Страница 244 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1234. 10 ветряных мельниц смололи 200 четвертей ржи в 12 дней, работая в день по 14 ч. По сколько часов в день должны работать 8 таких же мельниц, чтобы в 21 день смолоть 300 четвертей ржи?

Для решения задачи определим производительность одной ветряной мельницы. Известно, что 10 мельниц за 12 дней, работая по 14 часов в день, смололи 200 четвертей ржи. Найдем общее количество затраченного труда в «мельнице-часах»:

$10 \text{ мельниц} \times 12 \text{ дней} \times 14 \text{ часов/день} = 1680$ мельнице-часов.

За это время было смолото 200 четвертей ржи. Таким образом, производительность (количество ржи, которое одна мельница перемалывает за один час) составляет:

$P = \frac{200 \text{ четвертей}}{1680 \text{ мельнице-часов}} = \frac{20}{168} = \frac{5}{42}$ четверти в час на одну мельницу.

Теперь используем эту производительность для второго условия. 8 мельниц должны смолоть 300 четвертей ржи за 21 день. Пусть $x$ — искомое количество часов работы в день. Общее количество мельнице-часов для этой задачи составит:

$8 \text{ мельниц} \times 21 \text{ день} \times x \text{ часов/день} = 168x$ мельнице-часов.

Объем работы (300 четвертей) равен произведению общего количества мельнице-часов на производительность одной мельницы:

$300 = 168x \times P$

Подставим найденное значение производительности $P = \frac{5}{42}$:

$300 = 168x \times \frac{5}{42}$

Сократим 168 и 42 (поскольку $168 \div 42 = 4$):

$300 = 4x \times 5$

$300 = 20x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{300}{20} = 15$

Следовательно, 8 таким же мельницам, чтобы смолоть 300 четвертей ржи за 21 день, нужно работать по 15 часов в день.

Ответ: 15 часов.

1235. а) Картофель содержит $20 \%$ крахмала. Сколько картофеля надо взять для получения $200$ кг крахмала?

б) При помоле ржи получается $75 \%$ муки. Сколько ржи надо взять, чтобы получить $200$ кг муки?

в) При помоле пшеницы получается $80 \%$ муки. Сколько пшеницы надо взять, чтобы получить $200$ кг муки?

г) Получаемый при сушке винограда изюм составляет $32 \%$ от массы винограда. Из скольких килограммов винограда получится $4$ кг изюма?

а)

В данной задаче нам нужно найти целое по его части. Известно, что 200 кг крахмала составляют 20% от общей массы картофеля. Пусть $x$ кг — это искомая масса картофеля. Тогда 20% от $x$ равно 200 кг.

Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $20\% = 20 / 100 = 0.2$.

Теперь составим уравнение: $0.2 \cdot x = 200$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить известную часть (200 кг) на долю, которую она составляет (0.2):

$x = 200 / 0.2 = 1000$ кг.

Ответ: для получения 200 кг крахмала надо взять 1000 кг картофеля.

б)

Эта задача аналогична предыдущей. Нам известно, что 200 кг муки — это 75% от общей массы ржи. Пусть $y$ кг — искомая масса ржи.

Переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 75 / 100 = 0.75$.

Составим уравнение: $0.75 \cdot y = 200$.

Найдем $y$:

$y = 200 / 0.75 = 200 / (3/4) = (200 \cdot 4) / 3 = 800 / 3 = 266 \frac{2}{3}$ кг.

Ответ: чтобы получить 200 кг муки, надо взять $266 \frac{2}{3}$ кг ржи.

в)

Здесь 200 кг муки составляют 80% от общей массы пшеницы. Пусть $z$ кг — искомая масса пшеницы.

Переведем проценты в десятичную дробь: $80\% = 80 / 100 = 0.8$.

Составим уравнение: $0.8 \cdot z = 200$.

Найдем $z$:

$z = 200 / 0.8 = 2000 / 8 = 250$ кг.

Ответ: чтобы получить 200 кг муки, надо взять 250 кг пшеницы.

г)

В этой задаче 4 кг изюма составляют 32% от массы винограда. Пусть $w$ кг — искомая масса винограда.

Переведем проценты в десятичную дробь: $32\% = 32 / 100 = 0.32$.

Составим уравнение: $0.32 \cdot w = 4$.

Найдем $w$:

$w = 4 / 0.32 = 400 / 32 = 100 / 8 = 12.5$ кг.

Ответ: из 12.5 кг винограда получится 4 кг изюма.

1236. a) Найдите число, $20\%$ которого составляют $50\%$ от 200.

б) Найдите число, $10\%$ которого составляют $60\%$ от 300.

а)

Чтобы решить эту задачу, выполним действия по порядку.

1. Сначала найдем, чему равны 50% от числа 200. Для этого можно умножить 200 на десятичное представление 50%, то есть на 0,5.
$200 \cdot (50 / 100) = 200 \cdot 0,5 = 100$.

