Страница 233 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1135. a) $3 \frac{3}{7} \cdot 3 \frac{1}{2} : \left(1 \frac{1}{11} - \frac{27}{55}\right);$

б) $\left(2 \frac{1}{2} : 10 + 10 : 2 \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{36}{125};$

В) $3 \frac{1}{8} : \left(\left(4 \frac{5}{12} - 3 \frac{13}{24}\right) \cdot \frac{4}{7} + \left(3 \frac{1}{18} - 2 \frac{7}{12}\right) \cdot 1 \frac{10}{17}\right).$

а) $3\frac{3}{7} \cdot 3\frac{1}{2} : \left(1\frac{1}{11} - \frac{27}{55}\right)$

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю:

$1\frac{1}{11} - \frac{27}{55} = \frac{1 \cdot 11 + 1}{11} - \frac{27}{55} = \frac{12}{11} - \frac{27}{55} = \frac{12 \cdot 5}{11 \cdot 5} - \frac{27}{55} = \frac{60}{55} - \frac{27}{55} = \frac{33}{55} = \frac{3}{5}$

2. Вторым действием выполним умножение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{7} \cdot 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} \cdot \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{24 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{24}{2} = 12$

3. Третьим действием выполним деление:

$12 : \frac{3}{5} = 12 \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{3} = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20

б) $\left(2\frac{1}{2} : 10 + 10 : 2\frac{1}{2} - 2\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{36}{125}$

1. Сначала выполним действия в скобках, соблюдая порядок действий (сначала деление, затем сложение и вычитание). Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ и $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$.

2. Выполним первое деление в скобках:

$2\frac{1}{2} : 10 = \frac{5}{2} : 10 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

3. Выполним второе деление в скобках:

$10 : 2\frac{1}{2} = 10 : \frac{5}{2} = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4$

4. Выполним сложение и вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1}{4} + 4 - \frac{13}{6} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 12}{1 \cdot 12} - \frac{13 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} + \frac{48}{12} - \frac{26}{12} = \frac{3+48-26}{12} = \frac{25}{12}$

5. Теперь выполним умножение результата на дробь за скобками:

$\frac{25}{12} \cdot \frac{36}{125} = \frac{25 \cdot 36}{12 \cdot 125} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

в) $3\frac{1}{8} : \left( \left( 4\frac{5}{12} - 3\frac{13}{24} \right) \cdot \frac{4}{7} + \left( 3\frac{1}{18} - 2\frac{7}{12} \right) \cdot 1\frac{10}{17} \right)$

1. Выполним действие в первой внутренней скобке. Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$4\frac{5}{12} - 3\frac{13}{24} = 4\frac{10}{24} - 3\frac{13}{24} = 3\frac{24+10}{24} - 3\frac{13}{24} = 3\frac{34}{24} - 3\frac{13}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

2. Умножим результат первого действия на $\frac{4}{7}$:

$\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 4}{8 \cdot 7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3. Выполним действие во второй внутренней скобке. Приведем дроби к общему знаменателю 36:

$3\frac{1}{18} - 2\frac{7}{12} = 3\frac{2}{36} - 2\frac{21}{36} = 2\frac{36+2}{36} - 2\frac{21}{36} = 2\frac{38}{36} - 2\frac{21}{36} = \frac{17}{36}$

4. Умножим результат третьего действия на $1\frac{10}{17}$. Преобразуем $1\frac{10}{17}$ в неправильную дробь $\frac{27}{17}$:

$\frac{17}{36} \cdot 1\frac{10}{17} = \frac{17}{36} \cdot \frac{27}{17} = \frac{17 \cdot 27}{36 \cdot 17} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

5. Сложим результаты второго и четвертого действий (выражение в больших скобках):

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

6. Выполним последнее действие - деление. Преобразуем $3\frac{1}{8}$ в неправильную дробь $\frac{25}{8}$:

$3\frac{1}{8} : \frac{5}{4} = \frac{25}{8} : \frac{5}{4} = \frac{25}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{25 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

1136. a) $\left(\frac{7}{8} + \frac{1}{6} + \frac{23}{24}\right) \cdot 177 : 118;$

б) $129 \cdot \left(\frac{7}{9} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} + 5\right) : 86;$

в) $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + 3\right) \cdot 119 : 68;$

г) $3456 : \left(\frac{2}{3} + \frac{4}{5} + \frac{8}{15} + 7\right) : 16.$

а) $(\frac{7}{8} + \frac{1}{6} + \frac{23}{24}) \cdot 177 : 118$

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8, 6 и 24 - это 24.

