной линией по центру. В результате получатся две одинаковые части, каждая из которых представляет собой квадрат размером $2 \times 2$.

Ответ: Прямоугольник разрезается на два равных квадрата размером $2 \times 2$.

Способ 2

Разрезать прямоугольник прямой горизонтальной линией по центру. В этом случае получатся две одинаковые части, каждая из которых представляет собой прямоугольник размером $1 \times 4$.

Ответ: Прямоугольник разрезается на два равных прямоугольника размером $1 \times 4$.

Способ 3

Использовать ступенчатую линию разреза, которая симметрична относительно центра прямоугольника. В результате получатся две одинаковые L-образные фигуры (L-тетромино).

Ответ: Прямоугольник разрезается на две равные L-образные фигуры.

1081. Квадрат $4 \times 4$ состоит из 16 квадратов. Разрежьте его на:
а) две;
б) четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.Сколько способов разрезания вы найдёте?

а) Чтобы разрезать квадрат 4x4 на две равные части, линия разреза должна проходить по сторонам маленьких квадратов. Равные части означают, что полученные фигуры должны быть конгруэнтны, то есть их можно совместить наложением (с помощью сдвига, поворота и отражения).

Общая площадь квадрата равна 16 маленьким квадратам. Каждая из двух равных частей будет иметь площадь $16 / 2 = 8$ квадратов.

Чтобы две полученные фигуры были конгруэнтны, линия разреза должна быть центрально-симметричной относительно центра большого квадрата. Это значит, что если повернуть линию разреза на 180° вокруг центра квадрата, она совпадет сама с собой.

Такая линия разреза обязательно проходит через центр квадрата и соединяет две точки на его границе. Количество способов разрезания равно количеству таких центрально-симметричных линий. Мы можем посчитать их, найдя количество путей по линиям сетки от каждой точки на границе до центра.

Представим квадрат в виде сетки с узлами в точках с целочисленными координатами от (0,0) до (4,4). Центр квадрата находится в точке (2,2).

1. Разрезы, соединяющие середины противоположных сторон. Это прямые линии, проходящие через центр.
   • Вертикальный разрез: линия от точки (2,4) до (2,0). Это 1 способ.
   • Горизонтальный разрез: линия от точки (0,2) до (4,2). Это 1 способ.
   Итого 2 "прямых" способа.
2. Разрезы, соединяющие точки на смежных сторонах (не в углах) с их центрально-симметричными отражениями. Например, точку (1,4) с точкой (3,0). Количество таких разрезов равно количеству путей от (1,4) до центра (2,2). Для этого нужно сделать 1 шаг вправо и 2 шага вниз. Число таких путей равно $C_{1+2}^{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$. Таких пар точек на границе 4: ((1,4)-(3,0)), ((3,4)-(1,0)), ((0,1)-(4,3)), ((0,3)-(4,1)). Итого $4 \times 3 = 12$ способов.
3. Разрезы, соединяющие противоположные углы. Например, (0,4) и (4,0). Количество таких разрезов равно количеству путей от (0,4) до центра (2,2). Для этого нужно сделать 2 шага вправо и 2 шага вниз. Число таких путей равно $C_{2+2}^{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$. Таких пар углов 2: ((0,4)-(4,0)) и ((4,4)-(0,0)). Итого $2 \times 6 = 12$ способов.

Суммируя все найденные способы, получаем общее количество: $2 + 12 + 12 = 26$.

Ответ: 26 способов.

б) Чтобы разрезать квадрат 4x4 на четыре равные части, каждая часть должна состоять из $16 / 4 = 4$ маленьких квадратов. Такие фигуры называются тетромино. Нам нужно найти все способы разрезать квадрат 4x4 на четыре одинаковых (конгруэнтных) тетромино.

Существует 5 видов тетромино: I (прямой), O (квадрат), T, L, S (косой). Проверим, какими из них можно замостить квадрат 4x4.

