Страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 На рисунке 9.23 изображён график функции, заданной на промежутке $[-5; 5]$. По графику определите:

а) значение $y$ при $x = -1; 0; 3;$

б) значения $x$, при которых $y = 0; 1; -1$.

Рис. 9.23

а) Чтобы найти значение функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (горизонтальная ось $Ox$) заданное значение $x$. Затем следует провести от этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком функции. От полученной точки на графике нужно провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (вертикальная ось $Oy$). Значение в точке пересечения на оси $Oy$ и будет искомым значением $y$.

Выполним это для заданных значений $x$:

- При $x = -1$: находим на оси $Ox$ точку $-1$, поднимаемся по вертикали до графика и от точки на графике движемся по горизонтали к оси $Oy$. Получаем значение $y = 2$.
- При $x = 0$: график пересекает ось $Oy$ (где $x=0$) в точке с ординатой $1.5$. Следовательно, $y = 1.5$.
- При $x = 3$: находим на оси $Ox$ точку $3$, опускаемся по вертикали до графика и от точки на графике движемся по горизонтали к оси $Oy$. Получаем значение $y = -1$.

Ответ: при $x=-1$, $y=2$; при $x=0$, $y=1.5$; при $x=3$, $y=-1$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, которым соответствует данное значение функции $y$, нужно найти на оси ординат ($Oy$) заданное значение $y$. Затем следует провести через эту точку горизонтальную прямую. Абсциссы (координаты по оси $Ox$) всех точек пересечения этой прямой с графиком функции и будут искомыми значениями $x$.

Выполним это для заданных значений $y$:

- При $y = 0$: горизонтальная линия $y=0$ совпадает с осью абсцисс $Ox$. График пересекает эту ось в двух точках. Абсциссы этих точек равны $-3.5$ и $2$. Следовательно, $x_1 = -3.5, x_2 = 2$.
- При $y = 1$: проводим горизонтальную прямую $y = 1$. Она пересекает график в трех точках. Абсциссы этих точек равны $1$, а также приблизительно $-0.5$ и $-3.2$. Следовательно, $x_1 \approx -3.2, x_2 \approx -0.5, x_3 = 1$.
- При $y = -1$: проводим горизонтальную прямую $y = -1$. Она пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек равны $-4.5$ и $3$. Следовательно, $x_1 = -4.5, x_2 = 3$.

Ответ: при $y=0$, значения $x$ равны $-3.5$ и $2$; при $y=1$, значения $x$ равны $1$ и приблизительно $-3.2$, $-0.5$; при $y=-1$, значения $x$ равны $-4.5$ и $3$.

4. С помощью графика функции (см. рис. $9.23$) опишите ее свойства.

$y$

$x$

$-5$

$-3$

$0$

$1$

$5$

$1$

$-3$

Рис. $9.23$

1. Область определения функции ($D(f)$)
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция задана. Из графика видно, что функция определена для всех $x$ от -5 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции ($E(f)$)
Область значений функции — это множество всех значений $y$, которые принимает функция. Глядя на график, мы видим, что самое низкое значение функции равно -3 (при $x = -5$), а самое высокое значение равно 2,5 (при $x = -2$).
Ответ: $E(f) = [-3; 2,5]$.

3. Нули функции
Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). График пересекает ось $Ox$ в двух точках.
Ответ: $x = -4$ и $x = 3$.

4. Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($y > 0$), когда её график расположен выше оси $Ox$. Это происходит между нулями функции.
- Функция отрицательна ($y < 0$), когда её график расположен ниже оси $Ox$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-4; 3)$; $y < 0$ при $x \in [-5; -4) \cup (3; 5]$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)
- Функция возрастает, когда при увеличении $x$ значения $y$ также увеличиваются (график "идет вверх"). Это происходит от $x = -5$ до точки максимума при $x = -2$.
- Функция убывает, когда при увеличении $x$ значения $y$ уменьшаются (график "идет вниз"). Это происходит от точки максимума при $x = -2$ до конца области определения при $x = 5$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; 5]$.

