Страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.23 График какой из функций изображён на рисунке 9.14:

$f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3);$

$g(x) = 2(x + 2)(1 - x)\left(x - \frac{7}{2}\right);$

$h(x) = 2(x + 2)(x - 1)\left(x - \frac{7}{2}\right);$

$p(x) = (x + 2)(x - 1)\left(x - \frac{7}{2}\right)?$

Рис. 9.14

Для того чтобы определить, график какой функции изображён на рисунке, проанализируем его ключевые свойства и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций.

Свойства, определённые по графику:

• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): График пересекает ось Ox в точках $x = -2$, $x = 1$ и $x = 3.5$. Так как $3.5 = \frac{7}{2}$, нули функции: -2, 1 и $\frac{7}{2}$. Следовательно, функция должна содержать множители $(x+2)$, $(x-1)$ и $(x - \frac{7}{2})$.
• Точка пересечения с осью Oy: При $x=0$ значение функции $y$ положительно. По графику видно, что $y(0)$ находится между 10 и 20.
• Поведение на бесконечности: Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ стремится к $-\infty$. Это указывает на то, что функция является многочленом нечетной степени с положительным старшим коэффициентом.

Теперь последовательно проверим каждую из предложенных функций.

f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3)

Нули данной функции находятся в точках $x=-2$, $x=1$ и $x=3$. Третий корень ($x=3$) не совпадает с корнем на графике ($x=3.5$), следовательно, эта функция не подходит.

Ответ: Неверно.

g(x) = 2(x + 2)(1 - x)(x - 7/2)

Нули функции: $x=-2$, $x=1$ и $x=\frac{7}{2}$. Нули совпадают с графиком. Однако, если раскрыть скобку $(1-x)$ как $-(x-1)$, получим $g(x) = -2(x+2)(x-1)(x-\frac{7}{2})$. Старший коэффициент здесь равен -2, то есть он отрицателен. Это противоречит поведению графика на бесконечности (при $x \to +\infty$ функция должна убывать, а не возрастать).

Ответ: Неверно.

h(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 7/2)

Нули функции: $x=-2$, $x=1$ и $x=\frac{7}{2}$. Все нули совпадают с графиком. Старший коэффициент равен 2, он положительный, что соответствует поведению графика. Найдем значение функции при $x=0$ для проверки точки пересечения с осью Oy:$h(0) = 2(0 + 2)(0 - 1)(0 - \frac{7}{2}) = 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{2}) = 14$.Точка пересечения $(0, 14)$ полностью соответствует изображению на графике.

Ответ: Верно.

p(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 7/2)

Нули функции и знак старшего коэффициента (равен 1, положительный) соответствуют графику. Проверим точку пересечения с осью Oy:$p(0) = (0 + 2)(0 - 1)(0 - \frac{7}{2}) = 2 \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{2}) = 7$.Значение $y=7$ не соответствует графику, где точка пересечения с осью Oy находится значительно выше (на уровне 14).

Ответ: Неверно.