1. I-тетромино (прямоугольники 1×4): Можно разрезать квадрат на четыре вертикальные или четыре горизонтальные полоски.
   Это 2 способа.
2. O-тетромино (квадраты 2×2): Можно разрезать квадрат на четыре квадрата 2×2 одной вертикальной и одной горизонтальной линиями через центр.
   Это 1 способ.
3. T-тетромино (фигуры в виде "Т"): Существует способ разрезания на 4 T-образные фигуры.
   Это 1 из основных способов (существуют также его повороты и отражения, которые дают другие узоры разрезов).
4. L-тетромино (фигуры в виде "L" или "Г"): Квадрат также можно разрезать на 4 L-образные фигуры.
   Это 1 из основных способов.

Фигурами S- и Z-тетромино замостить квадрат 4×4 невозможно.

Всего мы нашли 5 основных способов разрезания: 2 для I-тетромино, 1 для O-тетромино, 1 для T-тетромино и 1 для L-тетромино.

Ответ: 5 способов.

1082. Прямоугольник $4 \times 6$ состоит из 24 квадратов. Разрежьте его на шесть равных частей так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

По условию задачи, необходимо разрезать прямоугольник размером $4 \times 6$, состоящий из 24 единичных квадратов, на шесть равных частей. Линия разреза должна проходить по сторонам квадратов.

Сначала определим площадь каждой части. Общая площадь прямоугольника составляет $4 \times 6 = 24$ квадрата. Поскольку нам нужно разделить его на 6 равных частей, площадь каждой части будет равна $24 \div 6 = 4$ квадрата.

Фигуры, состоящие из четырех квадратов, соединенных сторонами, называются тетрамино. Нам нужно найти такой вид тетрамино, шестью копиями которого можно замостить (покрыть без наложений и пробелов) прямоугольник $4 \times 6$. Существует несколько способов это сделать. Рассмотрим два наиболее простых варианта.

Вариант 1: Использование прямоугольных частей $4 \times 1$.

Каждая из шести равных частей представляет собой прямоугольник размером $4 \times 1$ (так называемый I-тетрамино). Прямоугольник $4 \times 6$ имеет высоту 4 квадрата, поэтому мы можем разместить шесть таких частей вертикально, вплотную друг к другу.

Визуализация разреза:

Вариант 2: Использование квадратных частей $2 \times 2$.

Каждая из шести равных частей представляет собой квадрат размером $2 \times 2$ (О-тетрамино). Можно составить прямоугольник $4 \times 6$ из шести таких квадратов, расположив их в два ряда по три квадрата в каждом.

Визуализация разреза:

Существуют и другие, более сложные способы разрезания, использующие другие виды тетрамино (например, T-образные или L-образные), но представленные выше являются наиболее простыми и наглядными.

Ответ: Прямоугольник $4 \times 6$ нужно разрезать на шесть равных частей, каждая из которых состоит из 4 квадратов. Это можно сделать, например, разрезав его на шесть прямоугольников размером $4 \times 1$ (расположив их вертикально) или на шесть квадратов размером $2 \times 2$.

1083. Разрежьте фигуру, состоящую из квадратов (рис. 144), на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Рис. 144

Данная задача в представленной формулировке не имеет решения. Фигура на рисунке 144 состоит из 14 одинаковых квадратов. Чтобы разрезать её на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов, необходимо, чтобы каждая часть состояла из одинакового целого числа квадратов. Однако общее количество квадратов (14) не делится нацело на 3:

$14 \div 3 = 4 \frac{2}{3}$

Поскольку невозможно составить часть из $4 \frac{2}{3}$ квадрата, разрезать исходную фигуру на три равные части невозможно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее близкая по смыслу решаемая задача — это разрезание на три равные части фигуры, состоящей из 12 квадратов. Например, прямоугольника размером 4x3 квадрата. В этом случае каждая из трёх равных частей будет состоять из $12 \div 3 = 4$ квадратов.

Один из вариантов решения для фигуры 4x3 — разрезать её на три одинаковых прямоугольника размером 4x1.

Ответ: Задачу в исходном виде решить невозможно, так как число 14 не делится на 3. Если предположить, что в условии опечатка и фигура представляет собой прямоугольник 4x3 (12 квадратов), то её можно разрезать на три равные части, как показано на рисунке выше.