6. Экстремумы функции (максимумы и минимумы)
- Точка максимума — это точка, в которой возрастание сменяется убыванием. Максимум функции — это значение $y$ в этой точке. На графике видна одна точка максимума.
- На заданном отрезке $[-5; 5]$ функция также имеет наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение совпадает с максимумом функции. Наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка.
Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$; наибольшее значение функции (максимум) $y_{max} = 2,5$; наименьшее значение функции на отрезке $y_{min} = -3$ (достигается при $x = -5$).

7. Четность и нечетность
- Четная функция симметрична относительно оси ординат ($Oy$).
- Нечетная функция симметрична относительно начала координат (точки (0;0)).
График данной функции не симметричен ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат.
Ответ: функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Рис. 9.23

5 Сформулируйте определение линейной функции. Приведите пример конкретной формулы, задающей линейную функцию.

Сформулируйте определение линейной функции.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты). Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел.

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона графика функции (прямой линии) к положительному направлению оси абсцисс ($Ox$). Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$, функция убывает; если $k = 0$, график функции параллелен оси $Ox$.
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает ординату точки, в которой график функции пересекает ось ординат ($Oy$).

Графиком линейной функции является прямая линия.

Ответ: Линейной функцией называется функция, задаваемая формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, $k$ и $b$ — некоторые числа.

Приведите пример конкретной формулы, задающей линейную функцию.

Рассмотрим в качестве примера следующую линейную функцию: $y = 2x - 3$.

В данном случае:

• Угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
• Свободный член $b = -3$. Это означает, что график функции пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -3)$.

Графиком этой функции будет прямая, проходящая, например, через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $y = 2x - 3$.

6 Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые действительные числа (коэффициенты).

Графиком функции в декартовой системе координат называется множество всех точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Графиком любой линейной функции является прямая линия.

Положение этой прямой на координатной плоскости полностью определяется коэффициентами $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом прямой. Он отвечает за угол наклона прямой относительно положительного направления оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция возрастает, и прямая образует острый угол с положительным направлением оси Ox.
  • Если $k < 0$, то функция убывает, и прямая образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.
  • Если $k = 0$, то формула принимает вид $y = b$. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси Ox (или совпадающая с ней при $b=0$).
• Коэффициент $b$ (свободный член) определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью Oy). Это точка с координатами $(0, b)$.

Частные случаи:

• Если $b = 0$, функция имеет вид $y = kx$. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью, а ее график — это прямая, которая всегда проходит через начало координат, то есть точку $(0, 0)$.
• Если $k = 0$, функция имеет вид $y = b$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, b)$.

Поскольку через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну, для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух любых ее точек, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

7 При каких значениях $k$ функция $y = kx + 1$ является возрастающей? убывающей? Приведите пример возрастающей линейной функции; убывающей линейной функции. В каждом случае изобразите схематически её график.

При каких значениях k функция y = kx + 1 является возрастающей?

Линейная функция вида $y = kx + b$ является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ положителен. Угловой коэффициент определяет наклон графика функции. При $k > 0$ с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается, что по определению означает, что функция возрастает.

Ответ: $k > 0$.

убывающей?

Линейная функция является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ отрицателен. При $k < 0$ с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. График такой функции наклонен вниз, если двигаться по нему слева направо.

Ответ: $k < 0$.

Приведите пример возрастающей линейной функции;

Для примера возрастающей функции необходимо выбрать любое значение $k$, удовлетворяющее условию $k > 0$. Возьмем, к примеру, $k = 2$.

Ответ: $y = 2x + 1$.

убывающей линейной функции.

Для примера убывающей функции необходимо выбрать любое значение $k$, удовлетворяющее условию $k < 0$. Возьмем, к примеру, $k = -2$.

Ответ: $y = -2x + 1$.

В каждом случае изобразите схематически её график.

Ниже представлены схематические графики для приведенных выше примеров. Оба графика являются прямыми линиями, которые пересекают ось ординат $Oy$ в точке $(0, 1)$, так как в уравнении $y = kx + 1$ свободный член равен 1.

1. График возрастающей функции $y = 2x + 1$ ($k=2 > 0$)

2. График убывающей функции $y = -2x + 1$ ($k=-2 < 0$)

Ответ: Схематические графики для примеров возрастающей ($y=2x+1$) и убывающей ($y=-2x+1$) функций представлены выше.

1 В таблице приведены данные температуры воздуха 10 апреля в городе Грибове.

