Номер 1087, страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 5. Задачи на составление и разрезание фигур. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1087, страница 226.

Условие.

1087. Из фигур тримино, домино и одного квадрата (рис. 147) сложите квадрат $3 \times 3$. Сколькими способами это можно сделать?

Рис. 147

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы, во-первых, показать, как можно сложить квадрат размером $3 \times 3$ из заданных фигур, и, во-вторых, определить, сколькими способами это можно сделать. Фигуры, которые мы используем, это: одно L-образное тримино (3 клетки), одно прямое тримино (3 клетки), одно домино (2 клетки) и один квадрат (мономино, 1 клетка).

Для начала проверим, возможна ли такая сборка в принципе. Для этого сложим площади всех фигур: $3 + 3 + 2 + 1 = 9$ клеток. Площадь квадрата $3 \times 3$ также составляет $3 \times 3 = 9$ клеток. Поскольку общая площадь фигур равна площади квадрата, то сложить такой квадрат возможно.

Пример одного из возможных решений (где I — прямое тримино, L — L-образное тримино, D — домино, M — мономино):

I	I	I
L	D	D
L	L	M

Теперь подсчитаем общее количество способов. Чтобы перебрать все варианты, будем действовать последовательно. Наиболее ограничивающей фигурой является прямое тримино (I-тримино), поэтому начнем с его размещения на доске $3 \times 3$.

Если расположить I-тримино в центре (горизонтально по второй строке или вертикально по второму столбцу), то оставшиеся свободные клетки образуют две не связанные между собой области. В такие области невозможно поместить L-тримино, которому требуется поле как минимум $2 \times 2$. Это означает, что I-тримино должно располагаться у края квадрата.

Существует 4 таких положения для I-тримино:

• Горизонтально в верхней строке.
• Горизонтально в нижней строке.
• Вертикально в левом столбце.
• Вертикально в правом столбце.

Все эти 4 случая симметричны. Рассмотрим один из них, например, когда I-тримино занимает верхнюю строку. Остается прямоугольник $3 \times 2$, который нужно замостить оставшимися фигурами: L-тримино, домино и мономино. Пусть количество способов сделать это равно $N$. Тогда общее число способов для всех 4 положений I-тримино будет $4 \times N$.

Найдем $N$ — количество способов замостить прямоугольник $3 \times 2$ L-тримино, домино и мономино. Для этого рассмотрим, куда можно поместить мономино (квадрат $1 \times 1$).

1. Мономино расположено в углу прямоугольника $3 \times 2$.

   В прямоугольнике 4 угловые клетки. Если поместить мономино в один из углов, оставшуюся L-образную область из 5 клеток нужно покрыть домино и L-тримино. Для каждого из 4 угловых положений мономино есть ровно 2 способа это сделать. Таким образом, получаем $4 \times 2 = 8$ способов.

2. Мономино расположено не в углу, а в центре одной из длинных сторон.

   В прямоугольнике $3 \times 2$ есть 2 такие клетки. Если поместить мономино в одну из них, оставшуюся U-образную область из 5 клеток также можно покрыть домино и L-тримино двумя способами. Таким образом, получаем $2 \times 2 = 4$ способа.

Сложив результаты, найдем общее число способов замостить прямоугольник $3 \times 2$:
$N = 8 + 4 = 12$ способов.

Наконец, вычислим общее количество способов сложить квадрат $3 \times 3$. Оно равно произведению числа положений I-тримино на число способов заполнения оставшегося пространства:

Общее количество способов = $4 \times N = 4 \times 12 = 48$.

Ответ: Сложить квадрат $3 \times 3$ из заданных фигур можно 48 способами.