$\frac{7}{8} + \frac{1}{6} + \frac{23}{24} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{23}{24} = \frac{21}{24} + \frac{4}{24} + \frac{23}{24} = \frac{21 + 4 + 23}{24} = \frac{48}{24} = 2$

2. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение и выполним остальные действия по порядку.

$2 \cdot 177 : 118 = 354 : 118 = 3$

Ответ: 3

б) $129 \cdot (\frac{7}{9} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} + 5) : 86$

1. Выполним действия в скобках. Сначала сложим дроби. Наименьший общий знаменатель для 9, 6 и 18 - это 18.

$\frac{7}{9} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{7}{18} = \frac{14}{18} + \frac{15}{18} + \frac{7}{18} = \frac{14 + 15 + 7}{18} = \frac{36}{18} = 2$

2. Теперь добавим целое число: $2 + 5 = 7$.

3. Подставим результат в выражение и выполним остальные действия.

$129 \cdot 7 : 86 = \frac{129 \cdot 7}{86}$

Разложим числа 129 и 86 на множители: $129 = 3 \cdot 43$, $86 = 2 \cdot 43$.

$\frac{3 \cdot 43 \cdot 7}{2 \cdot 43} = \frac{3 \cdot 7}{2} = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}$

Ответ: $10\frac{1}{2}$

в) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + 3) \cdot 119 : 68$

1. Выполним действия в скобках. Сначала сложим дроби. Наименьший общий знаменатель для 2, 3 и 6 - это 6.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

2. Теперь добавим целое число: $1 + 3 = 4$.

3. Подставим результат в выражение и выполним остальные действия.

$4 \cdot 119 : 68 = \frac{4 \cdot 119}{68}$

Сократим дробь на 4: $\frac{4 \cdot 119}{4 \cdot 17} = \frac{119}{17}$.

Разделим 119 на 17: $119 : 17 = 7$.

Ответ: 7

г) $3456 : (\frac{2}{3} + \frac{4}{5} + \frac{8}{15} + 7) : 16$

1. Выполним действия в скобках. Сначала сложим дроби. Наименьший общий знаменатель для 3, 5 и 15 - это 15.

$\frac{2}{3} + \frac{4}{5} + \frac{8}{15} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8}{15} = \frac{10}{15} + \frac{12}{15} + \frac{8}{15} = \frac{10+12+8}{15} = \frac{30}{15} = 2$

2. Теперь добавим целое число: $2 + 7 = 9$.

3. Подставим результат в выражение и выполним деление по порядку слева направо.

$3456 : 9 : 16$

Первое деление: $3456 : 9 = 384$.

Второе деление: $384 : 16 = 24$.

Ответ: 24

1137. a) $ (\frac{1}{2} + \frac{11}{12} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6}) \cdot (-5) + (-756) : (-36); $

б) $ (\frac{19}{20} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5}) \cdot (-123) - (-5092) : 76. $

а) $(\frac{1}{2} + \frac{11}{12} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6}) \cdot (-5) + (-756) : (-36)$

Решим по действиям:

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2, 12, 4 и 6 равен 12.

$\frac{1}{2} + \frac{11}{12} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} + \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} + \frac{11}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{6+11+9+10}{12} = \frac{36}{12} = 3$

2. Теперь выполним умножение результата, полученного в скобках, на -5.

$3 \cdot (-5) = -15$

3. Далее выполним деление. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число.

$(-756) : (-36) = 756 : 36 = 21$

4. Наконец, выполним сложение результатов второго и третьего действий.

$-15 + 21 = 6$

Ответ: 6

б) $(\frac{19}{20} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5}) \cdot (-123) - (-5092) : 76$

Решим по действиям:

1. Выполним сложение дробей в скобках. Наименьший общий знаменатель для чисел 20, 2, 4 и 5 равен 20.

$\frac{19}{20} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{19}{20} + \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{19}{20} + \frac{10}{20} + \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{19+10+15+16}{20} = \frac{60}{20} = 3$

2. Умножим результат, полученный в скобках, на -123.

