Страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите значение числового выражения (1110–1116):

1110. а) $14\,957 - (2586 + 4298)$;

б) $598 \cdot 99 : 299$;

в) $758 \cdot 809 - 180\,492 : 356$;

г) $682 - 480 : (123 + 37)$.

а) Для решения выражения $14957 - (2586 + 4298)$ необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем вычитание.

1. Складываем числа в скобках: $2586 + 4298 = 6884$.
2. Вычитаем полученную сумму из первого числа: $14957 - 6884 = 8073$.

Таким образом, $14957 - (2586 + 4298) = 14957 - 6884 = 8073$.
Ответ: 8073

б) В выражении $598 \cdot 99 : 299$ умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их последовательно слева направо. Однако можно заметить, что $598 = 2 \cdot 299$, что упрощает вычисление.

1. Заменим 598 на произведение: $(2 \cdot 299) \cdot 99 : 299$.
2. Теперь можно сократить: $2 \cdot (299 : 299) \cdot 99 = 2 \cdot 1 \cdot 99$.
3. Выполняем умножение: $2 \cdot 99 = 198$.

Таким образом, $598 \cdot 99 : 299 = 198$.
Ответ: 198

в) В выражении $758 \cdot 809 - 180492 : 356$ сначала выполняются умножение и деление, а затем вычитание.

1. Выполняем умножение: $758 \cdot 809 = 613222$.
2. Выполняем деление: $180492 : 356 = 507$.
3. Вычитаем второе из первого: $613222 - 507 = 612715$.

Таким образом, $758 \cdot 809 - 180492 : 356 = 613222 - 507 = 612715$.
Ответ: 612715

г) Для решения выражения $682 - 480 : (123 + 37)$ сначала выполняем действие в скобках, затем деление, и в последнюю очередь вычитание.

1. Складываем числа в скобках: $123 + 37 = 160$.
2. Выполняем деление: $480 : 160 = 3$.
3. Выполняем вычитание: $682 - 3 = 679$.

Таким образом, $682 - 480 : (123 + 37) = 682 - 480 : 160 = 682 - 3 = 679$.
Ответ: 679

111. a) $795 \cdot 848 : 848$;

b) $6111 : 679 \cdot 679$;

б) $456 \cdot 759 : 759$;

г) $6768 : 846 \cdot 846$.

а) В данном выражении $795 \cdot 848 : 848$ выполняется умножение на число 848, а затем деление на то же самое число. Умножение и деление на одно и то же число (не равное нулю) являются взаимно обратными операциями. Это означает, что их последовательное выполнение не изменяет исходное число. Таким образом, результат выражения будет равен 795.
Общее правило: $(a \cdot b) : b = a$, если $b \neq 0$.
Ответ: 795

б) Аналогично предыдущему примеру, в выражении $456 \cdot 759 : 759$ мы умножаем число 456 на 759, а затем делим результат на 759. Так как это взаимно обратные операции, результат будет равен исходному числу 456.
$(456 \cdot 759) : 759 = 456$.
Ответ: 456

в) В выражении $6111 : 679 \cdot 679$ сначала выполняется деление на число 679, а затем умножение на это же число. Деление и умножение на одно и то же ненулевое число являются взаимно обратными действиями, поэтому результат будет равен исходному числу 6111.
Общее правило: $(a : b) \cdot b = a$, если $b \neq 0$.
Для проверки можно выполнить действия последовательно: $6111 : 679 = 9$, а затем $9 \cdot 679 = 6111$.
Ответ: 6111

г) В выражении $6768 : 846 \cdot 846$ деление на число 846 и последующее умножение на то же самое число являются взаимно обратными операциями. Следовательно, конечный результат будет равен исходному числу 6768.
Для проверки: $6768 : 846 = 8$, а затем $8 \cdot 846 = 6768$.
Ответ: 6768

1112. a) $48 - 48 : (17 - 9) + 40;$

б) $54 - (48 - 39) \cdot 5 - 5;$

в) $67 - (62 - 38) : 6 - 4;$

г) $48 : (31 - 19) : 2 + 2.$

а) $48 - 48 : (17 - 9) + 40$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках: $17 - 9 = 8$.

2. Теперь выражение выглядит так: $48 - 48 : 8 + 40$.

