Страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.26 Постройте график линейной функции: а) $y = -2x + 1,5$; б) $y = -0,7x$; в) $y = 1,5x - 2$. Для каждой функции укажите:

1) возрастающей или убывающей является функция;

2) при каких значениях $x$ значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.

а) $y = -2x + 1,5$

Для построения графика линейной функции, который представляет собой прямую линию, необходимо и достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем первую точку. Примем $x = 0$, тогда $y = -2 \cdot 0 + 1,5 = 1,5$. Координаты первой точки: $(0; 1,5)$.

2. Найдем вторую точку. Примем $x = 1$, тогда $y = -2 \cdot 1 + 1,5 = -0,5$. Координаты второй точки: $(1; -0,5)$.

Для построения графика нужно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

1) возрастающей или убывающей является функция;

Общий вид линейной функции — $y = kx + b$. Функция является убывающей, если ее угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), и возрастающей, если он положителен ($k > 0$). В данном случае, для функции $y = -2x + 1,5$ коэффициент $k = -2$. Так как $-2 < 0$, функция является убывающей.

2) при каких значениях x значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.

- Найдем, при каком $x$ значение функции равно 0 ($y=0$):
$-2x + 1,5 = 0$
$-2x = -1,5$
$x = \frac{-1,5}{-2}$
$x = 0,75$

- Найдем, при каких $x$ значения функции больше 0 ($y>0$):
$-2x + 1,5 > 0$
$-2x > -1,5$
При делении на отрицательное число ($-2$), знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-1,5}{-2}$
$x < 0,75$

- Найдем, при каких $x$ значения функции меньше 0 ($y<0$):
$-2x + 1,5 < 0$
$-2x < -1,5$
$x > \frac{-1,5}{-2}$
$x > 0,75$

Ответ: 1) функция убывающая; 2) $y=0$ при $x=0,75$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0,75)$; $y<0$ при $x \in (0,75; +\infty)$.

б) $y = -0,7x$

Это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции. Ее график — прямая, проходящая через начало координат.

1. Первая точка — это начало координат $(0; 0)$.

2. Найдем вторую точку. Примем $x = 10$, тогда $y = -0,7 \cdot 10 = -7$. Координаты второй точки: $(10; -7)$.

Для построения графика нужно отметить эти две точки и провести через них прямую.

1) возрастающей или убывающей является функция;

Угловой коэффициент $k = -0,7$. Так как $-0,7 < 0$, функция является убывающей.

2) при каких значениях x значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.

- Значение функции равно 0 ($y=0$):
$-0,7x = 0$
$x = 0$

- Значения функции больше 0 ($y>0$):
$-0,7x > 0$
$x < 0$ (знак неравенства меняется при делении на -0,7)

- Значения функции меньше 0 ($y<0$):
$-0,7x < 0$
$x > 0$ (знак неравенства меняется при делении на -0,7)

Ответ: 1) функция убывающая; 2) $y=0$ при $x=0$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.

в) $y = 1,5x - 2$

Для построения графика найдем координаты двух точек.

1. Найдем первую точку. Примем $x = 0$, тогда $y = 1,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Координаты первой точки: $(0; -2)$.

2. Найдем вторую точку. Примем $x = 2$, тогда $y = 1,5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Координаты второй точки: $(2; 1)$.

Для построения графика нужно отметить эти две точки и провести через них прямую.

1) возрастающей или убывающей является функция;

Угловой коэффициент $k = 1,5$. Так как $1,5 > 0$, функция является возрастающей.

2) при каких значениях x значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.

- Значение функции равно 0 ($y=0$):
$1,5x - 2 = 0$
$1,5x = 2$
$x = \frac{2}{1,5} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$

- Значения функции больше 0 ($y>0$):
$1,5x - 2 > 0$
$1,5x > 2$
$x > \frac{4}{3}$

- Значения функции меньше 0 ($y<0$):
$1,5x - 2 < 0$
$1,5x < 2$
$x < \frac{4}{3}$

Ответ: 1) функция возрастающая; 2) $y=0$ при $x = \frac{4}{3}$; $y>0$ при $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.

9.27 Постройте график функции:

a) $y=3x-1$, где $-3 \le x \le 3$;

б) $y=-2x+4$, где $x \ge 0$.

а) $y=3x-1$, где $-3 \le x \le 3$

Данная функция является линейной, ее общий вид $y=kx+b$. Графиком линейной функции является прямая. В данном случае на переменную $x$ наложено ограничение: $-3 \le x \le 3$. Это означает, что нам нужно построить не всю прямую, а только ее часть — отрезок, концы которого соответствуют значениям $x=-3$ и $x=3$.

Для построения отрезка найдем координаты его конечных точек.
1. Найдем значение $y$ при $x = -3$:
$y = 3 \cdot (-3) - 1 = -9 - 1 = -10$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(-3; -10)$.
2. Найдем значение $y$ при $x = 3$:
$y = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(3; 8)$.

