Страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1086. Из трёх различных фигур пентамино составьте прямоугольник $3 \times 5$. Сколько различных решений имеет задача?

Из трёх различных фигур пентамино составьте прямоугольник $3 \times 5$

Прямоугольник размером $3 \times 5$ имеет площадь $15$ квадратных единиц. Каждая из трёх фигур пентамино состоит из 5 квадратов, что в сумме также даёт $15$ квадратов, поэтому такое замощение возможно. Существует 12 различных фигур пентамино. Фигуру X использовать нельзя, так как она не помещается в сетку шириной 3 клетки без изоляции соседних клеток.

Составить прямоугольник можно, например, из набора фигур {L, P, Y}. Ниже приведён один из возможных вариантов их расположения:

L Y Y Y PL L Y P PL L Y P P

Здесь каждая группа одинаковых букв (L, P, Y) образует соответствующую фигуру пентамино.

Сколько различных решений имеет задача?

Чтобы найти общее количество решений, нужно определить все комбинации фигур и все возможные способы их укладки.

1. Наборы фигур. Существует 4 набора из трёх различных фигур пентамино, которыми можно замостить прямоугольник $3 \times 5$:

• {I, L, P}
• {L, P, Y}
• {F, N, P}
• {F, P, Y}

2. Количество укладок. Для этих четырёх наборов существует всего 6 фундаментальных решений (уникальных укладок без учёта симметрий прямоугольника):

• Набор {I, L, P} даёт 2 решения.
• Набор {L, P, Y} даёт 1 решение.
• Набор {F, N, P} даёт 1 решение.
• Набор {F, P, Y} даёт 2 решения.

3. Подсчёт общего числа решений. Каждое из этих 6 фундаментальных решений не имеет внутренней симметрии. Прямоугольник $3 \times 5$ можно расположить 4 способами (исходное положение, поворот на 180°, отражение по горизонтали и отражение по вертикали). Так как ни одно из 6 решений не симметрично, все 4 преобразования для каждого из них приводят к новому, уникальному расположению.

Таким образом, общее количество различных решений равно:

$$6 \text{ (фундаментальных решений)} \times 4 \text{ (ориентации)} = 24 \text{ (решения)}$$

Ответ: Задача имеет 24 различных решения.

1087. Из фигур тримино, домино и одного квадрата (рис. 147) сложите квадрат $3 \times 3$. Сколькими способами это можно сделать?

Рис. 147

Решение:

Задача состоит в том, чтобы, во-первых, показать, как можно сложить квадрат размером $3 \times 3$ из заданных фигур, и, во-вторых, определить, сколькими способами это можно сделать. Фигуры, которые мы используем, это: одно L-образное тримино (3 клетки), одно прямое тримино (3 клетки), одно домино (2 клетки) и один квадрат (мономино, 1 клетка).

Для начала проверим, возможна ли такая сборка в принципе. Для этого сложим площади всех фигур: $3 + 3 + 2 + 1 = 9$ клеток. Площадь квадрата $3 \times 3$ также составляет $3 \times 3 = 9$ клеток. Поскольку общая площадь фигур равна площади квадрата, то сложить такой квадрат возможно.

Пример одного из возможных решений (где I — прямое тримино, L — L-образное тримино, D — домино, M — мономино):

Теперь подсчитаем общее количество способов. Чтобы перебрать все варианты, будем действовать последовательно. Наиболее ограничивающей фигурой является прямое тримино (I-тримино), поэтому начнем с его размещения на доске $3 \times 3$.

Если расположить I-тримино в центре (горизонтально по второй строке или вертикально по второму столбцу), то оставшиеся свободные клетки образуют две не связанные между собой области. В такие области невозможно поместить L-тримино, которому требуется поле как минимум $2 \times 2$. Это означает, что I-тримино должно располагаться у края квадрата.

Существует 4 таких положения для I-тримино:

• Горизонтально в верхней строке.
• Горизонтально в нижней строке.
• Вертикально в левом столбце.
• Вертикально в правом столбце.

Все эти 4 случая симметричны. Рассмотрим один из них, например, когда I-тримино занимает верхнюю строку. Остается прямоугольник $3 \times 2$, который нужно замостить оставшимися фигурами: L-тримино, домино и мономино. Пусть количество способов сделать это равно $N$. Тогда общее число способов для всех 4 положений I-тримино будет $4 \times N$.

Найдем $N$ — количество способов замостить прямоугольник $3 \times 2$ L-тримино, домино и мономино. Для этого рассмотрим, куда можно поместить мономино (квадрат $1 \times 1$).