$3 \cdot (-123) = -369$

3. Выполним деление. При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.

$(-5092) : 76 = -67$

4. Выполним вычитание результатов второго и третьего действий.

$-369 - (-67) = -369 + 67 = -302$

Ответ: -302

1138. а) $256 \div 48 - 156 \div 36;$

б) $399 \div 49 + 664 \div 56;$

в) $816 \div 88 - 819 \div 99;$

г) $460 \div 52 + 123 \div 39;$

д) $\frac{48 \div 7 - 45 \div 14}{45 \div 7 - 48 \div 14};$

е) $\frac{56 \div 13 + 100 \div 26}{100 \div 13 + 56 \div 26}.$

а) $256 : 48 – 156 : 36$

Для решения этого примера выполним действия в правильном порядке: сначала деление, затем вычитание.

1. Выполним первое деление: $256 : 48$. Запишем в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 256 и 48 равен 16.
$ \frac{256}{48} = \frac{256 \div 16}{48 \div 16} = \frac{16}{3} $

2. Выполним второе деление: $156 : 36$. Запишем в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 156 и 36 равен 12.
$ \frac{156}{36} = \frac{156 \div 12}{36 \div 12} = \frac{13}{3} $

3. Теперь выполним вычитание полученных результатов:
$ \frac{16}{3} - \frac{13}{3} = \frac{16 - 13}{3} = \frac{3}{3} = 1 $

Ответ: 1.

б) $399 : 49 + 664 : 56$

Порядок действий: сначала деление, потом сложение.

1. Выполним первое деление: $399 : 49$. Сократим дробь $\frac{399}{49}$ на 7.
$ \frac{399}{49} = \frac{399 \div 7}{49 \div 7} = \frac{57}{7} $

2. Выполним второе деление: $664 : 56$. Сократим дробь $\frac{664}{56}$ на 8.
$ \frac{664}{56} = \frac{664 \div 8}{56 \div 8} = \frac{83}{7} $

3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{57}{7} + \frac{83}{7} = \frac{57 + 83}{7} = \frac{140}{7} = 20 $

Ответ: 20.

в) $816 : 88 – 819 : 99$

Порядок действий: сначала деление, потом вычитание.

1. Выполним первое деление: $816 : 88$. Сократим дробь $\frac{816}{88}$ на 8.
$ \frac{816}{88} = \frac{816 \div 8}{88 \div 8} = \frac{102}{11} $

2. Выполним второе деление: $819 : 99$. Сократим дробь $\frac{819}{99}$ на 9.
$ \frac{819}{99} = \frac{819 \div 9}{99 \div 9} = \frac{91}{11} $

3. Вычтем полученные результаты:
$ \frac{102}{11} - \frac{91}{11} = \frac{102 - 91}{11} = \frac{11}{11} = 1 $

Ответ: 1.

г) $460 : 52 + 123 : 39$

Порядок действий: сначала деление, потом сложение.

1. Выполним первое деление: $460 : 52$. Сократим дробь $\frac{460}{52}$ на 4.
$ \frac{460}{52} = \frac{460 \div 4}{52 \div 4} = \frac{115}{13} $

2. Выполним второе деление: $123 : 39$. Сократим дробь $\frac{123}{39}$ на 3.
$ \frac{123}{39} = \frac{123 \div 3}{39 \div 3} = \frac{41}{13} $

3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{115}{13} + \frac{41}{13} = \frac{115 + 41}{13} = \frac{156}{13} = 12 $

Ответ: 12.

д) $\frac{48:7-45:14}{45:7-48:14}$

Данное выражение является дробью. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, а после разделим первое на второе.

1. Вычислим числитель: $48:7-45:14$.
$ \frac{48}{7} - \frac{45}{14} = \frac{48 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{45}{14} = \frac{96}{14} - \frac{45}{14} = \frac{96 - 45}{14} = \frac{51}{14} $

2. Вычислим знаменатель: $45:7-48:14$.
$ \frac{45}{7} - \frac{48}{14} = \frac{45 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{48}{14} = \frac{90}{14} - \frac{48}{14} = \frac{90 - 48}{14} = \frac{42}{14} = 3 $

3. Разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{51/14}{3} = \frac{51}{14 \cdot 3} = \frac{51}{42} = \frac{17 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{17}{14} $

Ответ: $\frac{17}{14}$.

