Номер 1081, страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 5. Задачи на составление и разрезание фигур - номер 1081, страница 225.

Условие.

1081. Квадрат $4 \times 4$ состоит из 16 квадратов. Разрежьте его на:
а) две;
б) четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.Сколько способов разрезания вы найдёте?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Чтобы разрезать квадрат 4x4 на две равные части, линия разреза должна проходить по сторонам маленьких квадратов. Равные части означают, что полученные фигуры должны быть конгруэнтны, то есть их можно совместить наложением (с помощью сдвига, поворота и отражения).

Общая площадь квадрата равна 16 маленьким квадратам. Каждая из двух равных частей будет иметь площадь $16 / 2 = 8$ квадратов.

Чтобы две полученные фигуры были конгруэнтны, линия разреза должна быть центрально-симметричной относительно центра большого квадрата. Это значит, что если повернуть линию разреза на 180° вокруг центра квадрата, она совпадет сама с собой.

Такая линия разреза обязательно проходит через центр квадрата и соединяет две точки на его границе. Количество способов разрезания равно количеству таких центрально-симметричных линий. Мы можем посчитать их, найдя количество путей по линиям сетки от каждой точки на границе до центра.

Представим квадрат в виде сетки с узлами в точках с целочисленными координатами от (0,0) до (4,4). Центр квадрата находится в точке (2,2).

1. Разрезы, соединяющие середины противоположных сторон. Это прямые линии, проходящие через центр.
   • Вертикальный разрез: линия от точки (2,4) до (2,0). Это 1 способ.
   • Горизонтальный разрез: линия от точки (0,2) до (4,2). Это 1 способ.
   Итого 2 "прямых" способа.
2. Разрезы, соединяющие точки на смежных сторонах (не в углах) с их центрально-симметричными отражениями. Например, точку (1,4) с точкой (3,0). Количество таких разрезов равно количеству путей от (1,4) до центра (2,2). Для этого нужно сделать 1 шаг вправо и 2 шага вниз. Число таких путей равно $C_{1+2}^{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$. Таких пар точек на границе 4: ((1,4)-(3,0)), ((3,4)-(1,0)), ((0,1)-(4,3)), ((0,3)-(4,1)). Итого $4 \times 3 = 12$ способов.
3. Разрезы, соединяющие противоположные углы. Например, (0,4) и (4,0). Количество таких разрезов равно количеству путей от (0,4) до центра (2,2). Для этого нужно сделать 2 шага вправо и 2 шага вниз. Число таких путей равно $C_{2+2}^{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$. Таких пар углов 2: ((0,4)-(4,0)) и ((4,4)-(0,0)). Итого $2 \times 6 = 12$ способов.

Суммируя все найденные способы, получаем общее количество: $2 + 12 + 12 = 26$.

Ответ: 26 способов.

б) Чтобы разрезать квадрат 4x4 на четыре равные части, каждая часть должна состоять из $16 / 4 = 4$ маленьких квадратов. Такие фигуры называются тетромино. Нам нужно найти все способы разрезать квадрат 4x4 на четыре одинаковых (конгруэнтных) тетромино.

Существует 5 видов тетромино: I (прямой), O (квадрат), T, L, S (косой). Проверим, какими из них можно замостить квадрат 4x4.

1. I-тетромино (прямоугольники 1×4): Можно разрезать квадрат на четыре вертикальные или четыре горизонтальные полоски.
   Это 2 способа.
2. O-тетромино (квадраты 2×2): Можно разрезать квадрат на четыре квадрата 2×2 одной вертикальной и одной горизонтальной линиями через центр.
   Это 1 способ.
3. T-тетромино (фигуры в виде "Т"): Существует способ разрезания на 4 T-образные фигуры.
   Это 1 из основных способов (существуют также его повороты и отражения, которые дают другие узоры разрезов).
4. L-тетромино (фигуры в виде "L" или "Г"): Квадрат также можно разрезать на 4 L-образные фигуры.
   Это 1 из основных способов.

Фигурами S- и Z-тетромино замостить квадрат 4×4 невозможно.

Всего мы нашли 5 основных способов разрезания: 2 для I-тетромино, 1 для O-тетромино, 1 для T-тетромино и 1 для L-тетромино.

Ответ: 5 способов.