Страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Расстояние между городами 800 км. Поезд идёт из одного города в другой со средней скоростью 70 км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния s (в км), которое поезду осталось пройти, от времени движения t (в ч).

$s = 800 - 70t$

Для того чтобы задать формулой зависимость оставшегося расстояния $s$ (в км) от времени движения $t$ (в ч), нам нужно выразить $s$ через $t$, используя данные из условия задачи.

Дано:
Общее расстояние между городами: 800 км.
Средняя скорость поезда $v$: 70 км/ч.

1. Сначала определим расстояние, которое поезд проедет за время $t$. Расстояние равно произведению скорости на время. Назовем этот путь $S_{пройденный}$.
$S_{пройденный} = v \cdot t$
Подставив значение скорости, получаем:
$S_{пройденный} = 70t$ (км).

2. Теперь найдем расстояние $s$, которое поезду осталось пройти. Это разность между общим расстоянием и уже пройденным путем.
$s = \text{Общее расстояние} - S_{пройденный}$

3. Подставим известные значения в формулу:
$s = 800 - 70t$

Эта формула и является искомой зависимостью расстояния $s$, которое осталось пройти поезду, от времени его движения $t$.

Ответ: $s = 800 - 70t$.

2 Автобус отправился из города в посёлок и вернулся обратно, сделав в посёлке остановку на один час. Какой из графиков описывает зависимость пройденного автобусом расстояния от времени движения?

На всех графиках:

Ось Y: $s, \text{км}$

Ось X: $t, \text{ч}$

График 1

График 2

График 3

График 4

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как меняется пройденное расстояние со временем в соответствии с условиями. Пройденное расстояние ($s$) — это общая длина пути, которую преодолел автобус. Эта величина никогда не может уменьшаться; она либо увеличивается (когда автобус движется), либо остается постоянной (когда автобус стоит).

Рассмотрим каждый из предложенных графиков:

График ①
На этом графике расстояние сначала растет, а затем убывает до нуля. Убывание пройденного расстояния невозможно. Такой график мог бы описывать расстояние от точки старта, а не общее пройденное расстояние. К тому же, на графике нет отрезка, который бы соответствовал часовой остановке (горизонтальная линия).
Ответ: Неверно.

График ②
На этом графике пройденное расстояние постоянно увеличивается, что означает непрерывное движение. Согласно условию, автобус делал остановку на один час. Во время остановки время ($t$) должно увеличиваться, а пройденное расстояние ($s$) оставаться неизменным. Это бы выглядело как горизонтальный участок на графике, которого здесь нет.
Ответ: Неверно.

График ③
Этот график показывает три этапа. Сначала расстояние растет. Затем, на интервале времени от $t=2$ ч до $t=3$ ч, расстояние остается постоянным ($s=70$ км). Это соответствует остановке продолжительностью $3-2=1$ час. Однако после остановки график показывает, что пройденное расстояние уменьшается, что является неверным.
Ответ: Неверно.

График ④
Этот график точно описывает движение автобуса:
1. Поездка в посёлок: На интервале от $t=0$ до $t=2$ ч пройденное расстояние $s$ равномерно увеличивается с 0 до 70 км.
2. Остановка: На интервале от $t=2$ ч до $t=3$ ч время идет, но автобус стоит на месте. Пройденное расстояние $s$ не меняется и остается равным 70 км. Это горизонтальный участок длиной в 1 час.
3. Возвращение обратно: Начиная с $t=3$ ч, автобус снова движется, и общее пройденное расстояние продолжает увеличиваться. Когда автобус вернется в город, он проедет еще 70 км. Общее пройденное расстояние станет $70 + 70 = 140$ км. График показывает именно такое поведение.
Таким образом, этот график полностью соответствует всем условиям задачи.
Ответ: Верно, правильный график — №4.

3 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 3 - 2x^3$. Найдите $f(-2)$.

Для того чтобы найти значение функции $f(-2)$, нужно подставить значение $x = -2$ в выражение для функции $f(x) = 3 - 2x^3$.

Выполним подстановку:

$f(-2) = 3 - 2 \cdot (-2)^3$

Сначала вычислим степень:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$f(-2) = 3 - 2 \cdot (-8)$

Далее выполним умножение:

$2 \cdot (-8) = -16$

Теперь наше выражение имеет вид:

$f(-2) = 3 - (-16)$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению:

$f(-2) = 3 + 16 = 19$

Ответ: $19$

4 Функция задана графиком на отрезке $[-6; 6]$. Выпишите номера верных утверждений:

1) $f(0) = -4$

2) наибольшее значение функции равно 4

3) -4 и 4 — нули функции

4) функция принимает положительные значения при $-4 < x \leq 6$

Для определения верных утверждений проанализируем каждое из них, основываясь на предоставленном графике функции $y=f(x)$, заданной на отрезке $[-6; 6]$. Примем, что одна клетка на координатной плоскости соответствует одной единице по каждой из осей.