е) $\frac{56:13+100:26}{100:13+56:26}$

Вычислим поочередно числитель и знаменатель, а затем найдем их частное.

1. Вычислим числитель: $56:13+100:26$.
$ \frac{56}{13} + \frac{100}{26} = \frac{56 \cdot 2}{13 \cdot 2} + \frac{100}{26} = \frac{112}{26} + \frac{100}{26} = \frac{112 + 100}{26} = \frac{212}{26} $

2. Вычислим знаменатель: $100:13+56:26$.
$ \frac{100}{13} + \frac{56}{26} = \frac{100 \cdot 2}{13 \cdot 2} + \frac{56}{26} = \frac{200}{26} + \frac{56}{26} = \frac{200 + 56}{26} = \frac{256}{26} $

3. Разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{212/26}{256/26} = \frac{212}{256} $

4. Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 4.
$ \frac{212 \div 4}{256 \div 4} = \frac{53}{64} $

Ответ: $\frac{53}{64}$.

1139. $ \frac{3\frac{2}{3} + 1\frac{4}{7}}{3\frac{2}{3} - 1\frac{4}{7}} : \frac{13\frac{1}{3} - 3\frac{1}{13}}{13\frac{1}{3} + 3\frac{1}{13}} : \frac{5\frac{1}{2} + 1\frac{3}{8}}{5\frac{1}{2} - 1\frac{3}{8}} . $

Для решения примера вычислим значение каждой из трех дробей поочередно, а затем выполним их последовательное деление.

Вычисление первой дроби

$$ \frac{3\frac{2}{3} + 1\frac{4}{7}}{3\frac{2}{3} - 1\frac{4}{7}} $$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$ 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3} $$

$$ 1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7} $$

Подставим эти значения в числитель и знаменатель и выполним действия.

Числитель: $$ \frac{11}{3} + \frac{11}{7} = \frac{11 \cdot 7}{21} + \frac{11 \cdot 3}{21} = \frac{77 + 33}{21} = \frac{110}{21} $$

Знаменатель: $$ \frac{11}{3} - \frac{11}{7} = \frac{11 \cdot 7}{21} - \frac{11 \cdot 3}{21} = \frac{77 - 33}{21} = \frac{44}{21} $$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{\frac{110}{21}}{\frac{44}{21}} = \frac{110}{21} \cdot \frac{21}{44} = \frac{110}{44} = \frac{5 \cdot 22}{2 \cdot 22} = \frac{5}{2} $$

Вычисление второй дроби

$$ \frac{13\frac{1}{3} - 3\frac{1}{13}}{13\frac{1}{3} + 3\frac{1}{13}} $$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$ 13\frac{1}{3} = \frac{13 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{40}{3} $$

$$ 3\frac{1}{13} = \frac{3 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{40}{13} $$

Подставим значения и выполним действия.

Числитель: $$ \frac{40}{3} - \frac{40}{13} = \frac{40 \cdot 13}{39} - \frac{40 \cdot 3}{39} = \frac{520 - 120}{39} = \frac{400}{39} $$

Знаменатель: $$ \frac{40}{3} + \frac{40}{13} = \frac{40 \cdot 13}{39} + \frac{40 \cdot 3}{39} = \frac{520 + 120}{39} = \frac{640}{39} $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{\frac{400}{39}}{\frac{640}{39}} = \frac{400}{39} \cdot \frac{39}{640} = \frac{400}{640} = \frac{40}{64} = \frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{5}{8} $$

Вычисление третьей дроби

$$ \frac{5\frac{1}{2} + 1\frac{3}{8}}{5\frac{1}{2} - 1\frac{3}{8}} $$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$ 5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2} $$

$$ 1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8} $$

Подставим значения и выполним действия.

