Номер 9.17, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 9. Функции. 9.3. Свойства функций. Упражнения - номер 9.17, страница 253.

Условие.

9.17 На рисунке 9.11 изображён график функции $y = f(x)$, областью определения которой является отрезок $[-2; 2]$. Используя график, ответьте на вопросы:

1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

2) Укажите нули функции.

3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

Рис. 9.11

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Проанализируем график функции $y = f(x)$, определенной на отрезке $[-2; 2]$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[-2; 2]$ необходимо найти значение функции в точке максимума и на концах отрезка.

Из графика видно, что наивысшая точка графика (вершина параболы) имеет координаты $(-0.5; 4)$. Это и есть наибольшее значение функции на всей области определения.

$y_{наиб} = 4$ при $x = -0.5$.

Чтобы найти наименьшее значение, сравним значения функции на концах отрезка:

• При $x = -2$, значение функции $y = f(-2) = 2$.
• При $x = 2$, значение функции $y = f(2) = -3$.

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение функции на данном отрезке равно -3.

$y_{наим} = -3$ при $x = 2$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при $x = -0.5$. Наименьшее значение функции равно -3 и достигается при $x = 2$.

2) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$).

На графике видно, что кривая пересекает ось $Ox$ в точке $x = 1.5$. Другая точка пересечения параболы с осью $Ox$ находится левее $x = -2$, то есть вне области определения $[-2; 2]$.

Ответ: Нуль функции: $x = 1.5$.

3) Промежутки знакопостоянства функции определяются по расположению графика относительно оси $Ox$.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на промежутке от $x = -2$ до точки пересечения с осью $Ox$.
Промежуток, на котором функция принимает положительные значения: $[-2; 1.5)$.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке от точки пересечения с осью $Ox$ до $x = 2$.
Промежуток, на котором функция принимает отрицательные значения: $(1.5; 2]$.

Ответ: Функция принимает положительные значения на промежутке $[-2; 1.5)$ и отрицательные значения на промежутке $(1.5; 2]$.

4) Промежутки возрастания и убывания функции определяются по направлению графика при движении слева направо.

Функция возрастает, если её график "идёт вверх". Это происходит на участке от левой границы области определения $x = -2$ до вершины параболы в точке $x = -0.5$.
Промежуток возрастания: $[-2; -0.5]$.

Функция убывает, если её график "идёт вниз". Это происходит на участке от вершины параболы в точке $x = -0.5$ до правой границы области определения $x = 2$.
Промежуток убывания: $[-0.5; 2]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-2; -0.5]$ и убывает на промежутке $[-0.5; 2]$.