Номер 9.15, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.15 РАССУЖДАЕМ

1) Постройте график функции, заданной формулой $y = x^2 + 1$.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси x. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

1) Постройте график функции, заданной формулой y = x² + 1.

Графиком функции $y = x^2 + 1$ является парабола. Данная функция является частным случаем квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.
График функции $y = x^2 + 1$ можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 1 единицу вверх.

Определим ключевые параметры для построения:
1. Вершина параболы: Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Ордината вершины $y_0 = 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, 1)$.
2. Направление ветвей: Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (а это больше нуля), ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии: Прямая $x = 0$ (ось $Oy$).

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, выбрав значения $x$ симметрично относительно оси симметрии:
- при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
- при $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$.
- при $x = -2$, $y = (-2)^2 + 1 = 5$. Точка $(-2, 5)$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы.

Ответ: График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси x. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

Симметрия графика функции относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике, на симметричном графике будет находиться точка с координатами $(x, -y)$.
Чтобы найти формулу новой функции, график которой симметричен графику $y = f(x)$ относительно оси $Ox$, необходимо заменить $y$ на $-y$ в исходном уравнении.

Исходное уравнение функции:
$y = x^2 + 1$

Производим замену $y$ на $-y$:
$-y = x^2 + 1$

Теперь выразим $y$ из нового уравнения, чтобы получить формулу искомой функции в явном виде. Для этого умножим обе части уравнения на -1:
$y = -(x^2 + 1)$
$y = -x^2 - 1$

Графиком этой функции является парабола, симметричная исходной относительно оси $Ox$. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$, а ветви направлены вниз.

Ответ: $y = -x^2 - 1$.