Числитель: $$ \frac{11}{2} + \frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 4}{8} + \frac{11}{8} = \frac{44 + 11}{8} = \frac{55}{8} $$

Знаменатель: $$ \frac{11}{2} - \frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 4}{8} - \frac{11}{8} = \frac{44 - 11}{8} = \frac{33}{8} $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{\frac{55}{8}}{\frac{33}{8}} = \frac{55}{8} \cdot \frac{8}{33} = \frac{55}{33} = \frac{5 \cdot 11}{3 \cdot 11} = \frac{5}{3} $$

Итоговое вычисление

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$$ \frac{5}{2} : \frac{5}{8} : \frac{5}{3} $$

Выполняем деление последовательно слева направо.

$$ \left(\frac{5}{2} : \frac{5}{8}\right) : \frac{5}{3} = \left(\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5}\right) : \frac{5}{3} = \frac{8}{2} : \frac{5}{3} = 4 : \frac{5}{3} $$

$$ 4 : \frac{5}{3} = 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5} $$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$ \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} $$

Ответ: $2\frac{2}{5}$

1140. a) $ \frac{3\frac{3}{4} : 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} : 3\frac{3}{4} \cdot 2\frac{1}{2}}{2 : 3\frac{1}{5} + 3\frac{1}{4} : 13 : \frac{2}{3}} $

б) $ \frac{15 : \frac{5}{18} : 3\frac{3}{8} \cdot \left(\frac{1}{16} + \frac{11}{36} + \frac{5}{48} + \frac{5}{18}\right)}{\left(11\frac{5}{11} - 8\frac{21}{22}\right) : 1\frac{2}{3}} $

а)

Решим по действиям, сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце найдем их частное.

1. Вычислим числитель: $3\frac{3}{4}:1\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}:3\frac{3}{4}\cdot 2\frac{1}{2}$

Сначала выполним деление и умножение, затем сложение. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Первое действие: $3\frac{3}{4}:1\frac{1}{2} = \frac{15}{4}:\frac{3}{2} = \frac{15}{4}\cdot\frac{2}{3} = \frac{15 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}$

Второе действие: $1\frac{1}{2}:3\frac{3}{4}\cdot 2\frac{1}{2} = \frac{3}{2}:\frac{15}{4}\cdot\frac{5}{2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 15 \cdot 2} = \frac{60}{60} = 1$

Третье действие (сложение): $\frac{5}{2} + 1 = 2\frac{1}{2} + 1 = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Итак, числитель равен $\frac{7}{2}$.

2. Вычислим знаменатель: $2:3\frac{1}{5}+3\frac{1}{4}:13:\frac{2}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Первое действие: $2:3\frac{1}{5} = 2:\frac{16}{5} = 2 \cdot \frac{5}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

Второе действие: $3\frac{1}{4}:13:\frac{2}{3} = \frac{13}{4}:13:\frac{2}{3} = \frac{13}{4}\cdot\frac{1}{13}\cdot\frac{3}{2} = \frac{13 \cdot 1 \cdot 3}{4 \cdot 13 \cdot 2} = \frac{3}{8}$

Третье действие (сложение): $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Итак, знаменатель равен $1$.

3. Разделим числитель на знаменатель: $\frac{7/2}{1} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$

б)

Решим по действиям, сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце найдем их частное.

1. Вычислим числитель: $15:\frac{5}{18}:3\frac{3}{8}\cdot\left(\frac{1}{16}+\frac{11}{36}+\frac{5}{48}+\frac{5}{18}\right)$

Сначала выполним действие в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для 16, 36, 48 и 18. НОК(16, 36, 48, 18) = 144.

$\frac{1}{16}+\frac{11}{36}+\frac{5}{48}+\frac{5}{18} = \frac{1\cdot9}{144}+\frac{11\cdot4}{144}+\frac{5\cdot3}{144}+\frac{5\cdot8}{144} = \frac{9+44+15+40}{144} = \frac{108}{144}$

Сократим дробь $\frac{108}{144}$ на 36: $\frac{108:36}{144:36} = \frac{3}{4}$

Теперь вычислим выражение перед скобками. Преобразуем $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.

$15:\frac{5}{18}:3\frac{3}{8} = 15:\frac{5}{18}:\frac{27}{8} = 15\cdot\frac{18}{5}\cdot\frac{8}{27} = \frac{15}{5}\cdot\frac{18}{27}\cdot8 = 3\cdot\frac{2}{3}\cdot8 = 2\cdot8 = 16$

Теперь перемножим результаты: $16 \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 4 \cdot 3 = 12$

Итак, числитель равен $12$.

2. Вычислим знаменатель: $\left(11\frac{5}{11}-8\frac{21}{22}\right):1\frac{2}{3}$

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 22.

