Номер 1273, страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на повторения - номер 1273, страница 248.

Условие.

1273. Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество рупий у первого человека, а $y$ — количество рупий у его друга.

Исходя из первого условия, «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», составим первое уравнение. Если друг отдаст 100 рупий, то у первого человека станет $x + 100$ рупий, а у друга останется $y - 100$ рупий. Состояние первого будет в два раза больше состояния второго:
$x + 100 = 2(y - 100)$

Исходя из второго условия, «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя», составим второе уравнение. Если первый человек отдаст 10 рупий, то у него останется $x - 10$ рупий, а у друга станет $y + 10$ рупий. Состояние друга будет в шесть раз больше состояния первого:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Упростим оба уравнения:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies -6x + y = -70$

Теперь решим получившуюся систему:
$\begin{cases} x - 2y = -300 \\ -6x + y = -70 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 6x - 70$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$x - 2(6x - 70) = -300$
$x - 12x + 140 = -300$
$-11x = -300 - 140$
$-11x = -440$
$x = \frac{-440}{-11}$
$x = 40$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 40$ в выражение для $y$:
$y = 6(40) - 70$
$y = 240 - 70$
$y = 170$

Таким образом, у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.

Проверим найденные значения.
1. Если друг даст 100 рупий первому, у него станет $170 - 100 = 70$, а у первого будет $40 + 100 = 140$. $140 = 2 \cdot 70$, что соответствует первому условию.
2. Если первый даст 10 рупий другу, у него останется $40 - 10 = 30$, а у друга станет $170 + 10 = 180$. $180 = 6 \cdot 30$, что соответствует второму условию.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.