Страница 242 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1215. Две машины выехали одновременно навстречу друг другу из городов $A$ и $B$ и встретились через 3 ч. Ещё через 2 ч легковая машина прибыла в город $B$. За сколько часов грузовая машина доехала от города $B$ до города $A$?

Решение:

Пусть $v_л$ — скорость легковой машины (выехавшей из города А), а $v_г$ — скорость грузовой машины (выехавшей из города В). Пусть $S$ — расстояние между городами А и В.

Машины выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через $t_1 = 3$ часа. За это время легковая машина проехала расстояние $S_1 = v_л \cdot t_1 = 3v_л$, а грузовая — $S_2 = v_г \cdot t_1 = 3v_г$. В момент встречи суммарное пройденное ими расстояние равно всему расстоянию между городами: $S = S_1 + S_2 = 3v_л + 3v_г = 3(v_л + v_г)$.

Место встречи делит весь путь на два отрезка: $S_1$ (от А до места встречи) и $S_2$ (от В до места встречи).

После встречи легковая машина продолжила движение из точки встречи в город В. Расстояние, которое ей осталось проехать, равно отрезку $S_2$, который до встречи проехала грузовая машина. По условию, легковая машина преодолела это расстояние за $t_2 = 2$ часа. Таким образом, мы можем записать: $S_2 = v_л \cdot t_2 = 2v_л$.

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_2$: $S_2 = 3v_г$ (расстояние, которое проехала грузовая машина до встречи) и $S_2 = 2v_л$ (расстояние, которое проехала легковая машина после встречи). Приравняем их: $3v_г = 2v_л$.

Из этого соотношения найдем, как скорости машин относятся друг к другу. Выразим скорость легковой машины через скорость грузовой: $v_л = \frac{3}{2}v_г = 1.5v_г$. Это означает, что легковая машина в 1,5 раза быстрее грузовой.

Теперь подставим это выражение в формулу для общего расстояния $S$: $S = 3(v_л + v_г) = 3(1.5v_г + v_г) = 3(2.5v_г) = 7.5v_г$.

Вопрос задачи — за сколько часов грузовая машина доехала от города В до города А, то есть за какое время она проехала все расстояние $S$. Это время $T_г$ можно найти по формуле $T_г = \frac{S}{v_г}$.

Подставим найденное выражение для $S$: $T_г = \frac{7.5v_г}{v_г} = 7.5$ часа.

Ответ: 7,5 часов.

1216. В хозяйстве под картофель занята площадь в 3 раза большая, чем под капусту. Под капусту занято на 36 га меньше, чем под картофель. Какая площадь занята под картофель?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это площадь, занятая под капусту, в гектарах (га).

Согласно первому условию, площадь под картофель в 3 раза больше, чем под капусту. Следовательно, площадь, занятая под картофель, составляет $3x$ га.

Из второго условия известно, что под капусту занято на 36 га меньше, чем под картофель. Это означает, что разница между площадью под картофель и площадью под капусту равна 36 га. На основании этого можно составить уравнение:

$3x - x = 36$

Теперь решим это уравнение:

$2x = 36$

$x = 36 / 2$

$x = 18$

Таким образом, мы нашли площадь, занятую под капусту — она равна 18 га.

В вопросе требуется найти площадь, занятую под картофель. Для этого умножим площадь под капусту на 3:

$18 \cdot 3 = 54$ га.

Проверим правильность решения: площадь под картофель (54 га) больше площади под капусту (18 га) на $54 - 18 = 36$ га, что соответствует условию задачи.

Ответ: 54 га.

1217. Первая глава книги содержит в 3 раза меньше страниц, чем две другие, вместе взятые. Три главы вместе содержат 276 страниц. Сколько страниц в первой главе?

Решение:

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество страниц в первой главе книги.

Из условия известно, что первая глава содержит в 3 раза меньше страниц, чем две другие (вторая и третья) вместе взятые. Это означает, что суммарное количество страниц во второй и третьей главах в 3 раза больше, чем в первой. Таким образом, количество страниц во второй и третьей главах вместе составляет $3x$.