$11\frac{5}{11}-8\frac{21}{22} = 11\frac{10}{22}-8\frac{21}{22} = 10\frac{32}{22}-8\frac{21}{22} = (10-8) + \frac{32-21}{22} = 2\frac{11}{22} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь выполним деление. Преобразуем $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

$\frac{5}{2}:1\frac{2}{3} = \frac{5}{2}:\frac{5}{3} = \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{5} = \frac{3}{2}$

Итак, знаменатель равен $\frac{3}{2}$.

3. Разделим числитель на знаменатель: $12 : \frac{3}{2} = 12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{3} = 4 \cdot 2 = 8$

Ответ: $8$

1141. a) $\frac{20 : 2\frac{2}{15} + 25\frac{5}{7} : 2\frac{2}{35}}{20\frac{7}{9} : 4\frac{2}{5} - \frac{5}{9}}$

б) $\frac{6\frac{3}{4} : 9 + 24 : \frac{6}{7} - \frac{1}{9} : \frac{4}{21}}{53\frac{2}{3} - 22\frac{14}{15} : 2\frac{2}{3}}$

a)

Решим пример по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим результат числителя на результат знаменателя.

1. Вычислим значение числителя: $20:2\frac{2}{15} + 25\frac{5}{7}:2\frac{2}{35}$

1) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним деление: $20:2\frac{2}{15} = 20:\frac{2 \cdot 15 + 2}{15} = 20:\frac{32}{15} = 20 \cdot \frac{15}{32} = \frac{20 \cdot 15}{32}$. Сократим дробь: $\frac{5 \cdot 4 \cdot 15}{8 \cdot 4} = \frac{75}{8}$.

2) Выполним второе деление: $25\frac{5}{7}:2\frac{2}{35} = \frac{25 \cdot 7 + 5}{7}:\frac{2 \cdot 35 + 2}{35} = \frac{180}{7}:\frac{72}{35} = \frac{180}{7} \cdot \frac{35}{72}$. Сократим дробь: $\frac{180 \cdot 5}{72} = \frac{5 \cdot 36 \cdot 5}{2 \cdot 36} = \frac{25}{2}$.

3) Сложим полученные результаты: $\frac{75}{8} + \frac{25}{2}$. Приведем к общему знаменателю 8: $\frac{75}{8} + \frac{25 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{75}{8} + \frac{100}{8} = \frac{175}{8}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $20\frac{7}{9}:4\frac{2}{5} - \frac{5}{9}$

1) Выполним деление: $20\frac{7}{9}:4\frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 9 + 7}{9}:\frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{187}{9}:\frac{22}{5} = \frac{187}{9} \cdot \frac{5}{22}$. Сократим дробь (187 = 17 * 11, 22 = 2 * 11): $\frac{17 \cdot 11}{9} \cdot \frac{5}{2 \cdot 11} = \frac{17 \cdot 5}{9 \cdot 2} = \frac{85}{18}$.

2) Выполним вычитание: $\frac{85}{18} - \frac{5}{9}$. Приведем к общему знаменателю 18: $\frac{85}{18} - \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{85}{18} - \frac{10}{18} = \frac{75}{18}$. Сократим дробь на 3: $\frac{25}{6}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{175}{8} : \frac{25}{6} = \frac{175}{8} \cdot \frac{6}{25}$. Сократим дробь: $\frac{7 \cdot 25}{8} \cdot \frac{6}{25} = \frac{7 \cdot 6}{8} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$.

Ответ: $5\frac{1}{4}$

б)

Решим пример по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим результат числителя на результат знаменателя.

1. Вычислим значение числителя: $6\frac{3}{4}:9 + 24:\frac{6}{7} - \frac{1}{9}:\frac{4}{21}$

1) $6\frac{3}{4}:9 = \frac{27}{4}:9 = \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

2) $24:\frac{6}{7} = 24 \cdot \frac{7}{6} = 4 \cdot 7 = 28$.

