Номер 9.32, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 9. Функции. 9.4. Линейная функция. Упражнения - номер 9.32, страница 259.

Условие.

9.32 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 0; \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le -1, \\ 1, & \text{если } -1 < x \le -1, \\ x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 6.

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Её график состоит из двух частей, каждая из которых является лучом.

1. Построим график функции $y = -2x$ на промежутке $x \le 0$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча достаточно двух точек. Возьмём точки из области определения $x \le 0$.

• При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$. Эта точка принадлежит графику, так как неравенство $x \le 0$ нестрогое.
• При $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1) = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(-1, 2)$.

2. Построим график функции $y = \frac{1}{2}x$ на промежутке $x > 0$.

Это также линейная функция. Возьмём точки из области определения $x > 0$.

• Рассмотрим граничное значение $x = 0$. При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этому лучу, так как неравенство $x > 0$ строгое. На графике она будет "выколотой".
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.

Графиком является луч, выходящий из "выколотой" точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(2, 1)$.

3. Совместим графики.

Общий график состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. Поскольку точка $(0,0)$ принадлежит первому лучу, то на итоговом графике она будет закрашенной. Функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$. Для $x \le 0$ это луч $y = -2x$, проходящий через точку $(-1, 2)$. Для $x > 0$ это луч $y = \frac{1}{2}x$, проходящий через точку $(2, 1)$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной и её график состоит из трёх частей.

1. Построим график функции $y = -x$ на промежутке $x \le -1$.

Это луч. Найдём его крайнюю точку и ещё одну точку для построения.

• При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Это луч, начинающийся в точке $(-1, 1)$ и идущий влево и вверх через точку $(-2, 2)$.

2. Построим график функции $y = 1$ на промежутке $-1 < x \le 1$.

Это отрезок горизонтальной прямой. Определим его концы.

• При $x \to -1$ (справа), $y=1$. Точка $(-1, 1)$ является началом отрезка, но не включается в него (обозначается "выколотой" точкой), так как неравенство $-1 < x$ строгое.
• При $x = 1$, $y=1$. Точка $(1, 1)$ является концом отрезка и включается в него (обозначается закрашенной точкой), так как неравенство $x \le 1$ нестрогое.

Это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

3. Построим график функции $y = x$ на промежутке $x > 1$.

Это луч. Найдём его начальную точку и ещё одну точку для построения.

• При $x \to 1$ (справа), $y=1$. Точка $(1, 1)$ является началом луча, но не включается в него ("выколотая" точка), так как неравенство $x > 1$ строгое.
• При $x = 2$, $y=2$. Точка $(2, 2)$.

Это луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо и вверх через точку $(2, 2)$.

4. Совместим графики.

В точке $x=-1$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-1, 1)$, а вторая начинается выколотой точкой $(-1, 1)$. Таким образом, на общем графике точка $(-1, 1)$ закрашена и разрыва нет.

В точке $x=1$ вторая часть заканчивается закрашенной точкой $(1, 1)$, а третья начинается выколотой точкой $(1, 1)$. Таким образом, на общем графике точка $(1, 1)$ также закрашена и разрыва нет.

Итоговый график является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трёх частей: луча $y=-x$ для $x \le -1$, который переходит в точке $(-1, 1)$ в горизонтальный отрезок $y=1$ для $-1 < x \le 1$, который в свою очередь в точке $(1, 1)$ переходит в луч $y=x$ для $x > 1$.