Номер 9.18, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 9. Функции. 9.3. Свойства функций. Упражнения - номер 9.18, страница 253.

Условие.

9.18 На рисунке 9.12 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?

а) $y$

б) $y$

$x$

$x$

Рис. 9.12

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

a) На основе графика функции можно определить следующие её свойства:

• Область определения: так как функция определена на множестве всех чисел, её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: график функции ограничен по вертикали. Наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее — 3. Таким образом, область значений $E(f) = [-1; 3]$.
• Четность/нечетность: график симметричен относительно оси ординат (оси $y$), что означает, что функция является четной. Для неё выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Периодичность: график представляет собой повторяющийся узор. Расстояние между двумя последовательными минимумами (в точках $x=-2$ и $x=2$) равно 4. Расстояние между двумя последовательными максимумами (например, в точках $x=0$ и $x=4$, если продолжить график) также равно 4. Следовательно, функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T=4$.
• Нули функции: это точки, в которых график пересекает ось абсцисс ($y=0$). Из графика видно, что нули находятся в точках $x = \dots, -3, -1, 1, 3, \dots$. Эту последовательность можно описать формулой $x = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y > 0$) на интервалах, где график находится выше оси $x$. Это интервалы вида $(4k-1; 4k+1)$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $(-1; 1)$).
  • Функция отрицательна ($y < 0$) на интервалах, где график находится ниже оси $x$. Это интервалы вида $(4k+1; 4k+3)$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $(1; 3)$).
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках, где график идет вверх. Это отрезки вида $[4k-2; 4k]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $[-2; 0]$).
  • Функция убывает на отрезках, где график идет вниз. Это отрезки вида $[4k; 4k+2]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $[0; 2]$).
• Экстремумы:
  • Точки максимума (вершины) имеют координаты $(4k; 3)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$.
  • Точки минимума (впадины) имеют координаты $(4k+2; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = -1$.

Ответ: Функция четная, периодическая с периодом $T=4$. Область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(f)=[-1; 3]$. Нули функции в точках $x=2k+1$. Максимумы $y=3$ в точках $x=4k$, минимумы $y=-1$ в точках $x=4k+2$ (где $k$ — любое целое число).

б) На основе графика функции можно определить следующие её свойства:

• Область определения: по условию, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: график уходит неограниченно вверх и вниз, поэтому область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность/нечетность: график не обладает симметрией ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат. Например, $f(1) = 2$, а $f(-1) \approx -2.5$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: функция непериодическая, так как высота максимумов и глубина минимумов изменяются, и узор графика не повторяется.
• Нули функции: график пересекает ось $x$ в точке $x=0$. Остальные нули можно определить лишь приблизительно: $x \approx -2.2$, $x \approx 1.8$, $x \approx 3.5$.
• Промежутки знакопостоянства (приблизительные):
  • $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2.2) \cup (0; 1.8) \cup (3.5; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-2.2; 0) \cup (1.8; 3.5)$.
• Промежутки монотонности (приблизительные):
  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3.2]$, $[-1.3; 1]$ и $[2.8; +\infty)$.
  • Функция убывает на промежутках $[-3.2; -1.3]$ и $[1; 2.8]$.
• Экстремумы (приблизительные):
  • Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов).
  • Точки локального максимума: $x \approx 1$ (значение $y_{max} = 2$) и $x \approx -3.2$ (значение $y_{max} \approx -1.5$).
  • Точки локального минимума: $x \approx -1.3$ (значение $y_{min} \approx -2.5$) и $x \approx 2.8$ (значение $y_{min} \approx 0.5$).

Ответ: Функция общего вида (ни четная, ни нечетная), непериодическая. Область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(f)=(-\infty; +\infty)$. Нули функции: $x=0$, а также приблизительно $x \approx -2.2$, $x \approx 1.8$, $x \approx 3.5$. Глобальных экстремумов нет, есть локальные.