Страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

По графику температуры (см. рис. 9.1, с. 243) определите:

а) наибольшее и наименьшее значения температуры в течение суток;

б) промежутки времени, когда температура была выше $0\;^{\circ}\text{C}$; ниже $0\;^{\circ}\text{C}$;

в) промежутки времени, когда температура повышалась; понижалась.

Поскольку график (рис. 9.1), к которому относится задача, не предоставлен, решение будет показано на основе гипотетического, но реалистичного примера графика суточного изменения температуры. Этот пример поможет понять методику работы с подобными графиками.

Предположим, что на нашем графике по горизонтальной оси отложено время $t$ в часах (от 0 до 24), а по вертикальной — температура $T$ в градусах Цельсия (°C). Пусть наш график имеет следующие ключевые характеристики:

• Минимальная температура составляет $-4$°C и достигается в 4:00.

• Максимальная температура составляет $6$°C и достигается в 14:00.

• Температура проходит через отметку $0$°C в 8:00 (при повышении) и в 22:00 (при понижении).

а) наибольшее и наименьшее значения температуры в течение суток;

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения температуры, необходимо найти на графике самую высокую и самую низкую точки за весь 24-часовой период и определить их значения по вертикальной оси (оси температур).

• Наибольшее значение температуры ($T_{max}$) соответствует ординате (значению по оси $T$) самой высокой точки графика. В нашем примере это $6$°C.

• Наименьшее значение температуры ($T_{min}$) соответствует ординате самой низкой точки графика. В нашем примере это $-4$°C.

Ответ: наибольшее значение температуры $6$°C, наименьшее значение температуры $-4$°C.

б) промежутки времени, когда температура была выше 0 °С; ниже 0 °С;

Для ответа на этот вопрос нужно определить, в какие временные интервалы график расположен выше, а в какие — ниже горизонтальной оси, соответствующей $T=0$°C.

• Температура выше $0$°C ($T>0$°C), когда линия графика находится над осью времени. Согласно нашему примеру, температура стала положительной в 8:00 и оставалась такой до 22:00. Таким образом, промежуток времени, когда температура была выше нуля: $t \in (8; 22)$.

• Температура ниже $0$°C ($T<0$°C), когда линия графика находится под осью времени. В нашем примере это происходит в два периода: с начала суток до 8:00 и с 22:00 до конца суток. Объединение этих промежутков: $t \in [0; 8) \cup (22; 24]$.

Ответ: температура была выше $0$°C в промежутке времени с 8:00 до 22:00; температура была ниже $0$°C в промежутках с 0:00 до 8:00 и с 22:00 до 24:00.

в) промежутки времени, когда температура повышалась; понижалась.

Эти промежутки определяются по направлению графика: если он идет вверх (при движении по времени слева направо), температура повышается; если он идет вниз — понижается.

• Температура повышалась на том участке, где график "поднимается". Это происходит от точки минимума до точки максимума. В нашем примере температура растет с 4:00 (когда было $-4$°C) до 14:00 (когда стало $6$°C). Промежуток повышения: $t \in (4; 14)$.

• Температура понижалась на тех участках, где график "опускается". В нашем примере это происходит с начала суток до точки минимума (с 0:00 до 4:00) и от точки максимума до конца суток (с 14:00 до 24:00). Промежутки понижения: $t \in [0; 4) \cup (14; 24]$.

Ответ: температура повышалась в промежутке времени с 4:00 до 14:00; температура понижалась в промежутках с 0:00 до 4:00 и с 14:00 до 24:00.

По графику функции $y = f(x)$ (фрагмент 2, см. рис. 9.9) определите:

а) значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение;

б) промежутки, на которых значения функции положительны;

в) промежутки, на которых функция убывает;

г) нули функции.

Для решения этой задачи необходим график функции $y=f(x)$ (фрагмент 2, рис. 9.9), который не был предоставлен. Поэтому, будет приведено общее описание того, как решать подобные задачи, а затем будет разобран конкретный пример на основе гипотетического графика, который мог бы быть представлен в условии.

