Номер 1148, страница 234 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1148, страница 234.

Условие.

1148. a) Найдите натуральные числа x, y, z, для которых верно равенство

$\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30}$

б) Найдите целые числа x, y, z, для которых верно то же равенство.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Дано равенство:

$$ \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30} $$

По условию, $x, y, z$ — натуральные числа, то есть $x, y, z \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Перевернем обе части равенства, чтобы избавиться от дроби в левой части:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{30}{7} $$

Представим правую часть в виде смешанной дроби (выделим целую часть):

$$ \frac{30}{7} = 4 + \frac{2}{7} $$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = 4 + \frac{2}{7} $$

Поскольку $y$ и $z$ — натуральные числа, $y \ge 1$ и $z \ge 1$.
Следовательно, $y + \frac{1}{z} > 1$.
Тогда $0 < \frac{1}{y + \frac{1}{z}} < 1$.
Это означает, что $x$ должен быть равен целой части числа $\frac{30}{7}$, а дробная часть $\frac{1}{y + \frac{1}{z}}$ должна быть равна дробной части $\frac{2}{7}$.

Отсюда получаем:

$$ x = 4 $$

и

$$ \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{2}{7} $$

Снова перевернем обе части второго равенства:

$$ y + \frac{1}{z} = \frac{7}{2} $$

Выделим целую часть в правой части:

$$ \frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2} $$

Получаем уравнение:

$$ y + \frac{1}{z} = 3 + \frac{1}{2} $$

Так как $z$ — натуральное число и $z \ge 1$, то $0 < \frac{1}{z} \le 1$.
Если $z=1$, то $y+1 = 3.5$, откуда $y=2.5$, что не является натуральным числом.
Если $z > 1$, то $0 < \frac{1}{z} < 1$. В этом случае $y$ должен быть равен целой части числа $\frac{7}{2}$, а $\frac{1}{z}$ — его дробной части.

Отсюда получаем:

$$ y = 3 $$

и

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{2} $$

Из последнего равенства очевидно, что:

$$ z = 2 $$

Таким образом, мы нашли единственное решение в натуральных числах: $x=4, y=3, z=2$.

Проверим: $x + \frac{1}{y+\frac{1}{z}} = 4 + \frac{1}{3+\frac{1}{2}} = 4 + \frac{1}{7/2} = 4 + \frac{2}{7} = \frac{30}{7}$.
Тогда $\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30}$. Верно.

Ответ: $x=4, y=3, z=2$.

б)

Теперь найдем все целые числа $x, y, z$, для которых верно то же равенство. В этом случае $x, y, z \in \mathbb{Z}$.
Начнем так же, как и в пункте а):

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{30}{7} = 4 + \frac{2}{7} $$

Поскольку $x$ — целое число, мы можем записать $x = 4 - k$ для некоторого целого $k$. Тогда:

$$ (4-k) + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = 4 + \frac{2}{7} $$

$$ \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = k + \frac{2}{7} = \frac{7k+2}{7} $$

Перевернув дробь, получим:

$$ y + \frac{1}{z} = \frac{7}{7k+2} $$

Выразим $\frac{1}{z}$:

$$ \frac{1}{z} = \frac{7}{7k+2} - y = \frac{7 - y(7k+2)}{7k+2} $$

Отсюда выразим $z$:

$$ z = \frac{7k+2}{7 - y(7k+2)} $$

Обозначим $N = 7k+2$ и $D = 7 - y(7k+2)$. Тогда $z = \frac{N}{D}$.
Поскольку $z$ должно быть целым числом, знаменатель $D$ должен быть делителем числителя $N$.
Пусть $N = q \cdot D$ для некоторого целого $q$. Тогда $z=q$.
Подставим $N=qD$ в выражение для $D$:

$$ D = 7 - y(qD) \implies D = 7 - yqD \implies D(1+yq) = 7 $$

Так как $D, y, q$ — целые числа, то $D$ и $(1+yq)$ должны быть целыми делителями числа 7. Делители числа 7: $\pm 1, \pm 7$.
Рассмотрим все возможные пары для $(D, 1+yq)$:

1. $(D, 1+yq) = (1, 7) \implies D=1, yq=6$.
   Из $N=qD$ следует $N=q$. Тогда $yN=6$. Так как $N=7k+2$, то $y(7k+2)=6$. Переберем целые делители $y$ числа 6:
   • $y=1 \implies 7k+2=6 \implies 7k=4$, нет целых $k$.
   • $y=2 \implies 7k+2=3 \implies 7k=1$, нет целых $k$.
   • $y=3 \implies 7k+2=2 \implies 7k=0 \implies k=0$. Тогда $x=4-0=4$. $q=N=2$, т.е. $z=2$. Получаем решение $(4,3,2)$.
   • $y=6 \implies 7k+2=1 \implies 7k=-1$, нет целых $k$.
   • $y=-1 \implies 7k+2=-6 \implies 7k=-8$, нет целых $k$.
   • $y=-2 \implies 7k+2=-3 \implies 7k=-5$, нет целых $k$.
   • $y=-3 \implies 7k+2=-2 \implies 7k=-4$, нет целых $k$.
   • $y=-6 \implies 7k+2=-1 \implies 7k=-3$, нет целых $k$.
2. $(D, 1+yq) = (-1, -7) \implies D=-1, yq=-8$.
   Из $N=qD$ следует $N=-q$. Тогда $y(-N)=-8 \implies yN=8$. Так как $N=7k+2$, то $y(7k+2)=8$. Переберем целые делители $y$ числа 8:
   • $y=1 \implies 7k+2=8 \implies 7k=6$, нет целых $k$.
   • $y=2 \implies 7k+2=4 \implies 7k=2$, нет целых $k$.
   • $y=4 \implies 7k+2=2 \implies 7k=0 \implies k=0$. Тогда $x=4-0=4$. $N=2$. $q=-N=-2$, т.е. $z=-2$. Получаем решение $(4,4,-2)$.
   • $y=8 \implies 7k+2=1 \implies 7k=-1$, нет целых $k$.
   • $y=-1 \implies 7k+2=-8 \implies 7k=-10$, нет целых $k$.
   • $y=-2 \implies 7k+2=-4 \implies 7k=-6$, нет целых $k$.
   • $y=-4 \implies 7k+2=-2 \implies 7k=-4$, нет целых $k$.
   • $y=-8 \implies 7k+2=-1 \implies 7k=-3$, нет целых $k$.
3. $(D, 1+yq) = (7, 1) \implies D=7, yq=0$.
   Если $y=0$, то $y+\frac{1}{z} = \frac{1}{z}$. Уравнение $x+\frac{1}{1/z} = x+z=\frac{30}{7}$ не имеет целых решений для $x, z$, так как сумма двух целых чисел не может быть равна нецелому числу $\frac{30}{7}$.
   Если $q=0$, то $z=0$, что недопустимо, так как $z$ находится в знаменателе.
4. $(D, 1+yq) = (-7, -1) \implies D=-7, yq=-2$.
   $N=qD=-7q$. Так как $N=7k+2$, то $7k+2 = -7q \implies 7(k+q)=-2$. Это уравнение не имеет целых решений для $k$ и $q$, так как -2 не делится на 7.

Таким образом, мы нашли два набора целых чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Ответ: $(4, 3, 2)$ и $(4, 4, -2)$.