3) $\frac{1}{9}:\frac{4}{21} = \frac{1}{9} \cdot \frac{21}{4} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

4) Сложим и вычтем полученные результаты: $\frac{3}{4} + 28 - \frac{7}{12}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{3 \cdot 3}{12} + 28 - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} + 28 - \frac{7}{12} = 28 + \frac{9-7}{12} = 28 + \frac{2}{12} = 28\frac{1}{6} = \frac{169}{6}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $53\frac{2}{3} - 22\frac{14}{15}:2\frac{2}{3}$

1) Выполним деление: $22\frac{14}{15}:2\frac{2}{3} = \frac{22 \cdot 15 + 14}{15}:\frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{344}{15}:\frac{8}{3} = \frac{344}{15} \cdot \frac{3}{8}$. Сократим дробь: $\frac{344}{5 \cdot 8} = \frac{43}{5}$.

2) Выполним вычитание: $53\frac{2}{3} - \frac{43}{5} = \frac{53 \cdot 3 + 2}{3} - \frac{43}{5} = \frac{161}{3} - \frac{43}{5}$. Приведем к общему знаменателю 15: $\frac{161 \cdot 5}{15} - \frac{43 \cdot 3}{15} = \frac{805 - 129}{15} = \frac{676}{15}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{169}{6} : \frac{676}{15} = \frac{169}{6} \cdot \frac{15}{676}$. Зная, что $169 = 13^2$ и $676 = 26^2 = (2 \cdot 13)^2 = 4 \cdot 13^2 = 4 \cdot 169$, сократим дробь: $\frac{169}{6} \cdot \frac{15}{4 \cdot 169} = \frac{15}{6 \cdot 4} = \frac{15}{24}$. Сократим на 3: $\frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

Сократите дробь (1142–1143):

1142. а) $\frac{36 \cdot 25}{50 \cdot 24}$

б) $\frac{38 \cdot 17}{34 \cdot 21}$

в) $\frac{64 \cdot 48}{56 \cdot 72}$

г) $\frac{38 \cdot 45}{60 \cdot 95}$

д) $\frac{25 - 12}{12 \cdot 13}$

е) $\frac{26 + 13}{13 \cdot 26}$

ж) $\frac{7 + 28}{7 \cdot 28}$

з) $\frac{45 + 5}{5 \cdot 45}$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{36 \cdot 25}{50 \cdot 24} $, разложим числа в числителе и знаменателе на удобные множители. Представим $36$ как $12 \cdot 3$, $50$ как $2 \cdot 25$, и $24$ как $12 \cdot 2$.

$ \frac{36 \cdot 25}{50 \cdot 24} = \frac{(12 \cdot 3) \cdot 25}{(2 \cdot 25) \cdot (12 \cdot 2)} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $12$ и $25$.

$ \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{38 \cdot 17}{34 \cdot 21} $. Разложим числа на простые множители.$38 = 2 \cdot 19$$34 = 2 \cdot 17$

$ \frac{38 \cdot 17}{34 \cdot 21} = \frac{(2 \cdot 19) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot 21} $

Сокращаем общие множители $2$ и $17$.

$ \frac{19}{21} $

Ответ: $ \frac{19}{21} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{64 \cdot 48}{56 \cdot 72} $, найдем общие делители для пар чисел.Сократим $64$ и $56$ на их наибольший общий делитель $8$.$64 \div 8 = 8$$56 \div 8 = 7$

Сократим $48$ и $72$ на их наибольший общий делитель $24$.$48 \div 24 = 2$$72 \div 24 = 3$

Перепишем дробь с новыми числами:

$ \frac{8 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{16}{21} $

Ответ: $ \frac{16}{21} $

г) Рассмотрим дробь $ \frac{38 \cdot 45}{60 \cdot 95} $.Сократим $38$ и $95$ на их общий делитель $19$.$38 \div 19 = 2$$95 \div 19 = 5$

Сократим $45$ и $60$ на их общий делитель $15$.$45 \div 15 = 3$$60 \div 15 = 4$

Получаем:

$ \frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20} $

Сократим полученную дробь на $2$.

$ \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10} $

Ответ: $ \frac{3}{10} $

д) В дроби $ \frac{25 - 12}{12 \cdot 13} $ сначала выполним действие в числителе.$25 - 12 = 13$

Получаем дробь:

$ \frac{13}{12 \cdot 13} $

Сокращаем числитель и знаменатель на $13$.