Для построения графика необходимо начертить систему координат, отметить на ней точки $(-3; -10)$ и $(3; 8)$ и соединить их отрезком прямой.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-3; -10)$ и $(3; 8)$.

б) $y=-2x+4$, где $x \ge 0$

Данная функция также является линейной ($y=kx+b$), ее график — прямая. Ограничение $x \ge 0$ означает, что мы должны построить ту часть прямой, которая расположена в правой полуплоскости (включая ось $Oy$). Графиком будет луч, начинающийся в точке, где $x=0$.

Для построения луча найдем координаты его начальной точки и еще одной точки, принадлежащей лучу.
1. Найдем начальную точку луча, подставив $x = 0$:
$y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Начальная точка луча имеет координаты $(0; 4)$.
2. Возьмем любое другое значение $x$, удовлетворяющее условию $x > 0$. Например, $x = 2$:
$y = -2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 = 0$.
Вторая точка на луче имеет координаты $(2; 0)$.

Для построения графика необходимо начертить систему координат, отметить точку $(0; 4)$ (это будет начало луча) и точку $(2; 0)$. Затем провести луч, который начинается в точке $(0; 4)$ и проходит через точку $(2; 0)$.

Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $(0; 4)$, проходящий через точку $(2; 0)$.

9.28 АНАЛИЗИРУЕМ

На рисунке 9.18 изображены графики линейных функций. Соотнесите каждую из них с одной из формул:

$y = 2x + 3$; $y = -2x$; $y = \frac{1}{2}x + 3$; $y = -2x + 3.$

Рис. 9.18

Для того чтобы соотнести графики с формулами, необходимо проанализировать каждую формулу вида $y=kx+b$ и сопоставить её свойства со свойствами одного из графиков. Коэффициент $k$ определяет наклон прямой (возрастание при $k > 0$, убывание при $k < 0$), а коэффициент $b$ — точку пересечения с осью $y$.

①

Этот график — убывающая прямая, что означает $k < 0$. Прямая пересекает ось ординат в точке (0, 3), следовательно, $b=3$. Из предложенных формул этим условиям удовлетворяет только одна: $y = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$.

②

Этот график также является убывающей прямой ($k < 0$), но проходит через начало координат, поэтому $b=0$. Единственная подходящая формула — $y = -2x$. Заметим, что угловые коэффициенты у графиков ① и ② одинаковы ($k=-2$), поэтому прямые параллельны, что соответствует рисунку.

Ответ: $y = -2x$.

③

Это возрастающая прямая ($k > 0$), пересекающая ось $y$ в точке (0, 3) ($b=3$). Этим характеристикам соответствуют две формулы: $y=2x+3$ и $y=\frac{1}{2}x+3$. График ③ круче, чем график ④, что говорит о большем значении углового коэффициента. Сравнивая $k=2$ и $k=\frac{1}{2}$, делаем вывод, что этот график соответствует формуле с большим коэффициентом.

Ответ: $y = 2x + 3$.

④

Это также возрастающая прямая ($k > 0$) с $b=3$. В отличие от графика ③, эта прямая более пологая, что соответствует меньшему угловому коэффициенту. Следовательно, из двух возможных коэффициентов ($2$ и $\frac{1}{2}$) нужно выбрать меньший.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 3$.

9.29 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

У вас имеется 10 р. и есть два способа увеличивать эту сумму: ежедневно добавлять к ней 5 р. или ежедневно добавлять к ней 2 р. Составьте для каждого случая формулу зависимости имеющейся суммы денег $y$ от числа дней $x$.

Первый случай: $y = 10 + 5x$

Второй случай: $y = 10 + 2x$

В каком случае сумма будет увеличиваться быстрее? В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 7$.

Рис. 9.18

Составьте для каждого случая формулу зависимости имеющейся суммы денег y от числа дней x.

Пусть $y$ — это итоговая сумма денег в рублях, а $x$ — количество прошедших дней. Зависимость итоговой суммы от количества дней является линейной и может быть выражена формулой $y = kx + b$, где $b$ — начальная сумма денег, а $k$ — ежедневное пополнение (скорость увеличения суммы).

По условию, начальная сумма составляет 10 рублей, следовательно, $b = 10$.

Первый случай: ежедневное добавление 5 р.
Скорость увеличения суммы $k_1 = 5$ р. в день. Подставляя значения $k_1$ и $b$ в общую формулу, получаем: $y = 5x + 10$.

Второй случай: ежедневное добавление 2 р.
Скорость увеличения суммы $k_2 = 2$ р. в день. Подставляя значения $k_2$ и $b$ в общую формулу, получаем: $y = 2x + 10$.

