Номер 1284, страница 249 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1284, страница 249.

Условие.

1284. a) Можно ли написать 45 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

б) Можно ли написать 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Рассмотрим все двузначные числа от 10 до 99. Общее количество таких чисел равно $99 - 10 + 1 = 90$.

Задача состоит в том, чтобы выбрать 45 различных двузначных чисел так, чтобы сумма любых двух из них не равнялась 100.

Для решения задачи разобьем все двузначные числа на группы. В каждую группу поместим числа, которые в сумме дают 100.

1. Пары чисел вида $(x, 100-x)$, где $x$ и $100-x$ являются двузначными числами. Такие пары образуются для $x$ от 10 до 49:

• {10, 90}
• {11, 89}
• ...
• {49, 51}

Количество таких пар равно $49 - 10 + 1 = 40$. Эти пары включают $40 \times 2 = 80$ различных чисел.

2. Числа, которые не вошли в эти пары.

• Число 50. Для него пара — это само число 50 ($50+50=100$). Поскольку в наборе все числа должны быть различными, то если мы выберем 50, мы не сможем выбрать второе число, дающее в сумме с ним 100.
• Числа от 91 до 99. Для каждого из этих чисел (например, 91) второе число в паре, дающее в сумме 100, является однозначным (для 91 это 9). Таких чисел 9.

Таким образом, у нас есть 10 чисел {50, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}, которые не имеют "парного" двузначного числа для образования суммы 100. Сумма любых двух чисел из этой группы больше 100 (минимальная сумма $50+91=141$).

Чтобы в выбранном наборе не было двух чисел, дающих в сумме 100, мы не можем брать оба числа из одной пары. Это значит, что из каждой из 40 пар мы можем взять не более одного числа. Из группы "одиночных" 10 чисел мы можем взять все.

Максимально возможное количество чисел в таком наборе: $40$ (по одному из каждой пары) $+ 10$ (все "одиночные" числа) $= 50$ чисел.

Поскольку нам нужно написать 45 чисел, а $45 \le 50$, это возможно.

Приведем пример такого набора из 45 чисел.

1. Возьмем все 10 "одиночных" чисел: 50, 91, 92, ..., 99.
2. Возьмем еще $45 - 10 = 35$ чисел. Для этого выберем по одному числу из 35 различных пар. Например, возьмем меньшие числа из первых 35 пар: 10, 11, ..., 44.

Полученный набор {10, 11, ..., 44, 50, 91, 92, ..., 99} содержит 45 чисел. Проверим, что никакие два из них не дают в сумме 100.

• Сумма двух чисел из {10, ..., 44} не превышает $43+44 = 87$.
• Сумма двух чисел из {50, 91, ..., 99} не меньше $50+91 = 141$.
• Сумма числа из {10, ..., 44} и числа из {50, 91, ..., 99} либо меньше 100 ($44+50=94$), либо больше 100 ($10+91=101$).

Таким образом, можно написать 45 таких чисел.

Ответ: Да, можно.

б)

Как было показано в решении пункта а), все 90 двузначных чисел можно разбить на 50 непересекающихся групп:

• 40 пар вида {x, 100-x}, где $x \in \{10, ..., 49\}$.
• 10 групп, состоящих из одного числа: {50}, {91}, {92}, ..., {99}.

Условие, что среди выбранных чисел нет двух, дающих в сумме 100, эквивалентно тому, что из каждой такой группы можно выбрать не более одного числа. Если мы выберем два числа из одной группы-пары {x, 100-x}, их сумма будет равна 100, что запрещено.

Таким образом, у нас есть 50 групп, и из каждой мы можем выбрать не более одного числа. Следовательно, максимальное количество чисел, которое можно выбрать с соблюдением условия, равно 50.

В задаче предлагается написать 55 чисел. Поскольку $55 > 50$, это невозможно.

Это можно доказать, используя принцип Дирихле. У нас есть 50 "ящиков" (наши 50 групп) и 55 "голубей" (числа, которые мы выбираем). Согласно принципу Дирихле, если "голубей" больше, чем "ящиков", то найдется хотя бы один "ящик", в котором сидит не менее двух "голубей".

Группы из одного числа не могут содержать два "голубя". Значит, два "голубя" (два выбранных числа) окажутся в одной из 40 групп-пар. Но это означает, что мы выберем оба числа из некоторой пары {x, 100-x}, а их сумма равна 100. Это противоречит условию.

Следовательно, написать 55 таких чисел нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.