1. Мономино расположено в углу прямоугольника $3 \times 2$.

   В прямоугольнике 4 угловые клетки. Если поместить мономино в один из углов, оставшуюся L-образную область из 5 клеток нужно покрыть домино и L-тримино. Для каждого из 4 угловых положений мономино есть ровно 2 способа это сделать. Таким образом, получаем $4 \times 2 = 8$ способов.

2. Мономино расположено не в углу, а в центре одной из длинных сторон.

   В прямоугольнике $3 \times 2$ есть 2 такие клетки. Если поместить мономино в одну из них, оставшуюся U-образную область из 5 клеток также можно покрыть домино и L-тримино двумя способами. Таким образом, получаем $2 \times 2 = 4$ способа.

Сложив результаты, найдем общее число способов замостить прямоугольник $3 \times 2$:
$N = 8 + 4 = 12$ способов.

Наконец, вычислим общее количество способов сложить квадрат $3 \times 3$. Оно равно произведению числа положений I-тримино на число способов заполнения оставшегося пространства:

Общее количество способов = $4 \times N = 4 \times 12 = 48$.

Ответ: Сложить квадрат $3 \times 3$ из заданных фигур можно 48 способами.

1088. Из фигур тетрамино, тримино и домино (рис. 148) составьте прямоугольник $4 \times 7$. Найдите 10 различных решений.

Рис. 148

Задача состоит в том, чтобы замостить прямоугольник размером $4 \times 7$ указанным набором фигур. Этот набор включает все 5 видов тетрамино, 2 вида тримино и 1 вид домино. Проверим, возможно ли это в принципе, сравнив площади.

Площадь прямоугольника: $S_{прямоугольника} = 4 \times 7 = 28$ клеток.

Суммарная площадь фигур:

• 5 фигур тетрамино (по 4 клетки): $5 \times 4 = 20$ клеток.
• 2 фигуры тримино (по 3 клетки): $2 \times 3 = 6$ клеток.
• 1 фигура домино (2 клетки): $1 \times 2 = 2$ клетки.

Общая площадь фигур: $S_{фигур} = 20 + 6 + 2 = 28$ клеток.

Поскольку $S_{прямоугольника} = S_{фигур}$, то полное замощение прямоугольника возможно. Задача имеет множество решений. Ниже приведены 10 из них.

Для наглядности фигуры окрашены в следующие цвета:

1. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

2. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

3. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

4. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

5. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

6. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

7. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

8. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

9. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

10. Ответ: Пример возможной укладки фигур показан на схеме выше.

1089. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 149, на восемь равных частей так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Рис. 149

Для решения задачи необходимо разрезать предложенную фигуру на восемь равных (конгруэнтных) частей. Линии разреза должны проходить по сторонам маленьких квадратов, из которых состоит фигура.

1. Определение площади фигуры и части

Сначала посчитаем общее количество квадратных ячеек в фигуре. Проще всего это сделать, посчитав ячейки по рядам:

• Нижний и верхний ряды: $2 \times 2 = 4$
• Второй и предпоследний ряды: $2 \times 6 = 12$
• Третий и пред-предпоследний ряды: $2 \times 8 = 16$
• Четыре центральных ряда с отверстием: $4 \times 4 = 16$

Общая площадь фигуры: $S_{общ} = 4 + 12 + 16 + 16 = 48$ квадратных ячеек.

Фигуру нужно разрезать на 8 равных частей. Следовательно, каждая часть должна состоять из:

$S_{части} = S_{общ} / 8 = 48 / 8 = 6$ квадратных ячеек.

Таким образом, задача сводится к поиску такой фигуры из шести квадратов (гексамино), восемь копий которой могут составить исходную фигуру.

2. Поиск формы части и решение

Исходная фигура обладает высокой симметрией (осевой и вращательной). Логично предположить, что искомые части также будут расположены симметрично относительно центра фигуры. Путем подбора можно найти форму гексамино, которая позволяет замостить всю фигуру. Эта форма представляет собой квадрат 2x2, к одному из углов которого присоединен "хвост" из двух квадратов (домино), смещенный относительно этого угла.

На рисунке ниже показано, как именно можно разрезать исходную фигуру. Каждая из восьми частей окрашена в свой цвет для наглядности. Все восемь частей имеют одинаковую форму и размер.

Ответ: Фигуру можно разрезать на восемь равных частей, как показано на рисунке. Каждая часть представляет собой гексамино (фигуру из 6 квадратов) определенной формы.