Номер 4, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4. С помощью графика функции (см. рис. $9.23$) опишите ее свойства.

$y$

$x$

$-5$

$-3$

$0$

$1$

$5$

$1$

$-3$

Рис. $9.23$

1. Область определения функции ($D(f)$)
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция задана. Из графика видно, что функция определена для всех $x$ от -5 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции ($E(f)$)
Область значений функции — это множество всех значений $y$, которые принимает функция. Глядя на график, мы видим, что самое низкое значение функции равно -3 (при $x = -5$), а самое высокое значение равно 2,5 (при $x = -2$).
Ответ: $E(f) = [-3; 2,5]$.

3. Нули функции
Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). График пересекает ось $Ox$ в двух точках.
Ответ: $x = -4$ и $x = 3$.

4. Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($y > 0$), когда её график расположен выше оси $Ox$. Это происходит между нулями функции.
- Функция отрицательна ($y < 0$), когда её график расположен ниже оси $Ox$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-4; 3)$; $y < 0$ при $x \in [-5; -4) \cup (3; 5]$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)
- Функция возрастает, когда при увеличении $x$ значения $y$ также увеличиваются (график "идет вверх"). Это происходит от $x = -5$ до точки максимума при $x = -2$.
- Функция убывает, когда при увеличении $x$ значения $y$ уменьшаются (график "идет вниз"). Это происходит от точки максимума при $x = -2$ до конца области определения при $x = 5$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; 5]$.

6. Экстремумы функции (максимумы и минимумы)
- Точка максимума — это точка, в которой возрастание сменяется убыванием. Максимум функции — это значение $y$ в этой точке. На графике видна одна точка максимума.
- На заданном отрезке $[-5; 5]$ функция также имеет наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение совпадает с максимумом функции. Наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка.
Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$; наибольшее значение функции (максимум) $y_{max} = 2,5$; наименьшее значение функции на отрезке $y_{min} = -3$ (достигается при $x = -5$).

7. Четность и нечетность
- Четная функция симметрична относительно оси ординат ($Oy$).
- Нечетная функция симметрична относительно начала координат (точки (0;0)).
График данной функции не симметричен ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат.
Ответ: функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).