$ \frac{1}{12} $

Ответ: $ \frac{1}{12} $

е) В дроби $ \frac{26 + 13}{13 \cdot 26} $ сначала выполним действие в числителе.$26 + 13 = 39$

Получаем дробь:

$ \frac{39}{13 \cdot 26} $

Сократим $39$ и $13$ на $13$.$39 \div 13 = 3$$13 \div 13 = 1$

Получаем:

$ \frac{3}{1 \cdot 26} = \frac{3}{26} $

Ответ: $ \frac{3}{26} $

ж) В дроби $ \frac{7 + 28}{7 \cdot 28} $ сначала выполним сложение в числителе.$7 + 28 = 35$

Получаем дробь:

$ \frac{35}{7 \cdot 28} $

Сократим $35$ и $7$ на $7$.$35 \div 7 = 5$$7 \div 7 = 1$

Получаем:

$ \frac{5}{1 \cdot 28} = \frac{5}{28} $

Ответ: $ \frac{5}{28} $

з) В дроби $ \frac{45 + 5}{5 \cdot 45} $ сначала выполним сложение в числителе.$45 + 5 = 50$

Получаем дробь:

$ \frac{50}{5 \cdot 45} $

Сократим $50$ и $5$ на $5$.$50 \div 5 = 10$$5 \div 5 = 1$

Получаем:

$ \frac{10}{45} $

Теперь сократим эту дробь на $5$.

$ \frac{10 \div 5}{45 \div 5} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $

1143. а) $\frac{(17-12)\cdot8}{15\cdot16};$

б) $\frac{(25-9)\cdot25}{75\cdot(38-22)};$

В) $\frac{(41-5)\cdot19}{(23-4)\cdot36};$

Г) $\frac{17\cdot8-12\cdot8}{80};$

Д) $\frac{25\cdot25-9\cdot25}{3\cdot50};$

е) $\frac{16\cdot23+9\cdot23}{17\cdot25+6\cdot25};$

а) $\frac{(17 - 12) \cdot 8}{15 \cdot 16} = \frac{5 \cdot 8}{15 \cdot 16}$
Сократим числитель и знаменатель. $5$ и $15$ делятся на $5$. $8$ и $16$ делятся на $8$.
$\frac{5 \cdot 8}{15 \cdot 16} = \frac{\sout{5}^1 \cdot \sout{8}^1}{\sout{15}^3 \cdot \sout{16}^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

б) $\frac{(25 - 9) \cdot 25}{75 \cdot (38 - 22)} = \frac{16 \cdot 25}{75 \cdot 16}$
Сократим дробь на $16$.
$\frac{\sout{16} \cdot 25}{75 \cdot \sout{16}} = \frac{25}{75}$
Сократим дробь на $25$.
$\frac{25}{75} = \frac{\sout{25}^1}{\sout{75}^3} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) $\frac{(41 - 5) \cdot 19}{(23 - 4) \cdot 36} = \frac{36 \cdot 19}{19 \cdot 36}$
Числитель и знаменатель равны, поэтому дробь равна единице.
$\frac{36 \cdot 19}{19 \cdot 36} = 1$
Ответ: $1$

г) $\frac{17 \cdot 8 - 12 \cdot 8}{80}$
Вынесем общий множитель $8$ за скобки в числителе, используя распределительный закон.
$\frac{(17 - 12) \cdot 8}{80} = \frac{5 \cdot 8}{80} = \frac{40}{80}$
Сократим дробь на $40$.
$\frac{40}{80} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) $\frac{25 \cdot 25 - 9 \cdot 25}{3 \cdot 50}$
Вынесем общий множитель $25$ за скобки в числителе.
$\frac{(25 - 9) \cdot 25}{3 \cdot 50} = \frac{16 \cdot 25}{3 \cdot 50}$
Сократим $25$ и $50$ на $25$.
$\frac{16 \cdot \sout{25}^1}{3 \cdot \sout{50}^2} = \frac{16}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6}$
Сократим полученную дробь на $2$.
$\frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
Ответ: $\frac{8}{3}$

е) $\frac{16 \cdot 23 + 9 \cdot 23}{17 \cdot 25 + 6 \cdot 25}$
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
$\frac{(16 + 9) \cdot 23}{(17 + 6) \cdot 25} = \frac{25 \cdot 23}{23 \cdot 25}$
Числитель и знаменатель равны, следовательно, значение дроби равно $1$.
$\frac{25 \cdot 23}{23 \cdot 25} = 1$
Ответ: $1$