Общий подход к решению:

• а) Наибольшее значение: Найдите самую высокую точку на всем видимом фрагменте графика. Значение $x$, соответствующее этой точке, является искомым.
• б) Положительные значения: Определите участки графика, которые лежат выше оси $x$. Запишите соответствующие этим участкам промежутки по оси $x$.
• в) Убывание функции: Найдите участки графика, на которых линия идет вниз при движении слева направо. Запишите соответствующие этим участкам промежутки по оси $x$.
• г) Нули функции: Найдите точки, в которых график пересекает ось $x$. Координаты $x$ этих точек и являются нулями функции.

Решение на основе гипотетического примера:

Предположим, что на рисунке 9.9 изображен график функции (парабола с ветвями вниз), определенный на отрезке $x \in [-3, 5]$. Вершина параболы находится в точке с координатами $(1, 4)$. График пересекает ось абсцисс (ось $x$) в точках $x=-1$ и $x=3$.

а) значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение;

Наибольшее значение функции на графике соответствует самой высокой его точке. В нашем примере это вершина параболы. Координаты вершины — $(1, 4)$. Это означает, что наибольшее значение функции $y_{max}=4$ достигается при $x=1$.

Ответ: $x=1$.

б) промежутки, на которых значения функции положительны;

Значения функции положительны ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Согласно нашему примеру, график пересекает ось $x$ в точках -1 и 3. Между этими точками ветви параболы находятся над осью. Таким образом, функция принимает положительные значения на интервале от -1 до 3.

Ответ: $(-1; 3)$.

в) промежутки, на которых функция убывает;

Функция убывает там, где ее график идет вниз при движении слева направо. Для параболы с ветвями вниз функция возрастает до своей вершины, а после нее — убывает. Вершина находится в точке $x=1$. Следовательно, функция убывает на промежутке от $x=1$ до конца области определения, то есть до $x=5$.

Ответ: $[1; 5]$.

г) нули функции.

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс. В нашем примере график пересекает ось $x$ в точках $x=-1$ и $x=3$.

Ответ: -1; 3.

9.17 На рисунке 9.11 изображён график функции $y = f(x)$, областью определения которой является отрезок $[-2; 2]$. Используя график, ответьте на вопросы:

1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

2) Укажите нули функции.

3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

Рис. 9.11

Проанализируем график функции $y = f(x)$, определенной на отрезке $[-2; 2]$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[-2; 2]$ необходимо найти значение функции в точке максимума и на концах отрезка.

Из графика видно, что наивысшая точка графика (вершина параболы) имеет координаты $(-0.5; 4)$. Это и есть наибольшее значение функции на всей области определения.

$y_{наиб} = 4$ при $x = -0.5$.

Чтобы найти наименьшее значение, сравним значения функции на концах отрезка:

• При $x = -2$, значение функции $y = f(-2) = 2$.
• При $x = 2$, значение функции $y = f(2) = -3$.

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение функции на данном отрезке равно -3.

$y_{наим} = -3$ при $x = 2$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при $x = -0.5$. Наименьшее значение функции равно -3 и достигается при $x = 2$.

2) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$).

На графике видно, что кривая пересекает ось $Ox$ в точке $x = 1.5$. Другая точка пересечения параболы с осью $Ox$ находится левее $x = -2$, то есть вне области определения $[-2; 2]$.

Ответ: Нуль функции: $x = 1.5$.

3) Промежутки знакопостоянства функции определяются по расположению графика относительно оси $Ox$.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на промежутке от $x = -2$ до точки пересечения с осью $Ox$.
Промежуток, на котором функция принимает положительные значения: $[-2; 1.5)$.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке от точки пересечения с осью $Ox$ до $x = 2$.
Промежуток, на котором функция принимает отрицательные значения: $(1.5; 2]$.

Ответ: Функция принимает положительные значения на промежутке $[-2; 1.5)$ и отрицательные значения на промежутке $(1.5; 2]$.

4) Промежутки возрастания и убывания функции определяются по направлению графика при движении слева направо.

Функция возрастает, если её график "идёт вверх". Это происходит на участке от левой границы области определения $x = -2$ до вершины параболы в точке $x = -0.5$.
Промежуток возрастания: $[-2; -0.5]$.