Ответ: Формула для первого случая: $y = 5x + 10$. Формула для второго случая: $y = 2x + 10$.

В каком случае сумма будет увеличиваться быстрее?

Скорость увеличения суммы денег в линейной функции $y = kx + b$ определяется угловым коэффициентом $k$. Чем больше значение $k$, тем быстрее растет функция, то есть тем быстрее увеличивается сумма.

В первом случае угловой коэффициент $k_1 = 5$.
Во втором случае угловой коэффициент $k_2 = 2$.

Поскольку $5 > 2$, сумма будет увеличиваться быстрее в первом случае.

Ответ: Сумма будет увеличиваться быстрее в первом случае (при ежедневном добавлении 5 р.).

В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 7$.

Для построения графиков функций $y = 5x + 10$ и $y = 2x + 10$ найдем координаты точек для каждой прямой. Обе прямые начинаются из точки $(0, 10)$, так как начальная сумма в обоих случаях одинакова.

Для прямой $y_1 = 5x + 10$ найдем конечную точку для указанного диапазона. При $x=7$, $y_1 = 5 \cdot 7 + 10 = 45$. Таким образом, точки этого графика лежат на прямой, проходящей через $(0, 10)$ и $(7, 45)$.

Для прямой $y_2 = 2x + 10$ также найдем конечную точку. При $x=7$, $y_2 = 2 \cdot 7 + 10 = 24$. Точки этого графика лежат на прямой, проходящей через $(0, 10)$ и $(7, 24)$.

На графике ниже синей линией показана функция $y = 5x + 10$, а красной — $y = 2x + 10$. Части графиков, соответствующие условию $1 \le x \le 7$, выделены более жирной линией. Они представляют собой отрезки, соединяющие точки:
• для $y = 5x + 10$: от $(1, 15)$ до $(7, 45)$;
• для $y = 2x + 10$: от $(1, 12)$ до $(7, 24)$.

Ответ: График состоит из двух прямых, выходящих из точки $(0, 10)$. Прямая $y = 5x + 10$ (синяя) имеет больший наклон и идет круче вверх, чем прямая $y = 2x + 10$ (красная). На графике выделены отрезки, соответствующие $x$ в диапазоне от 1 до 7.

На рисунке 9.19 изображён график следующего процесса: ванну наполнили водой и через некоторое время воду слили. Опишите по графику, как протекал процесс. Для каждого прямолинейного участка графика определите, с какой скоростью наливалась или выливалась вода.

$V, \text{ л}$

$t, \text{ мин}$

Рис. 9.19

На графике показана зависимость объема воды (V) в литрах от времени (t) в минутах. Процесс, изображенный на графике, можно описать следующим образом: сначала ванну наполняли водой, затем на некоторое время подачу воды прекратили, после чего всю воду слили. Проанализируем каждый прямолинейный участок графика подробно.

Происходит наполнение ванны водой. График представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. За первые 10 минут объем воды в ванне достиг 20 литров. Скорость, с которой наливалась вода, можно найти как тангенс угла наклона графика, то есть отношение изменения объема ко времени:

$v_1 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{20 \text{ л} - 0 \text{ л}}{10 \text{ мин} - 0 \text{ мин}} = \frac{20}{10} = 2 \text{ л/мин}$

Ответ: Вода наливалась со скоростью 2 л/мин.

Наполнение ванны продолжается, но с большей скоростью, так как угол наклона графика стал круче. За следующие 5 минут (с 10-й по 15-ю) объем воды увеличился с 20 литров до 50 литров. Рассчитаем скорость на этом участке:

$v_2 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{50 \text{ л} - 20 \text{ л}}{15 \text{ мин} - 10 \text{ мин}} = \frac{30}{5} = 6 \text{ л/мин}$

Ответ: Вода наливалась со скоростью 6 л/мин.

График представляет собой горизонтальную линию. Это означает, что объем воды в ванне не менялся и оставался равным 50 литрам. В этот период времени (20 минут) воду не наливали и не сливали.

$v_3 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{50 \text{ л} - 50 \text{ л}}{35 \text{ мин} - 15 \text{ мин}} = \frac{0}{20} = 0 \text{ л/мин}$

Ответ: Скорость изменения объема воды равна 0 л/мин.

Происходит слив воды из ванны. График идет вниз, что говорит об уменьшении объема воды. За 10 минут (с 35-й по 45-ю) объем воды уменьшился с 50 литров до 0. Скорость, с которой выливалась вода, рассчитывается аналогично (берем модуль изменения объема, так как скорость — величина положительная):

$v_4 = \frac{|\Delta V|}{\Delta t} = \frac{|0 \text{ л} - 50 \text{ л}|}{45 \text{ мин} - 35 \text{ мин}} = \frac{50}{10} = 5 \text{ л/мин}$

Ответ: Вода выливалась со скоростью 5 л/мин.