Номер 4, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Задание 4.

В магазине есть два варианта квадратной керамической плитки: со стороной квадрата 240 мм и стороной 294 мм.

А) Какое наименьшее число плиток со стороной 294 мм потребуется, если не использовать обрезки плиток?

Б) Какой из двух вариантов является более выгодным при укладке кафельных плиток для квадратной кухни Петровых, если класть плитку параллельно стенам помещения?

Обоснуйте свои ответы.

А) Какое наименьшее число плиток со стороной 294 мм потребуется, если не использовать обрезки плиток?

Чтобы ответить на этот вопрос и создать основу для сравнения в пункте Б), необходимо найти наименьший размер квадратной площади (кухни), которую можно полностью замостить плиткой обоих размеров без обрезков. Сторона такой квадратной площади должна быть одновременно кратна и 240 мм, и 294 мм. Следовательно, наименьшая возможная длина стороны такой кухни равна Наименьшему Общему кратному (НОК) чисел 240 и 294.

Сначала разложим оба числа на простые множители:

$240 = 24 \cdot 10 = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$

$294 = 2 \cdot 147 = 2 \cdot 3 \cdot 49 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2$

Теперь найдем НОК, взяв каждый простой множитель в наибольшей встречающейся степени:

$НОК(240, 294) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2 = 16 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 49 = 11760$ мм.

Таким образом, наименьшая сторона квадратной кухни, которую можно выложить целым числом плиток обоих видов, составляет 11760 мм.

Теперь рассчитаем, сколько плиток со стороной 294 мм потребуется для укладки на пол такой кухни. Найдем, сколько плиток умещается вдоль одной стены:

$11760 \text{ мм} \div 294 \text{ мм} = 40$ плиток.

Поскольку кухня квадратная, общее число плиток будет равно произведению количества плиток по длине и ширине:

$40 \times 40 = 1600$ плиток.

Ответ: 1600 плиток.

Б) Какой из двух вариантов является более выгодным при укладке кафельных плиток для квадратной кухни Петровых, если класть плитку параллельно стенам помещения?

Чтобы определить, какой из двух вариантов более выгодный, сравним общее количество плиток, необходимое для укладки на пол кухни с рассчитанной в пункте А) стороной 11760 мм. При таком размере для обоих вариантов не потребуется обрезков, что делает сравнение объективным. Под "более выгодным" вариантом будем понимать тот, для которого требуется меньшее количество плиток, что обычно ведет к меньшим затратам на материалы и работу.

Из пункта А) мы знаем, что для плитки со стороной 294 мм потребуется:

$N_{294} = 1600$ плиток.

Теперь рассчитаем необходимое количество плиток со стороной 240 мм. Сначала найдем, сколько плиток помещается вдоль одной стены:

$11760 \text{ мм} \div 240 \text{ мм} = 49$ плиток.

Общее количество плиток для этого варианта:

$N_{240} = 49 \times 49 = 2401$ плитка.

Сравним количество плиток для двух вариантов: для плитки 294 мм нужно 1600 штук, а для плитки 240 мм — 2401 штука.

$1600 < 2401$

Обоснование: Вариант с плиткой размером 294 мм является более выгодным, так как для покрытия той же площади требуется на $2401 - 1600 = 801$ плитку меньше. Это, как правило, означает меньшую общую стоимость материала и меньшие трудозатраты на укладку.

Ответ: Более выгодным является вариант с плиткой со стороной 294 мм, так как для укладки потребуется 1600 плиток, в то время как плиток со стороной 240 мм понадобится 2401.