2. Теперь нам известно, что 20% искомого числа равны 100. Пусть искомое число это $x$. Тогда можно составить пропорцию или уравнение:
$x \cdot (20 / 100) = 100$
$x \cdot 0,2 = 100$
Чтобы найти $x$, нужно 100 разделить на 0,2.
$x = 100 / 0,2 = 500$.

Проверка: 20% от 500 это $500 \cdot 0,2 = 100$. 50% от 200 это $200 \cdot 0,5 = 100$. Условия совпали.

Ответ: 500.

б)

Решаем задачу аналогичным образом.

1. Сначала найдем 60% от числа 300. Для этого умножим 300 на 0,6.
$300 \cdot (60 / 100) = 300 \cdot 0,6 = 180$.

2. Теперь мы знаем, что 10% искомого числа равны 180. Пусть искомое число это $y$. Составим уравнение:
$y \cdot (10 / 100) = 180$
$y \cdot 0,1 = 180$
Чтобы найти $y$, нужно 180 разделить на 0,1.
$y = 180 / 0,1 = 1800$.

Проверка: 10% от 1800 это $1800 \cdot 0,1 = 180$. 60% от 300 это $300 \cdot 0,6 = 180$. Условия совпали.

Ответ: 1800.

1237. В 800 г воды растворили 20 г соли. Какова концентрация раствора в процентах?

Для решения задачи нам понадобятся следующие величины:

• Масса растворенного вещества (соли): $m_{соли} = 20 \text{ г}$
• Масса растворителя (воды): $m_{воды} = 800 \text{ г}$

Сначала найдем общую массу раствора:

$m_{раствора} = m_{соли} + m_{воды}$

Затем вычислим массовую долю (концентрацию) раствора в процентах по формуле:

$w (\%) = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\%$

Для того чтобы найти концентрацию раствора в процентах (массовую долю вещества), необходимо воспользоваться следующей формулой:

$\omega = \frac{m_{растворенного\ вещества}}{m_{раствора}} \times 100\%$

где $m_{растворенного\ вещества}$ — масса растворенной соли, а $m_{раствора}$ — общая масса всего раствора.

1. Вычисляем общую массу раствора.

Общая масса раствора складывается из массы растворителя (воды) и массы растворенного вещества (соли).

$m_{раствора} = m_{воды} + m_{соли}$

$m_{раствора} = 800\ г + 20\ г = 820\ г$

2. Рассчитываем концентрацию раствора.

Теперь, зная массу соли (20 г) и общую массу раствора (820 г), подставляем эти значения в формулу:

$\omega = \frac{20\ г}{820\ г} \times 100\%$

Выполним расчет:

$\omega = \frac{20}{820} \times 100\% = \frac{2}{82} \times 100\% \approx 2.439\%$

Округляя результат до сотых, получаем $2.44\%$.

Ответ: $2.44\%$.

1238. a) Рубашка стоила 150 р. После снижения цены она стоит 120 р. На сколько процентов снижена цена рубашки?

б) Товар стоил 690 р. После снижения цены он стоит 621 р. На сколько процентов снижена цена товара?

а)

Чтобы определить, на сколько процентов была снижена цена, нужно найти разницу между старой и новой ценой, а затем вычислить, какую долю эта разница составляет от первоначальной цены.

1. Находим разницу в цене (абсолютное снижение):
$150 \text{ р.} - 120 \text{ р.} = 30 \text{ р.}$

2. Теперь вычисляем, какой процент составляет эта разница от первоначальной цены (150 р.). Для этого делим разницу на первоначальную цену и умножаем на 100%:

$\frac{30}{150} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Цена рубашки была снижена на 20%.

Ответ: на 20%.

б)

Аналогично решаем вторую часть задачи.

1. Находим абсолютное снижение цены товара:
$690 \text{ р.} - 621 \text{ р.} = 69 \text{ р.}$

2. Вычисляем процентное снижение относительно первоначальной цены (690 р.):

$\frac{69}{690} \cdot 100\% = \frac{1}{10} \cdot 100\% = 10\%$

Цена товара была снижена на 10%.

Ответ: на 10%.

1239. Агроном подсчитал, что имеющиеся в хозяйстве удобрения составляют 80 % того, что потребуется в текущем году. На сколько процентов надо увеличить имеющийся запас удобрений, чтобы полностью обеспечить потребности хозяйства?

Пусть $x$ — это общее количество удобрений, которое потребуется хозяйству в текущем году. Это количество мы принимаем за 100% от потребности.

Согласно условию, имеющийся в хозяйстве запас удобрений составляет 80% от требуемого количества. Выразим это в долях от $x$:

Имеющийся запас = $0.8x$.

