Номер 6, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Задание 6.

Вдоль двух смежных стен кухни Петровы решили выложить бордюр плиткой, имеющей форму прямоугольника со сторонами 120 мм и 240 мм. Какое наименьшее число плиток потребуется для такого бордюра?

Для решения задачи необходимо определить, какое минимальное количество прямоугольных плиток размером $120 \times 240$ мм потребуется для оформления угла, образуемого двумя смежными стенами. Длины стен не указаны, значит, решение не должно от них зависеть и касается способа укладки плитки в углу.

Бордюр, идущий вдоль двух смежных стен, в углу образует L-образную фигуру. Одна прямоугольная плитка не может покрыть такую фигуру без разрезания, так как плитка является выпуклой фигурой, а L-образная форма — нет. Следовательно, потребуется как минимум две плитки.

Проверим, достаточно ли двух плиток. Рассмотрим элегантный способ укладки, использующий соотношение сторон плитки ($240 \text{ мм} = 2 \times 120 \text{ мм}$). Можно сформировать в углу квадратный элемент бордюра. Наименьший квадрат, который можно составить из таких плиток без разрезания, будет иметь сторону, равную наименьшему общему кратному (НОК) сторон плитки.

Найдем НОК для сторон плитки:
$НОК(120, 240) = 240$ мм.

Таким образом, в углу можно выложить квадрат со стороной $240$ мм. Площадь этого квадрата составит:
$S_{квадрата} = 240 \text{ мм} \times 240 \text{ мм} = 57600 \text{ мм}^2$.

Площадь одной плитки равна:
$S_{плитки} = 120 \text{ мм} \times 240 \text{ мм} = 28800 \text{ мм}^2$.

Чтобы найти количество плиток, необходимое для формирования углового квадрата, разделим площадь квадрата на площадь одной плитки:
$N = \frac{S_{квадрата}}{S_{плитки}} = \frac{57600}{28800} = 2$.

Это означает, что две плитки можно уложить рядом друг с другом по их длинной стороне ($240$ мм), чтобы образовать идеальный квадрат $240 \times 240$ мм. Этот квадрат будет служить угловым элементом бордюра, от которого можно продолжить укладку вдоль обеих стен.

Поскольку одной плитки недостаточно, а двух достаточно для создания углового элемента, наименьшее необходимое количество плиток равно 2.

Ответ: 2.