Номер 3, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 9.4. Линейная функция. Глава 9. Функции - номер 3, страница 257.

Условие.

Среди линейных функций, заданных формулами $y = -5x + 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = -4x$, $y = 2x - 2$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем каждую из предложенных линейных функций вида $y = kx + b$.

Возрастающие и убывающие функции

Характер монотонности линейной функции (является ли она возрастающей или убывающей) полностью определяется знаком её углового коэффициента $k$.

• Если угловой коэффициент $k > 0$, то функция возрастает на всей своей области определения.
• Если угловой коэффициент $k < 0$, то функция убывает на всей своей области определения.

Рассмотрим каждую функцию отдельно:

1. Для функции $y = -5x + 1$ угловой коэффициент $k = -5$. Так как $k < 0$, эта функция является убывающей.

2. Для функции $y = \frac{1}{3}x$ угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $k > 0$, эта функция является возрастающей.

3. Для функции $y = -4x$ угловой коэффициент $k = -4$. Так как $k < 0$, эта функция является убывающей.

4. Для функции $y = 2x - 2$ угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, эта функция является возрастающей.

Ответ:
Возрастающие функции: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = 2x - 2$.
Убывающие функции: $y = -5x + 1$ и $y = -4x$.

---

Схематическое расположение графиков на координатной плоскости

Расположение графика линейной функции $y = kx + b$ определяется двумя параметрами:

• Угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой. Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем круче наклон графика. Знак $k$ показывает направление наклона: при $k > 0$ график "поднимается" слева направо, при $k < 0$ — "опускается".
• Свободный член $b$ показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью OY). Координаты этой точки — $(0, b)$.

Проанализируем расположение каждого графика:

• $y = 2x - 2$: Возрастающая ($k=2$), пересекает ось OY в точке $(0, -2)$.

• $y = \frac{1}{3}x$: Возрастающая ($k=\frac{1}{3}$), проходит через начало координат $(0, 0)$. Наклон более пологий, чем у $y=2x-2$.

• $y = -4x$: Убывающая ($k=-4$), проходит через начало координат $(0, 0)$.

• $y = -5x + 1$: Убывающая ($k=-5$), пересекает ось OY в точке $(0, 1)$. Наклон этой прямой "круче", чем у $y=-4x$, так как $|-5| > |-4|$.

Схематически графики расположены следующим образом:

• — $y = -5x + 1$
• — $y = \frac{1}{3}x$
• — $y = -4x$
• — $y = 2x - 2$

Ответ: Схематическое изображение графиков представлено на рисунке выше. Все графики являются прямыми. Графики возрастающих функций $y=2x-2$ и $y=\frac{1}{3}x$ направлены из III в I координатную четверть (условно). Графики убывающих функций $y=-5x+1$ и $y=-4x$ направлены из II в IV координатную четверть. Графики $y=\frac{1}{3}x$ и $y=-4x$ проходят через начало координат. График $y=-5x+1$ пересекает ось OY в точке $(0,1)$, а график $y=2x-2$ — в точке $(0,-2)$.