Страница 228 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1090. Купили конфеты и печенье. 1 кг конфет дороже 1 кг печенья на 50%, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

Решение. Пусть купили $x$ кг печенья по $y$ р. за 1 кг — всего на $xy$ р. Тогда конфет купили $0,5x$ кг по $1,5y$ р. за 1 кг — всего на $0,5x \cdot 1,5y = 0,75xy$ р. Так как $xy > 0,75xy$, то за печенье заплатили больше, чем за конфеты.

Решение. Для решения задачи введем переменные. Пусть масса купленного печенья составляет $x$ кг, а цена за 1 кг печенья — $y$ рублей. Тогда общая стоимость всего печенья равна произведению массы на цену: $C_{печенья} = x \cdot y = xy$ рублей.

Теперь определим массу и цену конфет, исходя из условий задачи.

• Цена 1 кг конфет дороже 1 кг печенья на 50%. Это значит, что к цене печенья нужно прибавить 50% от этой цены: $Цена_{конфет} = y + 0.5 \cdot y = 1.5y$ рублей.
• Масса купленных конфет на 50% меньше, чем масса печенья. Это значит, что из массы печенья нужно вычесть 50% от этой массы: $Масса_{конфет} = x - 0.5 \cdot x = 0.5x$ кг.

Теперь вычислим общую стоимость конфет, умножив их массу на их цену: $C_{конфет} = (0.5x) \cdot (1.5y) = 0.75xy$ рублей.

Осталось сравнить стоимость печенья ($xy$) и стоимость конфет ($0.75xy$). Поскольку масса $x$ и цена $y$ являются положительными величинами, мы можем сравнить коэффициенты перед произведением $xy$.
Сравниваем $1 \cdot xy$ и $0.75 \cdot xy$.
Так как $1 > 0.75$, то и $xy > 0.75xy$.
Следовательно, за печенье заплатили больше, чем за конфеты.

Ответ: за печенье заплатили больше.

✱1091. Мама не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала дома с зимы до лета. За это время цены в магазине выросли на 25 %. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

Пусть на $a$ р. зимой можно было купить одну единицу товара. Летом этот товар уже стоил $a + 0,25a = 1,25a$, т. е. летом на те же $a$ р. можно купить $a : 1,25a = 0,8$ единицы того же товара. Это на $1 - 0,8 = 0,2$ единицы товара, или на 20 %, меньше, чем зимой. Покупательная способность отложенных денег уменьшилась на 20 %.

Решение.

Покупательная способность денег — это количество товаров и услуг, которое можно приобрести на определенную сумму. Чтобы определить, на сколько процентов она уменьшилась, нам нужно сравнить, сколько условных единиц товара можно было купить на отложенную сумму зимой и сколько — летом, после роста цен.

1. Пусть $S$ — это сумма отложенных сбережений. Допустим, зимой на эту сумму можно было купить 1 условную единицу товара. Это означает, что цена этой единицы товара зимой была равна $S$.

2. По условию, с зимы до лета цены выросли на 25%. Найдем новую цену нашей условной единицы товара летом. Она увеличилась на 25% от первоначальной цены $S$.
Новая цена = $S + 0.25 \times S = 1.25S$.

3. Теперь определим, какую часть этой условной единицы товара можно купить летом на ту же неизменную сумму $S$. Для этого разделим сумму денег на новую цену товара:
Количество товара летом = $\frac{\text{Сумма денег}}{\text{Новая цена}} = \frac{S}{1.25S} = \frac{1}{1.25}$.

4. Преобразуем полученное значение в десятичную дробь:
$\frac{1}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0.8$.
Это значит, что летом на ту же сумму можно купить только 0.8 от той условной единицы товара, которую можно было купить зимой.

5. Найдем, на сколько уменьшилась покупательная способность. Изначально она была равна 1 (единица товара), а стала 0.8. Уменьшение составляет:
$1 - 0.8 = 0.2$.

6. Чтобы выразить это уменьшение в процентах, нужно полученное значение умножить на 100%. За 100% мы принимаем первоначальную покупательную способность (1 единицу товара).
Процентное уменьшение = $0.2 \times 100\% = 20\%$.

Таким образом, при росте цен на 25% покупательная способность денег уменьшилась на 20%.
Ответ: на 20%.

1092. Некто купил зимой акции АО NNN по 60 р. за акцию. К лету стоимость акций поднялась на 20 р. за акцию, а цены на товары за то же время увеличились на 20 %. На сколько процентов увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции?

Для того чтобы определить, на сколько процентов увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции, необходимо сравнить, какое количество условного товара можно было купить на стоимость акции до и после изменений.

Пусть зимой цена одной акции была $C_1 = 60$ рублей, а цена условной единицы товара была $P_1$. Покупательная способность (ПС) вложенных денег в этом случае составляла:
$ПС_1 = \frac{C_1}{P_1} = \frac{60}{P_1}$

К лету стоимость акции поднялась на $20$ рублей, то есть новая цена акции стала:
$C_2 = 60 + 20 = 80$ рублей.
Цены на товары за это же время увеличились на $20\%$. Это значит, что новая цена условной единицы товара стала:
$P_2 = P_1 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 1.2 \cdot P_1$.
Новая покупательная способность денег, вложенных в акцию, равна:
$ПС_2 = \frac{C_2}{P_2} = \frac{80}{1.2 \cdot P_1}$

Теперь найдем, на сколько процентов изменилась покупательная способность. Для этого рассчитаем процентное изменение по формуле:
$\Delta ПС = \frac{ПС_2 - ПС_1}{ПС_1} \cdot 100\%$
Подставим полученные выражения:
$\Delta ПС = \frac{\frac{80}{1.2 \cdot P_1} - \frac{60}{P_1}}{\frac{60}{P_1}} \cdot 100\%$
Переменная $P_1$ сокращается, и мы получаем:
$\Delta ПС = \frac{\frac{80}{1.2} - 60}{60} \cdot 100\% = \frac{\frac{800}{12} - 60}{60} \cdot 100\% = \frac{\frac{200}{3} - \frac{180}{3}}{60} \cdot 100\% = \frac{\frac{20}{3}}{60} \cdot 100\%$
$\Delta ПС = \frac{20}{3 \cdot 60} \cdot 100\% = \frac{20}{180} \cdot 100\% = \frac{1}{9} \cdot 100\% = 11\frac{1}{9}\%$

Ответ: покупательная способность денег, вложенных в акции, увеличилась на $11\frac{1}{9}\%$.