3. Вторым действием выполним деление: $48 : 8 = 6$.

4. Выражение принимает вид: $48 - 6 + 40$.

5. Третьим действием выполним вычитание: $48 - 6 = 42$.

6. Четвертым действием выполним сложение: $42 + 40 = 82$.

Ответ: 82

б) $54 - (48 - 39) \cdot 5 - 5$

1. Выполним действие в скобках: $48 - 39 = 9$.

2. Подставим результат в выражение: $54 - 9 \cdot 5 - 5$.

3. Выполним умножение: $9 \cdot 5 = 45$.

4. Теперь выражение выглядит так: $54 - 45 - 5$.

5. Выполним вычитание слева направо: $54 - 45 = 9$.

6. Завершим вычисления: $9 - 5 = 4$.

Ответ: 4

в) $67 - (62 - 38) : 6 - 4$

1. Сначала выполним вычитание в скобках: $62 - 38 = 24$.

2. Получим выражение: $67 - 24 : 6 - 4$.

3. Следующим действием выполним деление: $24 : 6 = 4$.

4. Теперь выражение имеет вид: $67 - 4 - 4$.

5. Выполним вычитание по порядку: $67 - 4 = 63$.

6. Окончательное вычитание: $63 - 4 = 59$.

Ответ: 59

г) $48 : (31 - 19) : 2 + 2$

1. Первым действием найдем значение выражения в скобках: $31 - 19 = 12$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $48 : 12 : 2 + 2$.

3. Выполним деление слева направо. Сначала $48 : 12 = 4$.

4. Выражение станет таким: $4 : 2 + 2$.

5. Продолжим деление: $4 : 2 = 2$.

6. Осталось выполнить сложение: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

1113. а) $(7529 + 4356) + (644 + 1901)$;

б) $753 + (2747 + 3998) + 1002$;

в) $(8935 + 6639) + (7361 + 125)$;

г) $4957 + (8243 + 495) + 7205$.

а) $(7529 + 4356) + (644 + 1901)$

Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Это позволяет нам раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые в любом порядке.

$(7529 + 4356) + (644 + 1901) = 7529 + 4356 + 644 + 1901$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получить "круглые" числа:

$(4356 + 644) + (7529 + 1901)$

Теперь выполним сложение по действиям:

1) $4356 + 644 = 5000$

2) $7529 + 1901 = 9430$

3) $5000 + 9430 = 14430$

Ответ: 14430

б) $753 + (2747 + 3998) + 1002$

Используя сочетательное свойство сложения, мы можем убрать скобки и изменить порядок слагаемых для упрощения расчетов.

$753 + 2747 + 3998 + 1002$

Сгруппируем числа, которые в сумме дают "круглые" числа:

$(753 + 2747) + (3998 + 1002)$

Выполним вычисления по шагам:

1) $753 + 2747 = 3500$

2) $3998 + 1002 = 5000$

3) $3500 + 5000 = 8500$

Ответ: 8500

в) $(8935 + 6639) + (7361 + 125)$

Применим свойства сложения, чтобы раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые для более простого вычисления.

$8935 + 6639 + 7361 + 125$

Сгруппируем слагаемые, которые удобно складывать друг с другом:

$(6639 + 7361) + (8935 + 125)$

Произведем вычисления по действиям:

1) $6639 + 7361 = 14000$

2) $8935 + 125 = 9060$

3) $14000 + 9060 = 23060$

Ответ: 23060

г) $4957 + (8243 + 495) + 7205$

Уберем скобки и сгруппируем слагаемые, используя сочетательное и переместительное свойства сложения, чтобы упростить расчет.

