Номер 1128, страница 232 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1128, страница 232.

Условие.

1128. Разность двух нечётных чисел равна 8. Докажите, что эти числа взаимно простые.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть даны два нечётных числа, назовём их $a$ и $b$. По условию, их разность равна 8. Без ограничения общности, предположим, что $a > b$, тогда $a - b = 8$.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) равен 1. Нам нужно доказать, что $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Воспользуемся основным свойством наибольшего общего делителя, которое гласит, что $\text{НОД}$ двух чисел равен $\text{НОД}$ одного из них и их разности: $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a - b, b)$.

Подставим в это свойство известное нам значение разности $a - b = 8$:
$\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(8, b)$.

Теперь задача сводится к нахождению $\text{НОД}(8, b)$. Общие делители чисел 8 и $b$ должны быть делителями числа 8. Положительные делители числа 8 — это 1, 2, 4, 8.

По условию, число $b$ — нечётное. Нечётное число по определению не делится на 2, а значит, не может иметь и других чётных делителей. Числа 2, 4, 8 являются чётными, поэтому они не могут быть делителями нечётного числа $b$.

Следовательно, единственным общим положительным делителем для числа 8 и нечётного числа $b$ является 1.

Таким образом, $\text{НОД}(8, b) = 1$.

А так как $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(8, b)$, то и $\text{НОД}(a, b) = 1$. Это доказывает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми.

Ответ: Утверждение доказано. Наибольший общий делитель этих чисел равен наибольшему общему делителю одного из них и их разности ($\text{НОД}(a,b) = \text{НОД}(b, 8)$). Так как одно из чисел нечётное, их общий делитель с числом 8 не может быть 2, 4 или 8. Значит, $\text{НОД}$ равен 1, и числа взаимно простые.