Страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Выбранной Петровыми по Интернету плитки в магазине не оказалось. На замену им было предложено два других варианта. Чтобы заново выполнить расчёты, Серафима составила формулу для вычисления количества упаковок плитки.

Запишите формулу, используйте следующие обозначения:

N — количество упаковок плитки;

S — площадь помещения;

U — площадь, покрываемая одной упаковкой плитки.

Чтобы рассчитать необходимое количество упаковок плитки $N$, нужно общую площадь помещения $S$, которую требуется покрыть, разделить на площадь, которую можно покрыть одной упаковкой плитки $U$.

Это действие позволяет определить, сколько раз площадь одной упаковки "умещается" в общей площади помещения. Так как плитку можно приобрести только целыми упаковками, результат деления необходимо всегда округлять в большую сторону до ближайшего целого числа. Например, если расчет показывает, что нужно 15.2 упаковки, то приобрести придется 16, поскольку 15 упаковок будет недостаточно для покрытия всей площади.

В математике операция округления числа вверх до ближайшего целого называется функцией «потолок». Таким образом, мы можем записать точную формулу для расчета.

Ответ: $N = \lceil \frac{S}{U} \rceil$

Задание 4.

В магазине есть два варианта квадратной керамической плитки: со стороной квадрата 240 мм и стороной 294 мм.

А) Какое наименьшее число плиток со стороной 294 мм потребуется, если не использовать обрезки плиток?

Б) Какой из двух вариантов является более выгодным при укладке кафельных плиток для квадратной кухни Петровых, если класть плитку параллельно стенам помещения?

Обоснуйте свои ответы.

А) Какое наименьшее число плиток со стороной 294 мм потребуется, если не использовать обрезки плиток?

Чтобы ответить на этот вопрос и создать основу для сравнения в пункте Б), необходимо найти наименьший размер квадратной площади (кухни), которую можно полностью замостить плиткой обоих размеров без обрезков. Сторона такой квадратной площади должна быть одновременно кратна и 240 мм, и 294 мм. Следовательно, наименьшая возможная длина стороны такой кухни равна Наименьшему Общему кратному (НОК) чисел 240 и 294.

Сначала разложим оба числа на простые множители:

$240 = 24 \cdot 10 = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$

$294 = 2 \cdot 147 = 2 \cdot 3 \cdot 49 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2$

Теперь найдем НОК, взяв каждый простой множитель в наибольшей встречающейся степени:

$НОК(240, 294) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2 = 16 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 49 = 11760$ мм.

Таким образом, наименьшая сторона квадратной кухни, которую можно выложить целым числом плиток обоих видов, составляет 11760 мм.

Теперь рассчитаем, сколько плиток со стороной 294 мм потребуется для укладки на пол такой кухни. Найдем, сколько плиток умещается вдоль одной стены:

$11760 \text{ мм} \div 294 \text{ мм} = 40$ плиток.

Поскольку кухня квадратная, общее число плиток будет равно произведению количества плиток по длине и ширине:

$40 \times 40 = 1600$ плиток.

Ответ: 1600 плиток.

Б) Какой из двух вариантов является более выгодным при укладке кафельных плиток для квадратной кухни Петровых, если класть плитку параллельно стенам помещения?

Чтобы определить, какой из двух вариантов более выгодный, сравним общее количество плиток, необходимое для укладки на пол кухни с рассчитанной в пункте А) стороной 11760 мм. При таком размере для обоих вариантов не потребуется обрезков, что делает сравнение объективным. Под "более выгодным" вариантом будем понимать тот, для которого требуется меньшее количество плиток, что обычно ведет к меньшим затратам на материалы и работу.

Из пункта А) мы знаем, что для плитки со стороной 294 мм потребуется:

$N_{294} = 1600$ плиток.

Теперь рассчитаем необходимое количество плиток со стороной 240 мм. Сначала найдем, сколько плиток помещается вдоль одной стены:

$11760 \text{ мм} \div 240 \text{ мм} = 49$ плиток.

Общее количество плиток для этого варианта:

$N_{240} = 49 \times 49 = 2401$ плитка.

Сравним количество плиток для двух вариантов: для плитки 294 мм нужно 1600 штук, а для плитки 240 мм — 2401 штука.

$1600 < 2401$

Обоснование: Вариант с плиткой размером 294 мм является более выгодным, так как для покрытия той же площади требуется на $2401 - 1600 = 801$ плитку меньше. Это, как правило, означает меньшую общую стоимость материала и меньшие трудозатраты на укладку.

Ответ: Более выгодным является вариант с плиткой со стороной 294 мм, так как для укладки потребуется 1600 плиток, в то время как плиток со стороной 240 мм понадобится 2401.

Задание 5.

