Страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.19 Среди графиков, изображённых на рисунке 9.13, найдите график функции, которая возрастает при $x \le 2$ и убывает при $x \ge 2$.

Рис. 9.13

Чтобы найти искомый график, необходимо проанализировать поведение каждой функции на заданных интервалах. Условие "функция возрастает при $x \le 2$" означает, что при движении по графику слева направо до точки $x=2$, значение $y$ должно увеличиваться (график идет вверх). Условие "функция убывает при $x \ge 2$" означает, что при движении по графику слева направо от точки $x=2$, значение $y$ должно уменьшаться (график идет вниз). Точка $x=2$ является точкой максимума функции.

Анализ графика ①
На этом графике изображена парабола с вершиной в точке $x=2$. На промежутке $(-\infty, 2]$ функция убывает, так как график идет вниз. На промежутке $[2, +\infty)$ функция возрастает, так как график идет вверх. Это поведение противоположно требуемому в задаче.

Анализ графика ②
На этом графике изображена парабола с вершиной в точке $x=2$. На промежутке $(-\infty, 2]$ функция возрастает, так как график идет вверх. На промежутке $[2, +\infty)$ функция убывает, так как график идет вниз. Это поведение полностью соответствует условиям задачи.

Анализ графика ③
Этот график демонстрирует функцию, которая убывает на всей своей области определения. При любом увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Следовательно, этот график не удовлетворяет условию возрастания на промежутке $x \le 2$.

Таким образом, единственным графиком, который удовлетворяет заданным условиям, является график под номером 2.

Ответ: 2.

9.20 Найдите нули функции:

а) $y = x^2 - 9x;$

б) $y = 9 - x^2;$

в) $f(x) = (x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3});$

г) $f(x) = x^2(x + 0.5)(2x - 3);$

д) $f(x) = 10x^4 - 250x^2;$

е) $y = 3x^3 - 108x^2.$

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю. Для функции $y = x^2 - 9x$ решаем уравнение $x^2 - 9x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 9) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных случая: $x = 0$ или $x - 9 = 0$. Решая второе уравнение, находим $x = 9$.
Ответ: 0; 9.

б) Для функции $y = 9 - x^2$ решаем уравнение $9 - x^2 = 0$. Это уравнение можно представить в виде разности квадратов: $3^2 - x^2 = 0$, что раскладывается на множители как $(3 - x)(3 + x) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем: $3 - x = 0$, откуда $x = 3$, и $3 + x = 0$, откуда $x = -3$.
Ответ: -3; 3.

в) Для функции $f(x) = (x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3})$ решаем уравнение $(x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Поэтому мы приравниваем к нулю каждую скобку:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + \frac{3}{2} = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{2}$
3) $x - \frac{1}{3} = 0 \implies x_3 = \frac{1}{3}$
Ответ: $1; -\frac{3}{2}; \frac{1}{3}$.

г) Для функции $f(x) = x^2(x + 0,5)(2x - 3)$ решаем уравнение $x^2(x + 0,5)(2x - 3) = 0$. Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель:
1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x + 0,5 = 0 \implies x_2 = -0,5$
3) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_3 = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: 0; -0,5; 1,5.

д) Для функции $f(x) = 10x^4 - 250x^2$ решаем уравнение $10x^4 - 250x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $10x^2$ за скобки: $10x^2(x^2 - 25) = 0$. Выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - 5^2$, которую можно разложить на $(x - 5)(x + 5)$. Уравнение принимает вид: $10x^2(x - 5)(x + 5) = 0$. Приравниваем к нулю каждый множитель:
1) $10x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
3) $x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$
Ответ: -5; 0; 5.

е) Для функции $y = 3x^3 - 108x^2$ решаем уравнение $3x^3 - 108x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $3x^2$ за скобки: $3x^2(x - 36) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю: $3x^2 = 0$, откуда $x = 0$, и $x - 36 = 0$, откуда $x = 36$.
Ответ: 0; 36.

9.21 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа $-3.5; 0; 4$.

Для каждой функции укажите промежутки, на которых её значения положительны; отрицательны.

Задача состоит в том, чтобы построить график функции с заданными нулями и определить промежутки её знакопостоянства. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. В нашем случае нули — это числа $-3,5; 0; 4$.

Самый простой способ создать такую функцию — это использовать многочлен, который имеет корни в заданных точках. Общий вид такого многочлена можно записать как произведение множителей $(x-x_i)$, где $x_i$ — корень функции:

$y = a(x - (-3.5))(x - 0)(x - 4) = ax(x + 3.5)(x - 4)$

Здесь $a$ — это числовой коэффициент, не равный нулю. Вид графика будет зависеть от знака коэффициента $a$. Рассмотрим два возможных примера.

Пример 1: Функция с положительным старшим коэффициентом (пусть $a=1$)

Выберем функцию $y = x(x + 3.5)(x - 4)$.