$4957 + 8243 + 495 + 7205$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(4957 + 8243) + (495 + 7205)$

Вычислим по шагам:

1) $4957 + 8243 = 13200$

2) $495 + 7205 = 7700$

3) $13200 + 7700 = 20900$

Ответ: 20900

1114. а) $468 - 396 : (42 - 42 : 7) + 8;$

В) $4221 - 294 : (98 : 14 - 5);$

б) $324 - 297 : (36 - 36 : 4) + 5;$

г) $5864 - 79 : (72 : 9 - 7) + 1001.$

а) $468 - 396 : (42 - 42 : 7) + 8$
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание слева направо.
1. Вычисляем выражение в скобках: $(42 - 42 : 7)$. Внутри скобок сначала выполняем деление:
$42 : 7 = 6$
Затем выполняем вычитание:
$42 - 6 = 36$
2. Теперь исходное выражение выглядит так:
$468 - 396 : 36 + 8$
3. Следующим действием выполняем деление:
$396 : 36 = 11$
4. Выражение принимает вид:
$468 - 11 + 8$
5. Выполняем вычитание и сложение слева направо:
$468 - 11 = 457$
$457 + 8 = 465$
Ответ: 465

б) $324 - 297 : (36 - 36 : 4) + 5$
Соблюдаем порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание и сложение.
1. Вычисляем выражение в скобках: $(36 - 36 : 4)$. Сначала деление:
$36 : 4 = 9$
Затем вычитание:
$36 - 9 = 27$
2. Теперь исходное выражение выглядит так:
$324 - 297 : 27 + 5$
3. Выполняем деление:
$297 : 27 = 11$
4. Выражение принимает вид:
$324 - 11 + 5$
5. Выполняем вычитание и сложение слева направо:
$324 - 11 = 313$
$313 + 5 = 318$
Ответ: 318

в) $4221 - 294 : (98 : 14 - 5)$
Решаем по порядку действий: сначала скобки, затем деление, затем вычитание.
1. Вычисляем выражение в скобках: $(98 : 14 - 5)$. Сначала деление:
$98 : 14 = 7$
Затем вычитание:
$7 - 5 = 2$
2. Исходное выражение принимает вид:
$4221 - 294 : 2$
3. Выполняем деление:
$294 : 2 = 147$
4. Выполняем вычитание:
$4221 - 147 = 4074$
Ответ: 4074

г) $5864 - 79 : (72 : 9 - 7) + 1001$
Соблюдаем порядок арифметических действий.
1. Вычисляем выражение в скобках: $(72 : 9 - 7)$. Сначала деление:
$72 : 9 = 8$
Затем вычитание:
$8 - 7 = 1$
2. Теперь исходное выражение выглядит так:
$5864 - 79 : 1 + 1001$
3. Выполняем деление:
$79 : 1 = 79$
4. Выражение принимает вид:
$5864 - 79 + 1001$
5. Выполняем вычитание и сложение слева направо:
$5864 - 79 = 5785$
$5785 + 1001 = 6786$
Ответ: 6786

1115. а) $(756 \cdot 242 + 326 \cdot 9) \div 0;$

б) $14304 \div 596 \cdot (777 \div 7 - 888 \div 8).$

а) $(756 \cdot 242 + 326 \cdot 9) \cdot 0$

Для решения этого примера используется основное свойство умножения: произведение любого числа на ноль равно нулю. Это можно записать в виде формулы: $a \cdot 0 = 0$, где $a$ — любое число.

В данном случае, всё выражение в скобках $(756 \cdot 242 + 326 \cdot 9)$ представляет собой некоторое число. Так как это число умножается на 0, результат всего выражения будет равен нулю, и вычислять значение в скобках нет необходимости.

$(756 \cdot 242 + 326 \cdot 9) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б) $14304 : 596 \cdot (777 : 7 - 888 : 8)$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение в порядке их следования слева направо.

1. Первое действие — деление в скобках:

$777 : 7 = 111$

2. Второе действие — второе деление в скобках:

$888 : 8 = 111$

3. Третье действие — вычитание в скобках:

$111 - 111 = 0$

4. Теперь исходное выражение можно переписать, подставив полученное значение:

$14304 : 596 \cdot 0$

5. Выполняем действия слева направо. Сначала деление:

$14304 : 596 = 24$

6. Затем выполняем умножение:

$24 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

2116. a) $248 : 2 - 124 + 963 : 3 - 321 + 4;$

б) $808 : 8 - 909 : 9 + 424 : 2 - 636 : 3 + 5.$

а)

Для решения данного выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия деления (слева направо), а затем — вычитание и сложение (также слева направо).

$248 : 2 - 124 + 963 : 3 - 321 + 4$

1. Первое действие — деление: $248 : 2 = 124$.
2. Второе действие — деление: $963 : 3 = 321$.
3. Теперь подставим полученные результаты в выражение: $124 - 124 + 321 - 321 + 4$.
4. Третье действие — вычитание: $124 - 124 = 0$.
5. Четвертое действие — сложение: $0 + 321 = 321$.
6. Пятое действие — вычитание: $321 - 321 = 0$.
7. Шестое действие — сложение: $0 + 4 = 4$.

Ответ: 4

б)

Решим второе выражение, соблюдая тот же порядок действий: сначала деление, затем сложение и вычитание.

$808 : 8 - 909 : 9 + 424 : 2 - 636 : 3 + 5$

1. Выполним все действия деления слева направо:

   • $808 : 8 = 101$
   • $909 : 9 = 101$
   • $424 : 2 = 212$
   • $636 : 3 = 212$
2. Подставим полученные значения в исходное выражение: $101 - 101 + 212 - 212 + 5$.

3. Теперь выполним оставшиеся действия слева направо:

   • $101 - 101 = 0$
   • $0 + 212 = 212$
   • $212 - 212 = 0$
   • $0 + 5 = 5$

Ответ: 5

Вычислите, применяя законы арифметических действий (1117–1118):

1117. а) $239 \cdot 324 - 156 \cdot 315 + 156 \cdot 315;$

б) $31905 : 45 + 571 \cdot 33 - 33 \cdot 571;$

в) $22796 : 41 + 505 \cdot 707 - 22796 : 41;$

г) $896 \cdot 127 + 9702 : 77 - 127 \cdot 896.$

а) $239 \cdot 324 - 156 \cdot 315 + 156 \cdot 315$

В данном выражении слагаемые $-156 \cdot 315$ и $+156 \cdot 315$ являются противоположными, и их сумма равна нулю. Таким образом, выражение упрощается.

$239 \cdot 324 - 156 \cdot 315 + 156 \cdot 315 = 239 \cdot 324 + 0 = 239 \cdot 324$

Вычислим оставшееся произведение:

$239 \cdot 324 = 77436$

Ответ: $77436$

б) $31905 : 45 + 571 \cdot 33 - 33 \cdot 571$

Согласно переместительному (коммутативному) закону умножения, $571 \cdot 33 = 33 \cdot 571$. Следовательно, разность $571 \cdot 33 - 33 \cdot 571$ равна нулю.

$31905 : 45 + 571 \cdot 33 - 33 \cdot 571 = 31905 : 45 + 0 = 31905 : 45$

Вычислим частное:

$31905 : 45 = 709$

Ответ: $709$

в) $22796 : 41 + 505 \cdot 707 - 22796 : 41$

Используя переместительный закон сложения, сгруппируем члены: $(22796 : 41 - 22796 : 41) + 505 \cdot 707$.

Разность в скобках равна нулю, так как мы вычитаем число из самого себя.

$(22796 : 41 - 22796 : 41) + 505 \cdot 707 = 0 + 505 \cdot 707 = 505 \cdot 707$

Вычислим произведение, используя распределительный закон:

$505 \cdot 707 = (500 + 5) \cdot 707 = 500 \cdot 707 + 5 \cdot 707 = 353500 + 3535 = 357035$

Ответ: $357035$

г) $896 \cdot 127 + 9702 : 77 - 127 \cdot 896$

Сгруппируем члены, используя переместительный закон сложения: $(896 \cdot 127 - 127 \cdot 896) + 9702 : 77$.

По переместительному закону умножения $896 \cdot 127 = 127 \cdot 896$, поэтому разность в скобках равна нулю.

$(896 \cdot 127 - 127 \cdot 896) + 9702 : 77 = 0 + 9702 : 77 = 9702 : 77$

Вычислим частное:

$9702 : 77 = 126$

Ответ: $126$

1118. a) $35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25;$

б) $36 \cdot 35 - 35 \cdot 34 + 34 \cdot 33 - 33 \cdot 32 + 32 \cdot 31 - 31 \cdot 30 + 30 \cdot 29 - 29 \cdot 28 + 28 \cdot 27 - 27 \cdot 26 + 26 \cdot 25 - 25 \cdot 24.$

а)

Для нахождения суммы $35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25$ можно применить метод группировки слагаемых. Сгруппируем симметричные слагаемые (первое с последним, второе с предпоследним и т.д.), чтобы получить одинаковые суммы.

