Номер 9.22, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.3. Свойства функций. Глава 9. Функции - номер 9.22, страница 254.

Условие.

9.22 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:

при $x \ge -1$ функция возрастает, а при $x \le -1$ функция убывает;

нулями функции являются числа -2 и 1.

Решение 1.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо проанализировать заданные свойства функции и на их основе построить эскиз графика.

Заданные свойства функции:

1. Функция возрастает на промежутке $[ -1, +\infty )$ и убывает на промежутке $(-\infty, -1]$. Это означает, что в точке $x = -1$ функция достигает своего локального минимума.
2. Нулями функции являются числа -2 и 1. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс $Ox$ в точках с координатами $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Из этих свойств следует, что график должен проходить через точки $(-2, 0)$ и $(1, 0)$, а его самая низкая точка (минимум) должна лежать на вертикальной прямой $x=-1$. Поскольку и слева, и справа от точки минимума функция принимает значение 0, то само минимальное значение функции $f(-1)$ должно быть отрицательным числом.

Следует отметить, что такая функция не может быть обычной параболой $y = ax^2 + bx + c$, так как у параболы нули симметричны относительно ее оси симметрии (в данном случае, прямой $x=-1$). Расстояние от оси симметрии $x=-1$ до нуля $x=-2$ равно $|-2 - (-1)| = 1$, а расстояние до нуля $x=1$ равно $|1 - (-1)| = 2$. Так как расстояния не равны, график не является параболой, хотя и имеет похожую U-образную форму.

Для построения графика можно выполнить следующие шаги:

1. Начертить систему координат $xOy$.
2. Отметить на оси $Ox$ нули функции — точки $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.
3. Определить положение минимума. Он находится на прямой $x=-1$ и ниже оси $Ox$. Выберем для примера точку минимума $(-1, -3)$.
4. Соединить эти точки плавной кривой так, чтобы до $x=-1$ она убывала, а после $x=-1$ — возрастала. Кривая будет идти из левого верхнего угла, пройдет через $(-2, 0)$, опустится до минимума в $(-1, -3)$, а затем поднимется, пройдет через $(1, 0)$ и уйдет в правый верхний угол.

Ниже представлен эскиз графика, который удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Ответ: График функции, обладающей заданными свойствами, представляет собой кривую, которая убывает на промежутке $(-\infty, -1]$, имеет точку минимума при $x=-1$ (например, в точке $(-1, -3)$), возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$ и пересекает ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=1$. Пример такого графика приведен на рисунке выше.