Её график — это кубическая парабола, которая пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $-3.5$, $0$ и $4$. Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала знакопостоянства: $(-\infty; -3.5)$, $(-3.5; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Для определения знака функции на каждом из этих интервалов можно использовать метод интервалов.

Проанализируем знаки множителей на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -3.5)$, например при $x=-4$: $y = (-)(-)(-) = -$. Функция отрицательна.
- На интервале $(-3.5; 0)$, например при $x=-1$: $y = (-)(+)(-) = +$. Функция положительна.
- На интервале $(0; 4)$, например при $x=1$: $y = (+)(+)(-) = -$. Функция отрицательна.
- На интервале $(4; +\infty)$, например при $x=5$: $y = (+)(+)(+) = +$. Функция положительна.

Таким образом, график функции приходит из области отрицательных значений, пересекает ось Ox в точке -3.5, уходит в область положительных значений, затем пересекает ось в точке 0, снова уходит в минус, пересекает ось в точке 4 и уходит в плюс до бесконечности.

положительны: значения функции больше нуля на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$.

отрицательны: значения функции меньше нуля на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$.

Ответ: Пример функции: $y = x(x+3.5)(x-4)$. Её значения положительны на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$ и отрицательны на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$.

Пример 2: Функция с отрицательным старшим коэффициентом (пусть $a=-1$)

Выберем функцию $y = -x(x + 3.5)(x - 4)$.

Эта функция имеет те же самые нули: $-3.5$, $0$ и $4$. Однако, поскольку мы умножили функцию из первого примера на $-1$, знаки её значений на всех интервалах будут противоположными.

Анализ знаков:
- На интервале $(-\infty; -3.5)$: функция положительна ($y > 0$).
- На интервале $(-3.5; 0)$: функция отрицательна ($y < 0$).
- На интервале $(0; 4)$: функция положительна ($y > 0$).
- На интервале $(4; +\infty)$: функция отрицательна ($y < 0$).

График этой функции является зеркальным отражением графика из первого примера относительно оси Ox. Он приходит из области положительных значений, пересекает ось в точке -3.5, уходит в минус, пересекает ось в 0, уходит в плюс, пересекает ось в 4 и уходит в минус до бесконечности.

положительны: значения функции больше нуля на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$.

отрицательны: значения функции меньше нуля на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: Пример функции: $y = -x(x+3.5)(x-4)$. Её значения положительны на промежутках $(-\infty; -3.5) \cup (0; 4)$ и отрицательны на промежутках $(-3.5; 0) \cup (4; +\infty)$.

9.22 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:

при $x \ge -1$ функция возрастает, а при $x \le -1$ функция убывает;

нулями функции являются числа -2 и 1.

Для решения задачи необходимо проанализировать заданные свойства функции и на их основе построить эскиз графика.

Заданные свойства функции:

1. Функция возрастает на промежутке $[ -1, +\infty )$ и убывает на промежутке $(-\infty, -1]$. Это означает, что в точке $x = -1$ функция достигает своего локального минимума.
2. Нулями функции являются числа -2 и 1. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс $Ox$ в точках с координатами $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Из этих свойств следует, что график должен проходить через точки $(-2, 0)$ и $(1, 0)$, а его самая низкая точка (минимум) должна лежать на вертикальной прямой $x=-1$. Поскольку и слева, и справа от точки минимума функция принимает значение 0, то само минимальное значение функции $f(-1)$ должно быть отрицательным числом.

Следует отметить, что такая функция не может быть обычной параболой $y = ax^2 + bx + c$, так как у параболы нули симметричны относительно ее оси симметрии (в данном случае, прямой $x=-1$). Расстояние от оси симметрии $x=-1$ до нуля $x=-2$ равно $|-2 - (-1)| = 1$, а расстояние до нуля $x=1$ равно $|1 - (-1)| = 2$. Так как расстояния не равны, график не является параболой, хотя и имеет похожую U-образную форму.

Для построения графика можно выполнить следующие шаги:

1. Начертить систему координат $xOy$.
2. Отметить на оси $Ox$ нули функции — точки $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.
3. Определить положение минимума. Он находится на прямой $x=-1$ и ниже оси $Ox$. Выберем для примера точку минимума $(-1, -3)$.
4. Соединить эти точки плавной кривой так, чтобы до $x=-1$ она убывала, а после $x=-1$ — возрастала. Кривая будет идти из левого верхнего угла, пройдет через $(-2, 0)$, опустится до минимума в $(-1, -3)$, а затем поднимется, пройдет через $(1, 0)$ и уйдет в правый верхний угол.

Ниже представлен эскиз графика, который удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Ответ: График функции, обладающей заданными свойствами, представляет собой кривую, которая убывает на промежутке $(-\infty, -1]$, имеет точку минимума при $x=-1$ (например, в точке $(-1, -3)$), возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$ и пересекает ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=1$. Пример такого графика приведен на рисунке выше.