Общее количество страниц в книге — это сумма страниц во всех трех главах. Мы знаем, что всего в книге 276 страниц. Составим уравнение:

Количество страниц в первой главе + Количество страниц во второй и третьей главах = Общее количество страниц

$x + 3x = 276$

Теперь решим полученное уравнение:

$4x = 276$

Найдем $x$, разделив общее количество страниц на 4:

$x = 276 / 4$

$x = 69$

Таким образом, в первой главе книги 69 страниц.

Проверка:

Страниц в первой главе: 69.

Страниц в двух других главах: $3 * 69 = 207$.

Всего страниц: $69 + 207 = 276$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 69.

1218. Мост длиной 324 м имеет четыре пролёта, из которых два в 2 раза короче двух других, имеющих одинаковую длину. Определите длины пролётов моста.

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ метров — это длина одного из двух коротких пролётов моста.

Согласно условию, два других пролёта в 2 раза длиннее. Следовательно, длина каждого из длинных пролётов составляет $2x$ метров.

Мост имеет четыре пролёта: два коротких (по $x$ м каждый) и два длинных (по $2x$ м каждый). Общая длина моста составляет 324 м. Мы можем составить уравнение, сложив длины всех пролётов:

$x + x + 2x + 2x = 324$

Теперь решим это уравнение:

$2x + 4x = 324$
$6x = 324$
$x = \frac{324}{6}$
$x = 54$

Мы нашли длину одного короткого пролёта — она равна 54 м.

Теперь найдём длину одного длинного пролёта, умножив длину короткого на 2:

$2x = 2 \cdot 54 = 108$ м.

Таким образом, у моста два пролёта по 54 метра и два пролёта по 108 метров.

Ответ: два пролёта моста имеют длину по 54 м, а два других — по 108 м.

1219. Кенгуру прыгает в длину на расстояние, в 4 раза большее, или на 9 м большее, чем в высоту. На какое расстояние кенгуру прыгает в длину?

Пусть $h$ — высота прыжка кенгуру в метрах, а $l$ — длина прыжка в метрах.

Из условия задачи мы знаем, что длина прыжка описывается двумя способами по отношению к его высоте:

1. Длина прыжка в 4 раза больше высоты. Это можно записать в виде уравнения: $l = 4h$.

2. Длина прыжка на 9 м больше высоты. Это можно записать в виде другого уравнения: $l = h + 9$.

Поскольку оба выражения равны длине прыжка $l$, мы можем их приравнять, чтобы найти высоту $h$:

$4h = h + 9$

Теперь решим это уравнение. Вычтем $h$ из обеих частей уравнения:

$4h - h = 9$

$3h = 9$

Разделим обе части на 3:

$h = \frac{9}{3}$

$h = 3$

Таким образом, высота прыжка кенгуру составляет 3 метра.

Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем найти длину прыжка, подставив значение $h$ в любое из исходных уравнений. Используем первое уравнение:

$l = 4h = 4 \cdot 3 = 12$

Проверим, подставив во второе уравнение:

$l = h + 9 = 3 + 9 = 12$

Оба способа дают один и тот же результат. Значит, длина прыжка кенгуру составляет 12 метров.

Ответ: 12 м.

1220. Слон в 5 раз тяжелее белого медведя.

Белый медведь на 3,6 т легче слона.

Сколько весит каждое животное?

Для решения задачи введем переменную. Пусть вес белого медведя равен $x$ тонн.

Согласно условию, "Слон в 5 раз тяжелее белого медведя". Значит, вес слона можно выразить как $5x$ тонн.

Также известно, что "Белый медведь на 3,6 т легче слона". Это означает, что разница между весом слона и весом белого медведя составляет 3,6 тонны. Составим уравнение:

$5x - x = 3.6$

Теперь решим это уравнение:

$4x = 3.6$

$x = 3.6 \div 4$

$x = 0.9$

Таким образом, вес белого медведя составляет 0,9 тонны.

Теперь найдем вес слона, который в 5 раз больше:

$5 \cdot 0.9 = 4.5$

Вес слона составляет 4,5 тонны.