На упаковке с квадратной плиткой со стороной 294 мм указана площадь, которую покрывает плитка одной упаковки, — $1 \text{ м}^2$, но не указано количество плиток в упаковке. Вычислите это количество, учитывая ширину шва между плитками. Ширина шва зависит от размера плитки.

Размер плитки (мм) Ширина шва (мм)

100 x 100 3

150 x 150 3

200 x 200 5

300 x 300 8

400 x 400 10

Для того чтобы вычислить количество плиток в упаковке, необходимо определить площадь, которую занимает одна плитка с учётом межплиточного шва, а затем разделить на эту площадь общую площадь покрытия, указанную на упаковке.

1. Определение ширины шва.
Размер стороны квадратной плитки равен 294 мм. В таблице зависимости ширины шва от размера плитки нет точного значения для 294 мм. Однако этот размер наиболее близок к 300 мм. Поэтому для расчётов будем использовать ширину шва, соответствующую плитке размером 300×300 мм, то есть 8 мм.

2. Расчёт эффективной площади одной плитки.
При укладке общая площадь, занимаемая одной плиткой, складывается из её собственной площади и площади шва. Чтобы учесть шов, его ширину добавляют к стороне плитки. Таким образом, эффективная длина стороны одной плитки в кладке составит:
$L_{эфф} = 294 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 302 \text{ мм}$
Эффективная площадь, которую занимает одна плитка с учётом шва, вычисляется как квадрат её эффективной стороны:
$S_{плитки} = L_{эфф}^2 = (302 \text{ мм})^2 = 91204 \text{ мм}^2$

3. Расчёт количества плиток.
Общая площадь покрытия, указанная на упаковке, составляет 1 м². Для проведения расчётов необходимо привести все величины к единой системе измерения. Переведём квадратные метры в квадратные миллиметры, зная, что 1 м = 1000 мм:
$S_{общая} = 1 \text{ м}^2 = (1000 \text{ мм})^2 = 1\;000\;000 \text{ мм}^2$
Теперь разделим общую площадь на эффективную площадь одной плитки, чтобы найти их необходимое количество:
$N = \frac{S_{общая}}{S_{плитки}} = \frac{1\;000\;000}{91204} \approx 10.964$

4. Определение итогового количества в упаковке.
Поскольку количество плиток в упаковке должно быть целым числом, а расчётное значение показало, что для покрытия 1 м² требуется 10.964 плитки, необходимо округлить это число в большую сторону. Это гарантирует, что плитки из упаковки хватит для покрытия заявленной площади. Таким образом, в упаковке должно быть 11 плиток.

Ответ: 11.

Задание 6.

Вдоль двух смежных стен кухни Петровы решили выложить бордюр плиткой, имеющей форму прямоугольника со сторонами 120 мм и 240 мм. Какое наименьшее число плиток потребуется для такого бордюра?

Для решения задачи необходимо определить, какое минимальное количество прямоугольных плиток размером $120 \times 240$ мм потребуется для оформления угла, образуемого двумя смежными стенами. Длины стен не указаны, значит, решение не должно от них зависеть и касается способа укладки плитки в углу.

Бордюр, идущий вдоль двух смежных стен, в углу образует L-образную фигуру. Одна прямоугольная плитка не может покрыть такую фигуру без разрезания, так как плитка является выпуклой фигурой, а L-образная форма — нет. Следовательно, потребуется как минимум две плитки.

Проверим, достаточно ли двух плиток. Рассмотрим элегантный способ укладки, использующий соотношение сторон плитки ($240 \text{ мм} = 2 \times 120 \text{ мм}$). Можно сформировать в углу квадратный элемент бордюра. Наименьший квадрат, который можно составить из таких плиток без разрезания, будет иметь сторону, равную наименьшему общему кратному (НОК) сторон плитки.

Найдем НОК для сторон плитки:
$НОК(120, 240) = 240$ мм.

Таким образом, в углу можно выложить квадрат со стороной $240$ мм. Площадь этого квадрата составит:
$S_{квадрата} = 240 \text{ мм} \times 240 \text{ мм} = 57600 \text{ мм}^2$.

Площадь одной плитки равна:
$S_{плитки} = 120 \text{ мм} \times 240 \text{ мм} = 28800 \text{ мм}^2$.

Чтобы найти количество плиток, необходимое для формирования углового квадрата, разделим площадь квадрата на площадь одной плитки:
$N = \frac{S_{квадрата}}{S_{плитки}} = \frac{57600}{28800} = 2$.

Это означает, что две плитки можно уложить рядом друг с другом по их длинной стороне ($240$ мм), чтобы образовать идеальный квадрат $240 \times 240$ мм. Этот квадрат будет служить угловым элементом бордюра, от которого можно продолжить укладку вдоль обеих стен.

Поскольку одной плитки недостаточно, а двух достаточно для создания углового элемента, наименьшее необходимое количество плиток равно 2.

Ответ: 2.