Номер 9.21, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.3. Свойства функций. Глава 9. Функции - номер 9.21, страница 254.

Условие.

9.21 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа $-3.5; 0; 4$.

Для каждой функции укажите промежутки, на которых её значения положительны; отрицательны.

Решение 1.

Решение 6.

Задача состоит в том, чтобы построить график функции с заданными нулями и определить промежутки её знакопостоянства. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. В нашем случае нули — это числа $-3,5; 0; 4$.

Самый простой способ создать такую функцию — это использовать многочлен, который имеет корни в заданных точках. Общий вид такого многочлена можно записать как произведение множителей $(x-x_i)$, где $x_i$ — корень функции:

$y = a(x - (-3.5))(x - 0)(x - 4) = ax(x + 3.5)(x - 4)$

Здесь $a$ — это числовой коэффициент, не равный нулю. Вид графика будет зависеть от знака коэффициента $a$. Рассмотрим два возможных примера.

---

Пример 1: Функция с положительным старшим коэффициентом (пусть $a=1$)

Выберем функцию $y = x(x + 3.5)(x - 4)$.

Её график — это кубическая парабола, которая пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $-3.5$, $0$ и $4$. Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала знакопостоянства: $(-\infty; -3.5)$, $(-3.5; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Для определения знака функции на каждом из этих интервалов можно использовать метод интервалов.

Проанализируем знаки множителей на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -3.5)$, например при $x=-4$: $y = (-)(-)(-) = -$. Функция отрицательна.
- На интервале $(-3.5; 0)$, например при $x=-1$: $y = (-)(+)(-) = +$. Функция положительна.
- На интервале $(0; 4)$, например при $x=1$: $y = (+)(+)(-) = -$. Функция отрицательна.
- На интервале $(4; +\infty)$, например при $x=5$: $y = (+)(+)(+) = +$. Функция положительна.

Таким образом, график функции приходит из области отрицательных значений, пересекает ось Ox в точке -3.5, уходит в область положительных значений, затем пересекает ось в точке 0, снова уходит в минус, пересекает ось в точке 4 и уходит в плюс до бесконечности.

положительны: значения функции больше нуля на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$.

отрицательны: значения функции меньше нуля на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$.

Ответ: Пример функции: $y = x(x+3.5)(x-4)$. Её значения положительны на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$ и отрицательны на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$.

---

Пример 2: Функция с отрицательным старшим коэффициентом (пусть $a=-1$)

Выберем функцию $y = -x(x + 3.5)(x - 4)$.

Эта функция имеет те же самые нули: $-3.5$, $0$ и $4$. Однако, поскольку мы умножили функцию из первого примера на $-1$, знаки её значений на всех интервалах будут противоположными.

Анализ знаков:
- На интервале $(-\infty; -3.5)$: функция положительна ($y > 0$).
- На интервале $(-3.5; 0)$: функция отрицательна ($y < 0$).
- На интервале $(0; 4)$: функция положительна ($y > 0$).
- На интервале $(4; +\infty)$: функция отрицательна ($y < 0$).

График этой функции является зеркальным отражением графика из первого примера относительно оси Ox. Он приходит из области положительных значений, пересекает ось в точке -3.5, уходит в минус, пересекает ось в 0, уходит в плюс, пересекает ось в 4 и уходит в минус до бесконечности.

положительны: значения функции больше нуля на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$.

отрицательны: значения функции меньше нуля на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: Пример функции: $y = -x(x+3.5)(x-4)$. Её значения положительны на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$ и отрицательны на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$.