Номер 1119, страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1119, страница 231.

Условие.

1119. a) Вычислите:

$7 \cdot 11;$

$24 \cdot 101;$

$378 \cdot 1001;$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77;$

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424.$

б) Докажите, не выполняя всех вычислений, что:

$275 \cdot 346346 - 346 \cdot 275275 = 0;$

$1996 \cdot 19971997 - 1997 \cdot 19961996 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Вычислим значения данных выражений поочередно:

$7 \cdot 11 = 77$

$24 \cdot 101 = 24 \cdot (100 + 1) = 24 \cdot 100 + 24 \cdot 1 = 2400 + 24 = 2424$

$378 \cdot 1001 = 378 \cdot (1000 + 1) = 378 \cdot 1000 + 378 \cdot 1 = 378000 + 378 = 378378$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77 = 7 \cdot 2 \cdot 11 - 2 \cdot 7 \cdot 11 = 154 - 154 = 0$

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424 = 24 \cdot (13 \cdot 101) - 13 \cdot (24 \cdot 101) = (24 \cdot 13 \cdot 101) - (13 \cdot 24 \cdot 101) = 0$. Для решения мы представили число $1313$ как произведение $13 \cdot 101$, а число $2424$ как $24 \cdot 101$, а затем использовали переместительное свойство умножения.

Ответ: 77; 2424; 378378; 0; 0.

б)

Докажем справедливость равенств, не выполняя полного умножения чисел.

1. Докажем равенство $275 \cdot 346 346 - 346 \cdot 275 275 = 0$.

Для этого представим числа $346 346$ и $275 275$ в виде произведений:

$346 346 = 346 \cdot 1000 + 346 = 346 \cdot (1000 + 1) = 346 \cdot 1001$

$275 275 = 275 \cdot 1000 + 275 = 275 \cdot (1000 + 1) = 275 \cdot 1001$

Теперь подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$275 \cdot (346 \cdot 1001) - 346 \cdot (275 \cdot 1001)$

Используя сочетательное и переместительное свойства умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), мы видим, что уменьшаемое и вычитаемое равны:

$(275 \cdot 346 \cdot 1001) - (346 \cdot 275 \cdot 1001) = 0$

Таким образом, первое равенство доказано.

2. Докажем равенство $1996 \cdot 19 971 997 - 1997 \cdot 19 961 996 = 0$.

Действуем аналогичным образом. Представим большие числа в виде произведений:

$19 971 997 = 1997 \cdot 10000 + 1997 = 1997 \cdot (10000 + 1) = 1997 \cdot 10001$

$19 961 996 = 1996 \cdot 10000 + 1996 = 1996 \cdot (10000 + 1) = 1996 \cdot 10001$

Подставим полученные выражения в левую часть равенства:

$1996 \cdot (1997 \cdot 10001) - 1997 \cdot (1996 \cdot 10001)$

Вновь применяя свойства умножения, мы получаем разность двух одинаковых чисел:

$(1996 \cdot 1997 \cdot 10001) - (1997 \cdot 1996 \cdot 10001) = 0$

Таким образом, второе равенство также доказано.

Ответ: Оба равенства доказаны.