Постройте график температуры и определите:

а) в какое время суток температура равнялась $0^\circ C$;

б) в какое время суток температура возрастала; убывала; была положительной; была отрицательной;

в) каково максимальное значение температуры, каково её минимальное значение;

г) в каких границах менялась температура в течение суток;

д) чему равнялась температура в 17 ч;

е) в какое время суток температура равнялась $8^\circ C$.

Для решения задачи сначала построим график зависимости температуры от времени. Для этого на горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим время в часах (ч), а на вертикальной оси (оси ординат) — температуру в градусах Цельсия ($°C$). Отметим на координатной плоскости точки, соответствующие данным из таблицы: $(0; 1)$, $(2; 0)$, $(4; -2)$, $(6; -3)$, $(8; -2)$, $(10; 0)$, $(12; 6)$, $(14; 10)$, $(16; 10)$, $(18; 7)$, $(20; 4)$, $(22; 3)$, $(24; 2)$. Соединим эти точки последовательно отрезками прямых. Полученный график позволяет наглядно представить изменение температуры в течение суток и ответить на поставленные вопросы.

а) в какое время суток температура равнялась 0 °C;
Чтобы определить, в какое время температура равнялась $0$ $°C$, найдем на графике точки, у которых ордината (температура) равна нулю. Это точки пересечения графика с осью времени (осью абсцисс). Из таблицы и графика видно, что это происходит в два момента времени.
Ответ: Температура равнялась $0$ $°C$ в 2 ч и в 10 ч.

б) в какое время суток температура возрастала; убывала; была положительной; была отрицательной;
Анализируя график, определяем промежутки времени:

• Температура возрастала, когда график идет вверх. Это происходило на промежутке времени от 6 ч (когда была минимальная температура $-3$ $°C$) до 14 ч (когда была достигнута максимальная температура $10$ $°C$). На промежутке от 14 ч до 16 ч температура не менялась.
• Температура убывала, когда график идет вниз. Это происходило в двух промежутках: с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч.
• Температура была положительной ($T > 0$ $°C$), когда график находится выше оси времени. Это промежутки с 0 ч до 2 ч и с 10 ч до 24 ч.
• Температура была отрицательной ($T < 0$ $°C$), когда график находится ниже оси времени. Это промежуток с 2 ч до 10 ч.

Ответ: Температура возрастала с 6 ч до 14 ч; убывала с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч; была положительной в промежутках времени $[0 \text{ ч}, 2 \text{ ч})$ и $(10 \text{ ч}, 24 \text{ ч}]$; была отрицательной в промежутке времени $(2 \text{ ч}, 10 \text{ ч})$.

в) каково максимальное значение температуры, каково её минимальное значение;
Максимальное значение температуры — это самая высокая точка на графике, а минимальное — самая низкая. Глядя на таблицу или на график, находим эти значения.
Максимальное значение температуры: $10$ $°C$ (достигалось в 14 ч и 16 ч).
Минимальное значение температуры: $-3$ $°C$ (достигалось в 6 ч).
Ответ: Максимальное значение температуры $10$ $°C$, минимальное значение $-3$ $°C$.

г) в каких границах менялась температура в течение суток;
Границы изменения температуры определяются её минимальным и максимальным значениями за весь период наблюдения.
Минимальное значение: $-3$ $°C$.
Максимальное значение: $10$ $°C$.
Ответ: В течение суток температура менялась в границах от $-3$ $°C$ до $10$ $°C$.

д) чему равнялась температура в 17 ч;
Время 17 ч находится ровно посередине между 16 ч и 18 ч. Предполагая, что между измерениями температура менялась линейно, можно найти среднее арифметическое температур в эти моменты времени.
Температура в 16 ч: $10$ $°C$.
Температура в 18 ч: $7$ $°C$.
Температура в 17 ч $= \frac{10 + 7}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$ $°C$.
Ответ: Температура в 17 ч равнялась $8.5$ $°C$.