$(35 + 25) + (33 + 27) + (31 + 29)$

Вычислим сумму в каждой из скобок:

$35 + 25 = 60$

$33 + 27 = 60$

$31 + 29 = 60$

Теперь сложим полученные результаты:

$60 + 60 + 60 = 3 \cdot 60 = 180$

Ответ: 180

б)

В данном выражении $36 \cdot 35 - 35 \cdot 34 + 34 \cdot 33 - 33 \cdot 32 + 32 \cdot 31 - 31 \cdot 30 + 30 \cdot 29 - 29 \cdot 28 + 28 \cdot 27 - 27 \cdot 26 + 26 \cdot 25 - 25 \cdot 24$ удобно сгруппировать слагаемые попарно.

$(36 \cdot 35 - 35 \cdot 34) + (34 \cdot 33 - 33 \cdot 32) + (32 \cdot 31 - 31 \cdot 30) + (30 \cdot 29 - 29 \cdot 28) + (28 \cdot 27 - 27 \cdot 26) + (26 \cdot 25 - 25 \cdot 24)$

В каждой паре вынесем за скобки общий множитель:

$35 \cdot (36 - 34) + 33 \cdot (34 - 32) + 31 \cdot (32 - 30) + 29 \cdot (30 - 28) + 27 \cdot (28 - 26) + 25 \cdot (26 - 24)$

Выполним вычитание в скобках. В каждой скобке разность равна 2.

$35 \cdot 2 + 33 \cdot 2 + 31 \cdot 2 + 29 \cdot 2 + 27 \cdot 2 + 25 \cdot 2$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \cdot (35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25)$

Заметим, что выражение в скобках — это сумма из пункта а), которая равна 180.

$2 \cdot 180 = 360$

Ответ: 360

1119. a) Вычислите:

$7 \cdot 11;$

$24 \cdot 101;$

$378 \cdot 1001;$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77;$

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424.$

б) Докажите, не выполняя всех вычислений, что:

$275 \cdot 346346 - 346 \cdot 275275 = 0;$

$1996 \cdot 19971997 - 1997 \cdot 19961996 = 0.$

Вычислим значения данных выражений поочередно:

$7 \cdot 11 = 77$

$24 \cdot 101 = 24 \cdot (100 + 1) = 24 \cdot 100 + 24 \cdot 1 = 2400 + 24 = 2424$

$378 \cdot 1001 = 378 \cdot (1000 + 1) = 378 \cdot 1000 + 378 \cdot 1 = 378000 + 378 = 378378$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77 = 7 \cdot 2 \cdot 11 - 2 \cdot 7 \cdot 11 = 154 - 154 = 0$

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424 = 24 \cdot (13 \cdot 101) - 13 \cdot (24 \cdot 101) = (24 \cdot 13 \cdot 101) - (13 \cdot 24 \cdot 101) = 0$. Для решения мы представили число $1313$ как произведение $13 \cdot 101$, а число $2424$ как $24 \cdot 101$, а затем использовали переместительное свойство умножения.

Ответ: 77; 2424; 378378; 0; 0.

Докажем справедливость равенств, не выполняя полного умножения чисел.

1. Докажем равенство $275 \cdot 346 346 - 346 \cdot 275 275 = 0$.

Для этого представим числа $346 346$ и $275 275$ в виде произведений:

$346 346 = 346 \cdot 1000 + 346 = 346 \cdot (1000 + 1) = 346 \cdot 1001$

$275 275 = 275 \cdot 1000 + 275 = 275 \cdot (1000 + 1) = 275 \cdot 1001$

Теперь подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$275 \cdot (346 \cdot 1001) - 346 \cdot (275 \cdot 1001)$

Используя сочетательное и переместительное свойства умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), мы видим, что уменьшаемое и вычитаемое равны:

$(275 \cdot 346 \cdot 1001) - (346 \cdot 275 \cdot 1001) = 0$

Таким образом, первое равенство доказано.

2. Докажем равенство $1996 \cdot 19 971 997 - 1997 \cdot 19 961 996 = 0$.