Чтобы полностью обеспечить потребности хозяйства, необходимо иметь $100\%$ удобрений, то есть $x$. Следовательно, недостающее количество удобрений равно разнице между требуемым и имеющимся количеством:

$x - 0.8x = 0.2x$

Теперь нужно найти, на сколько процентов надо увеличить имеющийся запас ($0.8x$), чтобы покрыть недостачу ($0.2x$). Для этого мы должны найти, какой процент составляет недостающее количество от имеющегося. Примем имеющийся запас ($0.8x$) за 100% (база для сравнения).

Процент увеличения = $\frac{\text{количество, которое нужно добавить}}{\text{имеющееся количество}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

Процент увеличения = $\frac{0.2x}{0.8x} \times 100\%$

Сократим $x$ в числителе и знаменателе:

Процент увеличения = $\frac{0.2}{0.8} \times 100\% = \frac{2}{8} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Таким образом, имеющийся запас удобрений необходимо увеличить на 25%, чтобы полностью обеспечить потребности хозяйства.

Ответ: на 25%.

1240. Два мальчика собрали 420 марок, и у одного из них оказалось на $10\%$ больше марок, чем у другого. Сколько марок было у другого?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество марок у того мальчика, у которого их меньше. В задаче сказано, что у другого мальчика на 10% больше марок. Найдем, сколько это:

10% от $x$ это $0.1x$.

Следовательно, у второго мальчика было $x + 0.1x = 1.1x$ марок.

Вместе они собрали 420 марок. Мы можем составить уравнение, сложив количество марок обоих мальчиков:

$x + 1.1x = 420$

Теперь решим это уравнение:

$2.1x = 420$

Чтобы найти $x$, разделим 420 на 2.1:

$x = \frac{420}{2.1}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{4200}{21}$

$x = 200$

Таким образом, у одного мальчика было 200 марок.

Теперь найдем, сколько марок было у второго мальчика:

$1.1x = 1.1 \times 200 = 220$ марок.

Проверим, сходится ли общая сумма:

$200 + 220 = 420$ марок.

Все верно. Вопрос задачи: "Сколько марок было у другого?". Под "другим" имеется в виду мальчик, от количества марок которого велся расчет процентов, то есть тот, у которого их было меньше.

Ответ: 200 марок.

1241. На заводе 35 % всех работающих — женщины, а остальные — мужчины, которых на 504 человека больше, чем женщин. Сколько всего рабочих на заводе?

1. Определим, какой процент от всех работающих составляют мужчины. Так как все работающие — это 100%, а женщины составляют 35%, то доля мужчин равна:
$100\% - 35\% = 65\%$

2. Найдем, на сколько процентов мужчин больше, чем женщин. Для этого вычтем процент женщин из процента мужчин:
$65\% - 35\% = 30\%$

3. По условию задачи, разница в количестве мужчин и женщин составляет 504 человека. Мы выяснили, что эта разница в процентах составляет 30% от общего числа рабочих. Таким образом, 30% от всех рабочих — это 504 человека.

4. Теперь можем найти общее количество рабочих. Если 30% — это 504, то 1% — это:
$504 / 30 = 16.8$ человека

Тогда общее количество рабочих (100%) составляет:
$16.8 \cdot 100 = 1680$ человек

Можно решить и через уравнение, обозначив общее число рабочих за $x$:
$0.30 \cdot x = 504$
$x = \frac{504}{0.30}$
$x = 1680$

Ответ: 1680 рабочих.

1242. a) Разность чисел равна 20. Одно из них больше другого на 40%. Найдите меньшее число.
б) Разность чисел равна 20. Одно из них меньше другого на 40%. Найдите меньшее число.

а) Пусть меньшее число равно $x$. Поскольку другое число на 40% больше, оно составляет $100\% + 40\% = 140\%$ от меньшего числа. Выразим большее число через $x$: $x \cdot 1.4 = 1.4x$.
Разность чисел равна 20, составим и решим уравнение:
$1.4x - x = 20$
$0.4x = 20$
$x = \frac{20}{0.4}$
$x = 50$
Меньшее число равно 50.
Ответ: 50.

б) Пусть большее число равно $y$. Поскольку другое число на 40% меньше, оно составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от большего числа. Выразим меньшее число через $y$: $y \cdot (1 - 0.4) = 0.6y$.
Разность чисел равна 20, составим и решим уравнение:
$y - 0.6y = 20$
$0.4y = 20$
$y = \frac{20}{0.4}$
$y = 50$
Это мы нашли большее число. Теперь найдем меньшее число, которое составляет 60% от большего:
$50 \cdot 0.6 = 30$.
Меньшее число равно 30.
Ответ: 30.

1243. В коллекции имеется 12 жуков и пауков. У всех вместе у них 80 ног. Сколько в коллекции жуков и сколько пауков? (У жука 6 ног, у паука 8.)

Для решения этой задачи можно использовать два основных способа: алгебраический (с помощью системы уравнений) и арифметический (метод предположения).