1093. Мальчики составляют $45\%$ всех учащихся школы. Известно, что $30\%$ всех мальчиков и $40\%$ всех девочек учатся без троек. Сколько процентов всех учащихся школы учатся без троек?

Для решения этой задачи давайте представим все процентные доли в виде десятичных дробей и пошагово вычислим итоговый процент.

1. Определяем долю девочек в школе.
Если мальчики составляют 45% всех учащихся, то доля девочек составляет оставшуюся часть от 100%.
$100\% - 45\% = 55\%$
Таким образом, девочки составляют 55% всех учащихся школы.

2. Находим долю мальчиков, учащихся без троек, от общего числа учащихся.
Известно, что 30% мальчиков учатся без троек. Доля мальчиков в школе — 45%. Чтобы найти, какую долю от всех учащихся составляют хорошо успевающие мальчики, нужно найти 30% от 45%.
$0,45 \text{ (доля мальчиков)} \times 0,30 \text{ (доля успевающих среди них)} = 0,135$
В процентах это составляет $0,135 \times 100\% = 13,5\%$.

3. Находим долю девочек, учащихся без троек, от общего числа учащихся.
Известно, что 40% девочек учатся без троек. Доля девочек в школе — 55%. Чтобы найти, какую долю от всех учащихся составляют хорошо успевающие девочки, нужно найти 40% от 55%.
$0,55 \text{ (доля девочек)} \times 0,40 \text{ (доля успевающих среди них)} = 0,22$
В процентах это составляет $0,22 \times 100\% = 22\%$.

4. Складываем доли успевающих мальчиков и девочек, чтобы найти общий процент.
Теперь сложим полученные процентные доли, чтобы узнать, какой процент всех учащихся школы учится без троек.
$13,5\% + 22\% = 35,5\%$

Ответ: 35,5%

1094. Рядовой Сидоров почистил бак картошки за 4 ч, и у него 20 % всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такой же (по массе) бак картошки?

Пусть $M$ — это масса картошки в одном баке.

Рядовой Сидоров обрабатывает (чистит) бак неочищенной картошки массой $M$ за 4 часа.

При чистке 20% от всей массы картошки уходит в очистки. Это означает, что масса полезного продукта (чищеной картошки) составляет:
$100\% - 20\% = 80\%$

Таким образом, из одного бака неочищенной картошки массой $M$ получается $0.8 \times M$ чищеной картошки.

Итак, за 4 часа работы Сидоров производит $0.8 \times M$ чищеной картошки.

Теперь необходимо найти, сколько времени ($t$) потребуется, чтобы получить полный бак чищеной картошки, то есть массу $M$.

Составим пропорцию:
$0.8 \times M$ чищеной картошки получается за $4$ часа.
$1 \times M$ чищеной картошки получается за $t$ часов.

Отсюда можем найти $t$:
$t = \frac{4 \text{ часа} \times (1 \times M)}{0.8 \times M}$

Сократив $M$, получаем:
$t = \frac{4}{0.8} = \frac{40}{8} = 5$ часов.

Ответ: 5 часов.

1095. Когда подвели итоги голосования по половине всех бюллетеней, то оказалось, что объединение «Ананас» получило 10 % голосов избирателей. Подсчитайте, какое наибольшее и какое наименьшее число процентов голосов избирателей может набрать объединение «Ананас» на выборах после подсчёта всех бюллетеней.

Пусть общее количество всех бюллетеней равно $N$.
По условию, подвели итоги по половине бюллетеней, то есть по $N/2$ бюллетеней.
Объединение «Ананас» получило 10% голосов от этой подсчитанной половины. Количество голосов за «Ананас» на данный момент составляет $0.1 \times \frac{N}{2} = 0.05N$.
Осталось подсчитать вторую половину бюллетеней, которая также составляет $\frac{N}{2}$.

Наименьшее число процентов

Чтобы найти наименьший возможный итоговый процент, предположим самый худший для «Ананаса» сценарий: во второй, еще не подсчитанной, половине бюллетеней за него не проголосовал ни один избиратель (0 голосов).
Тогда общее число голосов за «Ананас» не изменится и останется $0.05N$.
Итоговый процент голосов от общего числа бюллетеней ($N$) будет равен:
$\frac{0.05N}{N} \times 100\% = 0.05 \times 100\% = 5\%$.
Ответ: 5%.

Наибольшее число процентов

Чтобы найти наибольший возможный итоговый процент, предположим самый лучший для «Ананаса» сценарий: во второй половине бюллетеней абсолютно все избиратели проголосовали за «Ананас». Это даст им еще $\frac{N}{2}$ или $0.5N$ голосов.
Тогда общее число голосов за «Ананас» будет равно сумме голосов из обеих половин: $0.05N + 0.5N = 0.55N$.
Итоговый процент голосов от общего числа бюллетеней ($N$) будет равен:
$\frac{0.55N}{N} \times 100\% = 0.55 \times 100\% = 55\%$.
Ответ: 55%.