е) в какое время суток температура равнялась 8 °C.
Найдем на графике точки, у которых ордината равна $8$ $°C$. Таких точек две.
1. Первая точка находится на отрезке между 12 ч (температура $6$ $°C$) и 14 ч (температура $10$ $°C$). Температура поднялась на $10 - 6 = 4$ $°C$ за 2 часа. Значит, скорость роста была $2$ $°C$/ч. Чтобы температура поднялась с $6$ $°C$ до $8$ $°C$, ей нужно было увеличиться на $2$ $°C$. На это потребовалось $2$ $°C / (2$ $°C$/ч$) = 1$ час. Таким образом, это произошло в $12 + 1 = 13$ ч.
2. Вторая точка находится на отрезке между 16 ч (температура $10$ $°C$) и 18 ч (температура $7$ $°C$). Температура упала на $10 - 7 = 3$ $°C$ за 2 часа. Скорость падения $1.5$ $°C$/ч. Чтобы температура упала с $10$ $°C$ до $8$ $°C$, ей нужно было снизиться на $2$ $°C$. На это потребовалось $2$ $°C / (1.5$ $°C$/ч$) = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3}$ часа. $\frac{4}{3}$ часа = $1$ час и $\frac{1}{3}$ часа. $\frac{1}{3}$ часа = $20$ минут. Таким образом, это произошло в $16$ ч $+ 1$ ч $20$ мин $= 17$ ч $20$ мин.
Ответ: Температура равнялась $8$ $°C$ примерно в 13 ч 00 мин и в 17 ч 20 мин.

2 Функция задана формулой $f(x) = 2x - 5$.

а) Найдите $f(0)$, $f(-1,5)$.

б) Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 18$; $f(x) = 0$.

а) Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, нужно подставить это значение вместо $x$ в формулу функции $f(x) = 2x - 5$.

Найдем $f(0)$:

$f(0) = 2 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

Найдем $f(-1,5)$:

$f(-1,5) = 2 \cdot (-1,5) - 5 = -3 - 5 = -8$

Ответ: $f(0) = -5$; $f(-1,5) = -8$.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает заданное значение, нужно приравнять выражение для функции к этому значению и решить полученное уравнение.

Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 18$:

$2x - 5 = 18$

Перенесем $-5$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 18 + 5$

$2x = 23$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{23}{2}$

$x = 11,5$

Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 0$:

$2x - 5 = 0$

Перенесем $-5$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{5}{2}$

$x = 2,5$

Ответ: при $f(x)=18$, $x=11,5$; при $f(x)=0$, $x=2,5$.

3 Постройте график функции:

а) $y = -\frac{1}{3}x;$

б) $y = 1.5x + 6;$

в) $y = -0.5x + 1.$

Для построения графика каждой из предложенных функций необходимо определить тип функции и найти координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику.

Функция $y = -\frac{1}{3}x$ является линейной функцией, частным случаем которой является прямая пропорциональность. Ее график — это прямая линия, проходящая через начало координат.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. Первая точка — начало координат, так как при $x=0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Получаем точку (0; 0).
2. Для нахождения второй точки выберем удобное значение $x$, например, кратное 3, чтобы избежать дробей в значении $y$. Пусть $x=3$, тогда $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$. Получаем точку (3; -1).

Теперь можно построить график, проведя прямую через точки (0; 0) и (3; -1).

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (3; -1).

Функция $y = 1,5x + 6$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Ее график — это прямая линия.

Для построения этой прямой также найдем координаты двух точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого примем $x=0$: $y = 1,5 \cdot 0 + 6 = 6$. Получаем точку (0; 6).
2. Найдем точку пересечения с осью OX. Для этого примем $y=0$: $0 = 1,5x + 6$ $1,5x = -6$ $x = -6 / 1,5$ $x = -4$. Получаем точку (-4; 0).

График функции представляет собой прямую, проведенную через точки (0; 6) и (-4; 0).

Ответ: График функции $y = 1,5x + 6$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 6) и (-4; 0).

Функция $y = -0,5x + 1$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Ее график — это прямая линия.

Найдем координаты двух точек для построения графика.
1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$: $y = -0,5 \cdot 0 + 1 = 1$. Первая точка имеет координаты (0; 1).
2. Найдем точку пересечения с осью OX, подставив $y=0$: $0 = -0,5x + 1$ $0,5x = 1$ $x = 1 / 0,5$ $x = 2$. Вторая точка имеет координаты (2; 0).

Проведя прямую через точки (0; 1) и (2; 0), мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = -0,5x + 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 1) и (2; 0).