Действуем аналогичным образом. Представим большие числа в виде произведений:

$19 971 997 = 1997 \cdot 10000 + 1997 = 1997 \cdot (10000 + 1) = 1997 \cdot 10001$

$19 961 996 = 1996 \cdot 10000 + 1996 = 1996 \cdot (10000 + 1) = 1996 \cdot 10001$

Подставим полученные выражения в левую часть равенства:

$1996 \cdot (1997 \cdot 10001) - 1997 \cdot (1996 \cdot 10001)$

Вновь применяя свойства умножения, мы получаем разность двух одинаковых чисел:

$(1996 \cdot 1997 \cdot 10001) - (1997 \cdot 1996 \cdot 10001) = 0$

Таким образом, второе равенство также доказано.

Ответ: Оба равенства доказаны.

1120. Проверьте справедливость равенств:

$10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$; $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$.

Используя данные равенства, вычислите:

а) $(10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2) : 365;$

б) $(3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3) : 54.$

Сначала проверим справедливость данных равенств.

1. Проверим равенство $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$.

Вычислим левую часть равенства (ЛЧ):
ЛЧ = $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$.

Вычислим правую часть равенства (ПЧ):
ПЧ = $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.

Так как $365 = 365$, то ЛЧ = ПЧ, и равенство справедливо.

2. Проверим равенство $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$.

Вычислим левую часть равенства (ЛЧ):
ЛЧ = $3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.

Вычислим правую часть равенства (ПЧ):
ПЧ = $6^3 = 216$.

Так как $216 = 216$, то ЛЧ = ПЧ, и равенство справедливо.

Теперь, используя эти равенства, вычислим значения выражений.

а) $(10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2) : 365$

Из первого проверенного равенства мы знаем, что $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ и $13^2 + 14^2 = 365$.

Заменим части выражения в скобках их значениями:

$(10^2 + 11^2 + 12^2) + (13^2 + 14^2) = 365 + 365 = 730$.

Теперь выполним деление:

$730 : 365 = 2$.

Ответ: 2.

б) $(3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3) : 54$

Из второго проверенного равенства мы знаем, что $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$. Мы уже вычислили, что $6^3 = 216$.

Заменим сумму $3^3 + 4^3 + 5^3$ на $6^3$ (или на 216) в исходном выражении:

$(3^3 + 4^3 + 5^3) + 6^3 = 216 + 216 = 432$.

Теперь выполним деление:

$432 : 54 = 8$.

Ответ: 8.

1121. Проверьте справедливость равенств:

$1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$; $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$;

$108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$.

Используя данные равенства, вычислите:

a) $(1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3) : 27$;

б) $(11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3) : 1000$;

в) $(108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2) : 365$.

Сначала проверим справедливость равенств, данных в условии.

1. Равенство $1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$.
Вычислим левую часть: $1^3 + 6^3 + 8^3 = 1 + 216 + 512 = 729$.
Вычислим правую часть: $9^3 = 729$.
Поскольку $729 = 729$, равенство является верным.

2. Равенство $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$.
Вычислим левую часть: $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 1331 + 1728 + 2197 + 2744 = 8000$.
Вычислим правую часть: $20^3 = 8000$.
Поскольку $8000 = 8000$, равенство является верным.

3. Равенство $108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$.
Вычислим левую часть: $108^2 + 109^2 + 110^2 = 11664 + 11881 + 12100 = 35645$.
Вычислим правую часть: $133^2 + 134^2 = 17689 + 17956 = 35645$.
Поскольку $35645 = 35645$, равенство является верным.

Теперь, используя эти равенства, выполним вычисления.

а) $(1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3) : 27$

Мы знаем, что $1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$. Подставим это значение в выражение:

$(9^3 + 9^3) : 27 = (2 \cdot 9^3) : 27 = (2 \cdot 729) : 27 = 1458 : 27 = 54$.

Ответ: 54.

б) $(11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3) : 1000$

Мы знаем, что $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$. Подставим это значение в выражение:

$(20^3 + 20^3) : 1000 = (2 \cdot 20^3) : 1000 = (2 \cdot 8000) : 1000 = 16000 : 1000 = 16$.

Ответ: 16.

в) $(108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2) : 365$

Мы знаем, что $108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$. Это означает, что разность $108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2$ равна нулю.

Таким образом, выражение в скобках равно 0.

$0 : 365 = 0$.

Ответ: 0.