Проверим, выполняется ли второе условие: $4.5 - 0.9 = 3.6$ тонны. Условие выполняется, разница в весе верна.

Ответ: вес белого медведя — 0,9 т, вес слона — 4,5 т.

1221. Для участия в эстафете ребята разделились на две команды. Чтобы участников эстафеты в командах стало поровну, учитель перевёл 3 человека из одной команды в другую. На сколько человек первоначально в одной команде было больше, чем в другой?

Для решения задачи можно использовать два подхода: логический и алгебраический.

1. Логический подход

Представим, что есть две команды, одна больше другой. Когда из большей команды уходят 3 человека, разница между командами уменьшается на 3. Когда в меньшую команду приходят эти 3 человека, разница между командами уменьшается еще на 3. Чтобы команды стали равными, нужно, чтобы изначальная разница полностью исчезла.

Таким образом, общее изменение разницы составляет $3 + 3 = 6$ человек. Это и есть первоначальная разница в численности команд.

2. Алгебраический подход

Пусть в первой (более многочисленной) команде первоначально было $x$ человек, а во второй (менее многочисленной) — $y$ человек.

После того как учитель перевел 3 человека из первой команды во вторую, в первой команде стало $(x - 3)$ человека, а во второй — $(y + 3)$ человека.

По условию, после этого количество участников в командах стало равным. Составим уравнение: $x - 3 = y + 3$

Нам нужно найти, на сколько человек в одной команде было больше, чем в другой, то есть найти разность $x - y$. Выразим эту разность из уравнения: $x - y = 3 + 3$ $x - y = 6$

Следовательно, первоначально в одной команде было на 6 человек больше, чем в другой.

Ответ: на 6 человек.

1222. У Саши и Вити вместе 160 марок. После того как Саша дал Вите 15 марок, а Витя дал Саше 19 марок, число марок у мальчиков стало одинаковым. Сколько марок было у каждого мальчика первоначально?

Для решения задачи можно рассуждать с конца. Общее количество марок у мальчиков не менялось, так как они только обменивались ими между собой. Всего у них было и осталось 160 марок.

1. В конце у Саши и Вити стало одинаковое количество марок. Найдем, сколько марок стало у каждого:

$160 \div 2 = 80$ (марок) - стало у каждого мальчика.

2. Чтобы найти, сколько марок было у каждого первоначально, выполним все действия в обратном порядке.

Последним действием Витя дал Саше 19 марок. Это значит, что до этого у Саши было на 19 марок меньше, а у Вити — на 19 больше, чем 80.

$80 - 19 = 61$ (марка) - была у Саши до того, как Витя дал ему марки.

$80 + 19 = 99$ (марок) - было у Вити до того, как он дал Саше марки.

3. Перед этим Саша дал Вите 15 марок. Это значит, что первоначально у Саши было на 15 марок больше, а у Вити — на 15 марок меньше.

$61 + 15 = 76$ (марок) - было у Саши первоначально.

$99 - 15 = 84$ (марки) - было у Вити первоначально.

Проверка:

Изначально у Саши было 76 марок, у Вити - 84. Вместе: $76 + 84 = 160$ марок.

Саша дал Вите 15 марок: у Саши стало $76 - 15 = 61$, у Вити стало $84 + 15 = 99$.

Витя дал Саше 19 марок: у Саши стало $61 + 19 = 80$, у Вити стало $99 - 19 = 80$.

Число марок у мальчиков стало одинаковым. Все условия выполнены.

Ответ: Первоначально у Саши было 76 марок, а у Вити было 84 марки.

1223. В двух мешках 250 телефонных жетонов. Если из одного мешка переложить в другой 25 жетонов, то количества жетонов в мешках сравняются. Сколько жетонов в каждом мешке?

1. Сначала найдем, сколько жетонов стало в каждом мешке после того, как их количество сравнялось. Так как общее количество жетонов не изменилось, в каждом мешке оказалось:

$250 \div 2 = 125$ жетонов.

2. В мешке, из которого переложили жетоны, стало 125 жетонов. Это произошло после того, как из него забрали 25 жетонов. Значит, первоначально в этом мешке было:

$125 + 25 = 150$ жетонов.

