Страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.31 Муравей ползёт по шесту для флага, воткнутому вертикально в землю. Длина шеста 4 м. Муравей начал свой путь в 20 см от земли и ползёт вверх с постоянной скоростью 40 см/мин.

а) Задайте формулой расстояние $s$, на котором находится муравей от земли, как функцию времени его движения $t$.

б) Укажите область определения этой функции.

в) Постройте график функции, выбрав удобные единицы на осях.

г) Определите по графику, на какой высоте от земли муравей будет через 3 мин и через сколько минут он доползёт до вершины шеста.

а) Задайте формулой расстояние s, на котором находится муравей от земли, как функцию времени его движения t.

Для решения задачи приведем все единицы измерения к единой системе. Будем измерять расстояние в сантиметрах (см), а время в минутах (мин).
Длина шеста: $L = 4 \text{ м} = 400 \text{ см}$.
Начальная высота муравья в момент времени $t=0$: $s_0 = 20 \text{ см}$.
Скорость муравья: $v = 40 \text{ см/мин}$.
Расстояние $s$ от земли является функцией времени $t$. Оно равно сумме начальной высоты и пути, который муравей прополз за время $t$. Путь, пройденный с постоянной скоростью, вычисляется по формуле "скорость умножить на время" ($v \cdot t$).
Таким образом, функция расстояния от времени имеет вид:
$s(t) = s_0 + v \cdot t$
Подставив числовые значения, получаем искомую формулу:
$s(t) = 20 + 40t$.
Ответ: $s(t) = 20 + 40t$, где $s$ измеряется в сантиметрах, а $t$ — в минутах.

б) Укажите область определения этой функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений независимой переменной $t$ (времени).
Движение муравья начинается в момент $t=0$, следовательно, $t \ge 0$.
Движение заканчивается, когда муравей достигает вершины шеста, то есть когда его высота $s$ становится равной длине шеста, $400$ см. Найдем этот момент времени, решив уравнение $s(t) = 400$:
$400 = 20 + 40t$
$400 - 20 = 40t$
$380 = 40t$
$t = \frac{380}{40} = \frac{38}{4} = 9.5$ минут.
Таким образом, время движения $t$ ограничено интервалом от $0$ до $9.5$ минут включительно.
Область определения функции: $D(s) = [0; 9.5]$.
Ответ: $0 \le t \le 9.5$.

в) Постройте график функции, выбрав удобные единицы на осях.

Функция $s(t) = 20 + 40t$ — линейная, её график — прямая линия. Так как область определения — отрезок $[0; 9.5]$, то графиком функции будет отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов.
- Начальная точка (при $t=0$): $s(0) = 20 + 40 \cdot 0 = 20$. Координаты: $(0; 20)$.
- Конечная точка (при $t=9.5$): $s(9.5) = 20 + 40 \cdot 9.5 = 20 + 380 = 400$. Координаты: $(9.5; 400)$.
Строим график в системе координат, где по горизонтальной оси отложено время $t$ в минутах, а по вертикальной — расстояние $s$ в сантиметрах. Соединяем точки $(0; 20)$ и $(9.5; 400)$ отрезком.


Ответ: График функции — это отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 20)$ и $(9.5; 400)$.

г) Определите по графику, на какой высоте от земли муравей будет через 3 мин и через сколько минут он доползёт до вершины шеста.

С помощью построенного графика найдем искомые значения.
1. Чтобы определить высоту через 3 минуты, находим на оси времени $t$ значение 3. Проводим от этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком (синий отрезок). От точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси расстояния $s$. Как показано на графике зеленой пунктирной линией, эта линия указывает на значение $140$ см.
Проверим вычислением: $s(3) = 20 + 40 \cdot 3 = 20 + 120 = 140$ см.

2. Чтобы определить время достижения вершины шеста (высота 400 см), находим на оси расстояния $s$ значение 400. Проводим от этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком. Эта точка является концом отрезка. От нее опускаем вертикальную линию на ось времени $t$. Как показано фиолетовой пунктирной линией, эта линия указывает на значение $9.5$ минут.
Это значение совпадает с расчетом, выполненным в пункте (б).
Ответ: Через 3 минуты муравей будет на высоте 140 см от земли. Он доползёт до вершины шеста через 9.5 минут.

9.32 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 0; \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le -1, \\ 1, & \text{если } -1 < x \le -1, \\ x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Её график состоит из двух частей, каждая из которых является лучом.

1. Построим график функции $y = -2x$ на промежутке $x \le 0$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча достаточно двух точек. Возьмём точки из области определения $x \le 0$.

• При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$. Эта точка принадлежит графику, так как неравенство $x \le 0$ нестрогое.
• При $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1) = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(-1, 2)$.

2. Построим график функции $y = \frac{1}{2}x$ на промежутке $x > 0$.

Это также линейная функция. Возьмём точки из области определения $x > 0$.

• Рассмотрим граничное значение $x = 0$. При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этому лучу, так как неравенство $x > 0$ строгое. На графике она будет "выколотой".
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.

Графиком является луч, выходящий из "выколотой" точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(2, 1)$.

3. Совместим графики.

Общий график состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. Поскольку точка $(0,0)$ принадлежит первому лучу, то на итоговом графике она будет закрашенной. Функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$. Для $x \le 0$ это луч $y = -2x$, проходящий через точку $(-1, 2)$. Для $x > 0$ это луч $y = \frac{1}{2}x$, проходящий через точку $(2, 1)$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной и её график состоит из трёх частей.

1. Построим график функции $y = -x$ на промежутке $x \le -1$.

Это луч. Найдём его крайнюю точку и ещё одну точку для построения.

• При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Это луч, начинающийся в точке $(-1, 1)$ и идущий влево и вверх через точку $(-2, 2)$.

2. Построим график функции $y = 1$ на промежутке $-1 < x \le 1$.

Это отрезок горизонтальной прямой. Определим его концы.

• При $x \to -1$ (справа), $y=1$. Точка $(-1, 1)$ является началом отрезка, но не включается в него (обозначается "выколотой" точкой), так как неравенство $-1 < x$ строгое.
• При $x = 1$, $y=1$. Точка $(1, 1)$ является концом отрезка и включается в него (обозначается закрашенной точкой), так как неравенство $x \le 1$ нестрогое.

Это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

3. Построим график функции $y = x$ на промежутке $x > 1$.

Это луч. Найдём его начальную точку и ещё одну точку для построения.

• При $x \to 1$ (справа), $y=1$. Точка $(1, 1)$ является началом луча, но не включается в него ("выколотая" точка), так как неравенство $x > 1$ строгое.
• При $x = 2$, $y=2$. Точка $(2, 2)$.

Это луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо и вверх через точку $(2, 2)$.

4. Совместим графики.

В точке $x=-1$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-1, 1)$, а вторая начинается выколотой точкой $(-1, 1)$. Таким образом, на общем графике точка $(-1, 1)$ закрашена и разрыва нет.

В точке $x=1$ вторая часть заканчивается закрашенной точкой $(1, 1)$, а третья начинается выколотой точкой $(1, 1)$. Таким образом, на общем графике точка $(1, 1)$ также закрашена и разрыва нет.

Итоговый график является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трёх частей: луча $y=-x$ для $x \le -1$, который переходит в точке $(-1, 1)$ в горизонтальный отрезок $y=1$ для $-1 < x \le 1$, который в свою очередь в точке $(1, 1)$ переходит в луч $y=x$ для $x > 1$.