Номер 1086, страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 5. Задачи на составление и разрезание фигур - номер 1086, страница 226.

Условие.

1086. Из трёх различных фигур пентамино составьте прямоугольник $3 \times 5$. Сколько различных решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Из трёх различных фигур пентамино составьте прямоугольник $3 \times 5$

Прямоугольник размером $3 \times 5$ имеет площадь $15$ квадратных единиц. Каждая из трёх фигур пентамино состоит из 5 квадратов, что в сумме также даёт $15$ квадратов, поэтому такое замощение возможно. Существует 12 различных фигур пентамино. Фигуру X использовать нельзя, так как она не помещается в сетку шириной 3 клетки без изоляции соседних клеток.

Составить прямоугольник можно, например, из набора фигур {L, P, Y}. Ниже приведён один из возможных вариантов их расположения:

L Y Y Y PL L Y P PL L Y P P

Здесь каждая группа одинаковых букв (L, P, Y) образует соответствующую фигуру пентамино.

Сколько различных решений имеет задача?

Чтобы найти общее количество решений, нужно определить все комбинации фигур и все возможные способы их укладки.

1. Наборы фигур. Существует 4 набора из трёх различных фигур пентамино, которыми можно замостить прямоугольник $3 \times 5$:

• {I, L, P}
• {L, P, Y}
• {F, N, P}
• {F, P, Y}

2. Количество укладок. Для этих четырёх наборов существует всего 6 фундаментальных решений (уникальных укладок без учёта симметрий прямоугольника):

• Набор {I, L, P} даёт 2 решения.
• Набор {L, P, Y} даёт 1 решение.
• Набор {F, N, P} даёт 1 решение.
• Набор {F, P, Y} даёт 2 решения.

3. Подсчёт общего числа решений. Каждое из этих 6 фундаментальных решений не имеет внутренней симметрии. Прямоугольник $3 \times 5$ можно расположить 4 способами (исходное положение, поворот на 180°, отражение по горизонтали и отражение по вертикали). Так как ни одно из 6 решений не симметрично, все 4 преобразования для каждого из них приводят к новому, уникальному расположению.

Таким образом, общее количество различных решений равно:

$$6 \text{ (фундаментальных решений)} \times 4 \text{ (ориентации)} = 24 \text{ (решения)}$$

Ответ: Задача имеет 24 различных решения.