Номер 9.14, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.14 Составьте таблицу значений функции $y = x^3 - 3x$ и постройте её график.

Составьте таблицу значений функции $y = x^3 - 3x$

Для того чтобы построить график функции, сначала необходимо найти координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Для этого составим таблицу значений, выбрав несколько удобных целочисленных значений для аргумента $x$ и вычислив для них соответствующие значения функции $y = x^3 - 3x$.

• Если $x = -3$, то $y = (-3)^3 - 3(-3) = -27 + 9 = -18$.
• Если $x = -2$, то $y = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
• Если $x = 0$, то $y = (0)^3 - 3(0) = 0 - 0 = 0$.
• Если $x = 1$, то $y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
• Если $x = 2$, то $y = (2)^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$.
• Если $x = 3$, то $y = (3)^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$.

Сведем полученные результаты в таблицу.

Ответ:

Постройте её график

Для построения графика функции $y = x^3 - 3x$ воспользуемся составленной таблицей значений, а также проведем краткий анализ функции для более точного построения.

Ключевые точки и свойства:

• Точки из таблицы: $(-3, -18)$, $(-2, -2)$, $(-1, 2)$, $(0, 0)$, $(1, -2)$, $(2, 2)$, $(3, 18)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осью OX (когда $y=0$): $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2-3) = 0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3} \approx 1.73$, $x_3=-\sqrt{3} \approx -1.73$. Точки: $(0,0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
• Точки экстремума (локальные максимум и минимум): найдем производную $y' = 3x^2 - 3$. Приравняем к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
  При $x = -1$, $y=2$. Это точка локального максимума: $(-1, 2)$.
  При $x = 1$, $y=-2$. Это точка локального минимума: $(1, -2)$.

Отметим вычисленные точки на координатной плоскости и, учитывая свойства функции, соединим их плавной кривой.

Ответ: