Номер 9.20, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 9. Функции. 9.3. Свойства функций. Упражнения - номер 9.20, страница 254.

Условие.

9.20 Найдите нули функции:

а) $y = x^2 - 9x;$

б) $y = 9 - x^2;$

в) $f(x) = (x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3});$

г) $f(x) = x^2(x + 0.5)(2x - 3);$

д) $f(x) = 10x^4 - 250x^2;$

е) $y = 3x^3 - 108x^2.$

Решение 1.

Решение 6.

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю. Для функции $y = x^2 - 9x$ решаем уравнение $x^2 - 9x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 9) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных случая: $x = 0$ или $x - 9 = 0$. Решая второе уравнение, находим $x = 9$.
Ответ: 0; 9.

б) Для функции $y = 9 - x^2$ решаем уравнение $9 - x^2 = 0$. Это уравнение можно представить в виде разности квадратов: $3^2 - x^2 = 0$, что раскладывается на множители как $(3 - x)(3 + x) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем: $3 - x = 0$, откуда $x = 3$, и $3 + x = 0$, откуда $x = -3$.
Ответ: -3; 3.

в) Для функции $f(x) = (x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3})$ решаем уравнение $(x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Поэтому мы приравниваем к нулю каждую скобку:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + \frac{3}{2} = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{2}$
3) $x - \frac{1}{3} = 0 \implies x_3 = \frac{1}{3}$
Ответ: $1; -\frac{3}{2}; \frac{1}{3}$.

г) Для функции $f(x) = x^2(x + 0,5)(2x - 3)$ решаем уравнение $x^2(x + 0,5)(2x - 3) = 0$. Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель:
1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x + 0,5 = 0 \implies x_2 = -0,5$
3) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_3 = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: 0; -0,5; 1,5.

д) Для функции $f(x) = 10x^4 - 250x^2$ решаем уравнение $10x^4 - 250x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $10x^2$ за скобки: $10x^2(x^2 - 25) = 0$. Выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - 5^2$, которую можно разложить на $(x - 5)(x + 5)$. Уравнение принимает вид: $10x^2(x - 5)(x + 5) = 0$. Приравниваем к нулю каждый множитель:
1) $10x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
3) $x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$
Ответ: -5; 0; 5.

е) Для функции $y = 3x^3 - 108x^2$ решаем уравнение $3x^3 - 108x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $3x^2$ за скобки: $3x^2(x - 36) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю: $3x^2 = 0$, откуда $x = 0$, и $x - 36 = 0$, откуда $x = 36$.
Ответ: 0; 36.