Номер 1125, страница 232 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1125, страница 232.

Условие.

1125. Два ученика по очереди пишут цифры десятизначного числа.

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3.Всего в десятизначном числе 10 цифр. Первый ученик пишет цифры на нечетных позициях (1-ю, 3-ю, ..., 9-ю), а второй ученик — на четных (2-ю, 4-ю, ..., 10-ю). Всего каждый напишет по 5 цифр.Ключевым является то, что второй ученик делает последний ход, то есть пишет 10-ю цифру.Пусть $S_9$ — это сумма первых девяти цифр, которые уже написаны. Когда наступает очередь второго ученика делать последний ход, он должен выбрать десятую цифру $d_{10}$ так, чтобы итоговая сумма $S = S_9 + d_{10}$ делилась на 3.Рассмотрим, какой остаток может давать $S_9$ при делении на 3:
1. Если $S_9$ делится на 3, то есть $S_9 \equiv 0 \pmod 3$. Второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая также делится на 3. У него есть выбор: 0, 3, 6, 9. Он может выбрать любую из них.
2. Если $S_9$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 1 \pmod 3$. Второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 2 при делении на 3 (так как $1+2=3$). У него есть выбор: 2, 5, 8.
3. Если $S_9$ дает остаток 2 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 2 \pmod 3$. Второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 1 при делении на 3 (так как $2+1=3$). У него есть выбор: 1, 4, 7.В любой ситуации, независимо от ходов первого ученика, у второго всегда есть как минимум три варианта для своей последней цифры, чтобы сумма всех цифр делилась на 3. Таким образом, второй ученик всегда может добиться своей цели.
Ответ: Да, может.

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9.Первый ученик хочет, чтобы итоговая сумма цифр $S$ делилась на 9. Второй ученик хочет ему помешать.Как и в предыдущем пункте, второй ученик делает последний ход, записывая цифру $d_{10}$. Это дает ему решающее преимущество.Пусть $S_9$ — это сумма первых девяти цифр. Итоговая сумма равна $S = S_9 + d_{10}$.Цель первого ученика — сделать так, чтобы $S$ делилось на 9. Цель второго — чтобы не делилось.Когда второй ученик делает свой последний ход, он знает сумму $S_9$. Ему нужно выбрать цифру $d_{10}$ так, чтобы сумма $S_9 + d_{10}$ не делилась на 9.Для любого значения $S_9$ существует единственное значение $r \in \{0, 1, ..., 8\}$, такое что если $d_{10} \equiv r \pmod 9$, то итоговая сумма $S$ будет делиться на 9.
Например, если $S_9 = 40$, то $40 \equiv 4 \pmod 9$. Чтобы сумма делилась на 9, нужно, чтобы $d_{10} \equiv 5 \pmod 9$. Единственная подходящая цифра — это 5. Второй ученик может выбрать любую другую цифру из 9 оставшихся (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9), и тогда сумма не будет делиться на 9.
Если $S_9 = 45$, то $45 \equiv 0 \pmod 9$. Чтобы сумма делилась на 9, нужно, чтобы $d_{10} \equiv 0 \pmod 9$. Подходящие цифры — 0 и 9. Второй ученик может выбрать любую из 8 других цифр.В общем случае, для того чтобы сумма $S$ делилась на 9, второй ученик должен был бы выбрать цифру $d_{10}$ с определенным остатком при делении на 9. Таких цифр среди $\{0, 1, ..., 9\}$ может быть одна или две (только для остатка 0 — цифры 0 и 9). Это означает, что у второго ученика всегда есть как минимум $10 - 2 = 8$ вариантов для выбора цифры, которая гарантированно помешает первому ученику достичь цели.Поскольку второй ученик всегда может сделать ход, который нарушает делимость на 9, первый ученик не может этого гарантировать.
Ответ: Нет, не может.