1084. Разрежьте фигуру, состоящую из квадратов (рис. 145), на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Рис. 145

Для того чтобы разрешить эту задачу, сначала определим общее количество квадратов, из которых состоит фигура. Путем подсчета устанавливаем, что фигура состоит из 8 одинаковых квадратов.

Согласно условию, фигуру необходимо разрезать на четыре равные части. Это означает, что все четыре полученные части должны быть одинаковыми по форме и размеру (конгруэнтными). Площадь каждой части будет равна общей площади, деленной на количество частей:

$S_{часть} = \frac{8 \text{ квадратов}}{4} = 2 \text{ квадрата}$

Фигура, состоящая из двух квадратов, соединенных общей стороной, называется домино. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы разрезать исходную фигуру на четыре части-домино, при этом линии разреза должны проходить по сторонам квадратов.

Один из возможных способов такого разреза показан на рисунке ниже. Красные линии обозначают места разрезов.

В результате этих разрезов мы получаем четыре равные части. Две из них — это вертикальные домино (прямоугольники $1 \times 2$), а две другие — горизонтальные домино (прямоугольники $2 \times 1$). Так как все эти части конгруэнтны, условия задачи выполнены.

Ответ: Фигуру следует разрезать, как показано на рисунке. Необходимо сделать три разреза: один вертикальный, разделяющий верхний блок $2 \times 2$ на две части; один горизонтальный, отделяющий верхний блок от нижнего ряда; и еще один вертикальный, делящий пополам нижний ряд $1 \times 4$. В результате получаются четыре равные части, каждая из которых является домино.

1085. Разрежьте фигуру, состоящую из квадратов (рис. 146), на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Рис. 143

Рис. 144

Рис. 145

Рис. 146

Для решения задачи сначала необходимо определить общее количество квадратов, из которых состоит фигура, изображенная на рисунке 146. Проведем подсчет квадратов по рядам:

• Верхний ряд: 1 квадрат
• Второй ряд сверху: 3 квадрата
• Центральный ряд: 5 квадратов
• Четвертый ряд сверху: 3 квадрата
• Нижний ряд: 1 квадрат

Таким образом, общее количество квадратов в фигуре составляет $N = 1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13$ квадратов.

Согласно условию, данную фигуру необходимо разрезать на четыре равные части. В задачах такого типа "равные части" означают части, одинаковые по форме и размеру (конгруэнтные). Следовательно, каждая из четырех частей должна содержать одинаковое количество квадратов.

Найдем, сколько квадратов должно быть в каждой части, разделив общее количество квадратов $N$ на количество частей $k=4$:

$n = \frac{N}{k} = \frac{13}{4} = 3.25$

Поскольку линия разреза должна проходить по сторонам квадратов, каждая полученная часть может состоять только из целого числа квадратов. Значение $3.25$ не является целым числом. Это означает, что разделить фигуру из 13 квадратов на 4 равные части при соблюдении заданных условий невозможно.

Вероятнее всего, в условии задачи или в самом рисунке 146 содержится опечатка. Обычно в таких задачах количество квадратов в фигуре делится нацело на требуемое количество частей. Наиболее вероятный вариант исправленной фигуры — это исходная фигура без центрального квадрата. В этом случае общее количество квадратов будет $13 - 1 = 12$. Такую фигуру уже можно разделить на 4 равные части, каждая из которых будет состоять из $12 / 4 = 3$ квадратов.

Ниже представлено решение для исправленной фигуры, состоящей из 12 квадратов. Фигура разрезается на четыре одинаковые Г-образные части (тримино), каждая из которых выделена своим цветом и номером.

Ответ: В исходной формулировке задачу решить невозможно, так как фигура состоит из 13 квадратов, а число 13 не делится на 4 нацело. Если предположить, что в рисунке допущена опечатка и центральный квадрат фигуры отсутствует (оставляя 12 квадратов), то фигуру можно разрезать на четыре равные Г-образные части, как показано на схеме выше.