1) $f(0) = -4$

Чтобы найти значение функции при $x=0$, необходимо найти ординату точки графика с абсциссой $x=0$. Это точка пересечения графика с осью $Oy$. Из графика видно, что эта точка имеет координаты $(0; 3)$. Таким образом, $f(0) = 3$. Утверждение, что $f(0)=-4$, является неверным.

2) наибольшее значение функции равно 4

Наибольшее значение функции на отрезке — это ордината самой высокой точки графика на этом отрезке. По графику видно, что самая высокая точка (вершина) имеет координаты $(1; 4)$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-6; 6]$ действительно равно 4. Утверждение является верным.

3) -4 и 4 — нули функции

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x)=0$. Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. График пересекает ось $Ox$ в двух точках: $x=-4$ и $x=4$. Таким образом, числа -4 и 4 являются нулями данной функции. Утверждение является верным.

4) функция принимает положительные значения при $-4 < x \le 6$

Функция принимает положительные значения ($f(x)>0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси $Ox$. Из графика следует, что это происходит на интервале $(-4; 4)$. В утверждении указан промежуток $-4 < x \le 6$. Однако на промежутке $(4; 6]$ график находится ниже оси $Ox$ или на самой оси (например, $f(4)=0$ и $f(5)<0$), где функция принимает нулевые и отрицательные значения. Следовательно, данное утверждение является неверным.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

5. Какая функция не является линейной?

1) $y = \frac{x}{3}$

2) $y = 1 - 5x$

3) $y = \frac{4}{x}$

4) $y = -0,2x$

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Графиком линейной функции является прямая линия. Чтобы определить, какая из предложенных функций не является линейной, проанализируем каждую из них.

1) $y = \frac{x}{3}$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{1}{3}x$. Это соответствует общей формуле линейной функции $y = kx + b$, где коэффициент $k = \frac{1}{3}$ и свободный член $b = 0$. Следовательно, эта функция является линейной.

2) $y = 1 - 5x$

Данное уравнение можно переписать, поменяв слагаемые местами: $y = -5x + 1$. Эта запись также соответствует стандартному виду линейной функции $y = kx + b$, где коэффициент $k = -5$ и свободный член $b = 1$. Следовательно, эта функция является линейной.

3) $y = \frac{4}{x}$

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе. Такую функцию невозможно привести к виду $y = kx + b$. Это функция обратной пропорциональности, которую можно записать как $y = 4x^{-1}$. Показатель степени при $x$ равен -1, а не 1. Графиком этой функции является гипербола, а не прямая. Следовательно, эта функция не является линейной.

4) $y = -0,2x$

Это уравнение уже представлено в виде, который соответствует стандартной формуле линейной функции $y = kx + b$. В данном случае коэффициент $k = -0,2$ и свободный член $b = 0$. Следовательно, эта функция является линейной.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы пришли к выводу, что единственная функция, которая не является линейной, — это $y = \frac{4}{x}$.

Ответ: 3

6 Какие из данных линейных функций являются возрастающими функциями? Выпишите соответствующие номера.

1) $y = -4x + 2$

2) $y = 4x$

3) $y = 2x - 7$

4) $y = -7x$

Для определения того, является ли линейная функция возрастающей, необходимо проанализировать ее угловой коэффициент. Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ является угловым коэффициентом.

Функция считается возрастающей, если ее угловой коэффициент $k$ больше нуля ($k > 0$). Если же $k$ меньше нуля ($k < 0$), функция является убывающей.

Рассмотрим каждую из предложенных функций:

1) $y = -4x + 2$

В этой функции угловой коэффициент $k = -4$. Поскольку $-4 < 0$, данная функция является убывающей.

2) $y = 4x$

В этой функции угловой коэффициент $k = 4$. Поскольку $4 > 0$, данная функция является возрастающей.

3) $y = 2x - 7$

В этой функции угловой коэффициент $k = 2$. Поскольку $2 > 0$, данная функция является возрастающей.

4) $y = -7x$

В этой функции угловой коэффициент $k = -7$. Поскольку $-7 < 0$, данная функция является убывающей.

Таким образом, возрастающими функциями являются те, что указаны под номерами 2 и 3.

Ответ: 2, 3.