Функция убывает, если её график "идёт вниз". Это происходит на участке от вершины параболы в точке $x = -0.5$ до правой границы области определения $x = 2$.
Промежуток убывания: $[-0.5; 2]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-2; -0.5]$ и убывает на промежутке $[-0.5; 2]$.

9.18 На рисунке 9.12 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?

а) $y$

б) $y$

$x$

$x$

Рис. 9.12

a) На основе графика функции можно определить следующие её свойства:

• Область определения: так как функция определена на множестве всех чисел, её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: график функции ограничен по вертикали. Наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее — 3. Таким образом, область значений $E(f) = [-1; 3]$.
• Четность/нечетность: график симметричен относительно оси ординат (оси $y$), что означает, что функция является четной. Для неё выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Периодичность: график представляет собой повторяющийся узор. Расстояние между двумя последовательными минимумами (в точках $x=-2$ и $x=2$) равно 4. Расстояние между двумя последовательными максимумами (например, в точках $x=0$ и $x=4$, если продолжить график) также равно 4. Следовательно, функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T=4$.
• Нули функции: это точки, в которых график пересекает ось абсцисс ($y=0$). Из графика видно, что нули находятся в точках $x = \dots, -3, -1, 1, 3, \dots$. Эту последовательность можно описать формулой $x = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y > 0$) на интервалах, где график находится выше оси $x$. Это интервалы вида $(4k-1; 4k+1)$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $(-1; 1)$).
  • Функция отрицательна ($y < 0$) на интервалах, где график находится ниже оси $x$. Это интервалы вида $(4k+1; 4k+3)$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $(1; 3)$).
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках, где график идет вверх. Это отрезки вида $[4k-2; 4k]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $[-2; 0]$).
  • Функция убывает на отрезках, где график идет вниз. Это отрезки вида $[4k; 4k+2]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $[0; 2]$).
• Экстремумы:
  • Точки максимума (вершины) имеют координаты $(4k; 3)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$.
  • Точки минимума (впадины) имеют координаты $(4k+2; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = -1$.

Ответ: Функция четная, периодическая с периодом $T=4$. Область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(f)=[-1; 3]$. Нули функции в точках $x=2k+1$. Максимумы $y=3$ в точках $x=4k$, минимумы $y=-1$ в точках $x=4k+2$ (где $k$ — любое целое число).

б) На основе графика функции можно определить следующие её свойства:

• Область определения: по условию, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: график уходит неограниченно вверх и вниз, поэтому область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность/нечетность: график не обладает симметрией ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат. Например, $f(1) = 2$, а $f(-1) \approx -2.5$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: функция непериодическая, так как высота максимумов и глубина минимумов изменяются, и узор графика не повторяется.
• Нули функции: график пересекает ось $x$ в точке $x=0$. Остальные нули можно определить лишь приблизительно: $x \approx -2.2$, $x \approx 1.8$, $x \approx 3.5$.
• Промежутки знакопостоянства (приблизительные):
  • $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2.2) \cup (0; 1.8) \cup (3.5; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-2.2; 0) \cup (1.8; 3.5)$.
• Промежутки монотонности (приблизительные):
  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3.2]$, $[-1.3; 1]$ и $[2.8; +\infty)$.
  • Функция убывает на промежутках $[-3.2; -1.3]$ и $[1; 2.8]$.
• Экстремумы (приблизительные):
  • Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов).
  • Точки локального максимума: $x \approx 1$ (значение $y_{max} = 2$) и $x \approx -3.2$ (значение $y_{max} \approx -1.5$).
  • Точки локального минимума: $x \approx -1.3$ (значение $y_{min} \approx -2.5$) и $x \approx 2.8$ (значение $y_{min} \approx 0.5$).

Ответ: Функция общего вида (ни четная, ни нечетная), непериодическая. Область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(f)=(-\infty; +\infty)$. Нули функции: $x=0$, а также приблизительно $x \approx -2.2$, $x \approx 1.8$, $x \approx 3.5$. Глобальных экстремумов нет, есть локальные.