3. В мешок, в который переложили жетоны, тоже стало 125 жетонов. Это произошло после того, как в него добавили 25 жетонов. Значит, первоначально в этом мешке было:

$125 - 25 = 100$ жетонов.

4. Проверим решение. Изначально в мешках было 150 и 100 жетонов. Общее количество: $150 + 100 = 250$. Если из первого мешка переложить во второй 25 жетонов, то в первом станет $150 - 25 = 125$ жетонов, а во втором станет $100 + 25 = 125$ жетонов. Их количества сравняются, что соответствует условию задачи.

Ответ: в одном мешке было 150 жетонов, а в другом 100 жетонов.

1224. a) Сумма числителя и знаменателя дроби равна 32, числитель на 2 меньше знаменателя. Найдите эту дробь.

б) Числитель на 8 больше знаменателя, сумма числителя и знаменателя равна 34. Найдите эту дробь.

а)

Обозначим числитель дроби через $x$, а знаменатель — через $y$. Тогда искомая дробь будет $\frac{x}{y}$.

Согласно условию, сумма числителя и знаменателя равна 32. Составим первое уравнение: $x + y = 32$.

Также по условию числитель на 2 меньше знаменателя. Составим второе уравнение: $x = y - 2$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными: $\begin{cases} x + y = 32 \\ x = y - 2 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $(y - 2) + y = 32$

Решим полученное уравнение относительно $y$: $2y - 2 = 32$ $2y = 32 + 2$ $2y = 34$ $y = \frac{34}{2}$ $y = 17$

Теперь, зная значение знаменателя $y$, найдем числитель $x$, подставив это значение во второе уравнение: $x = 17 - 2$ $x = 15$

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{15}{17}$. Проверим: сумма $15 + 17 = 32$, и числитель $15$ на $2$ меньше знаменателя $17$.

Ответ: $\frac{15}{17}$

б)

Пусть числитель дроби равен $x$, а знаменатель — $y$. Искомая дробь — $\frac{x}{y}$.

По условию, числитель на 8 больше знаменателя. Запишем это в виде первого уравнения: $x = y + 8$.

Сумма числителя и знаменателя равна 34. Это второе уравнение: $x + y = 34$.

Составим и решим систему уравнений: $\begin{cases} x = y + 8 \\ x + y = 34 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе: $(y + 8) + y = 34$

Решим полученное уравнение: $2y + 8 = 34$ $2y = 34 - 8$ $2y = 26$ $y = \frac{26}{2}$ $y = 13$

Теперь найдем числитель $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение: $x = 13 + 8$ $x = 21$

Следовательно, искомая дробь равна $\frac{21}{13}$. Проверим: числитель $21$ на $8$ больше знаменателя $13$, и их сумма $21 + 13 = 34$.

Ответ: $\frac{21}{13}$

1225. Между городами $A$ и $B$ расстояние $331$ км. На пути из $A$ в $B$ есть город $C$, расстояние от которого до города $A$ на $17$ км больше, чем до города $B$. Найдите расстояние от $A$ до $C$ и от $B$ до $C$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть расстояние от города B до города C равно $x$ км. Согласно условию, расстояние от города A до города C на 17 км больше, чем до города B, следовательно, оно составляет $(x + 17)$ км.

Так как город C расположен на пути между городами A и B, общее расстояние между A и B является суммой расстояний от A до C и от B до C. Общее расстояние известно и составляет 331 км. На основе этих данных можно составить уравнение:

$(x + 17) + x = 331$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2x + 17 = 331$

Вычтем 17 из обеих частей уравнения:

$2x = 331 - 17$

$2x = 314$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{314}{2}$

$x = 157$

Таким образом, мы нашли расстояние от города B до города C, оно равно 157 км.

Далее найдем расстояние от города A до города C, подставив значение $x$ в выражение $(x + 17)$:

$157 + 17 = 174$ км.

Проведем проверку: сумма найденных расстояний должна быть равна общему расстоянию между городами A и B.

$174 + 157 = 331$ км. Условие выполняется.

Ответ: расстояние от А до С равно 174 км, расстояние от В до С равно 157 км.