Страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие из функций, заданных формулами $y = 3x - 10$, $y = \frac{8}{x}$, $y = x^2 + 1$, $y = -3x$, $y = x^3$, $y = 15$, являются линейными (обоснуйте ответ)? Что является графиком линейной функции?

Какие из функций, заданных формулами y = 3x – 10, y = 8/x, y = x² + 1, y = -3x, y = x³, y = 15, являются линейными (обоснуйте ответ)?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ – независимая переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа. Чтобы определить, какие из заданных функций являются линейными, нужно проверить, можно ли их привести к этому виду.

1. Функция $y = 3x - 10$. Эта функция является линейной, так как она уже представлена в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 3$ и свободный член $b = -10$.

2. Функция $y = \frac{8}{x}$. Эта функция не является линейной. В ней переменная $x$ находится в знаменателе, что равносильно $x$ в степени -1 ($y = 8x^{-1}$). Для линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Это функция обратной пропорциональности.

3. Функция $y = x^2 + 1$. Эта функция не является линейной, так как переменная $x$ находится во второй степени. Это квадратичная функция.

4. Функция $y = -3x$. Эта функция является линейной. Её можно представить в виде $y = kx + b$, где $k = -3$ и $b = 0$. Это частный случай линейной функции — прямая пропорциональность.

5. Функция $y = x^3$. Эта функция не является линейной, так как переменная $x$ находится в третьей степени. Это кубическая функция.

6. Функция $y = 15$. Эта функция является линейной. Её можно представить в виде $y = kx + b$, где $k = 0$ и $b = 15$. Это постоянная функция, которая является частным случаем линейной функции.

Ответ: Линейными являются функции $y = 3x - 10$, $y = -3x$ и $y = 15$.

Что является графиком линейной функции?

Графиком линейной функции $y = kx + b$ в декартовой системе координат всегда является прямая линия.

Ответ: Прямая линия.

Какую линейную функцию называют прямой пропорциональностью и какую — константой? Среди функций из предыдущего задания найдите прямую пропорциональность и константу; покажите схематическое расположение графиков этих функций на координатной плоскости.

Какую линейную функцию называют прямой пропорциональностью
Прямой пропорциональностью называют частный случай линейной функции вида $y = kx + b$, у которого свободный член $b$ равен нулю, а угловой коэффициент $k$ не равен нулю. Такая функция описывает зависимость, при которой величина $y$ изменяется прямо пропорционально величине $x$. Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.
Ответ: Прямой пропорциональностью называют функцию, заданную формулой $y = kx$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равный нулю коэффициент пропорциональности.

Какую линейную функцию называют константой
Константой или постоянной функцией называют другой частный случай линейной функции $y = kx + b$, у которого угловой коэффициент $k$ равен нулю. При любом значении аргумента $x$ значение функции остается неизменным и равным числу $b$. Графиком константы является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$).
Ответ: Константой называют функцию, заданную формулой $y = b$, где $b$ — некоторое число.

Среди функций из предыдущего задания найдите прямую пропорциональность и константу; покажите схематическое расположение графиков этих функций на координатной плоскости
Поскольку функции из "предыдущего задания" не предоставлены, рассмотрим решение на гипотетическом примере. Пусть нам даны две функции: $y = -2x$ и $y = 4$.

• Функция $y = -2x$ является прямой пропорциональностью, так как она соответствует виду $y=kx$ при $k = -2$.
• Функция $y = 4$ является константой, так как она соответствует виду $y=b$ при $b=4$.

Схематическое расположение их графиков на координатной плоскости:
- График прямой пропорциональности $y = -2x$ — это прямая линия, которая проходит через начало координат $(0;0)$. Так как коэффициент $k = -2 < 0$, функция является убывающей, и ее график расположен во II и IV координатных четвертях.
- График константы $y = 4$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и пересекающая ось ординат ($Oy$) в точке $(0;4)$.

Ответ: В качестве примера: прямая пропорциональность — это функция $y = -2x$, а константа — $y = 4$. Схематически их графики представляют собой прямую, проходящую через начало координат (для $y = -2x$), и прямую, параллельную оси $Ox$ (для $y=4$), как показано на рисунке выше.

Среди линейных функций, заданных формулами $y = -5x + 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = -4x$, $y = 2x - 2$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

Для решения задачи проанализируем каждую из предложенных линейных функций вида $y = kx + b$.

Возрастающие и убывающие функции

Характер монотонности линейной функции (является ли она возрастающей или убывающей) полностью определяется знаком её углового коэффициента $k$.

• Если угловой коэффициент $k > 0$, то функция возрастает на всей своей области определения.
• Если угловой коэффициент $k < 0$, то функция убывает на всей своей области определения.

Рассмотрим каждую функцию отдельно:

1. Для функции $y = -5x + 1$ угловой коэффициент $k = -5$. Так как $k < 0$, эта функция является убывающей.

2. Для функции $y = \frac{1}{3}x$ угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $k > 0$, эта функция является возрастающей.

3. Для функции $y = -4x$ угловой коэффициент $k = -4$. Так как $k < 0$, эта функция является убывающей.

4. Для функции $y = 2x - 2$ угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, эта функция является возрастающей.

Ответ:
Возрастающие функции: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = 2x - 2$.
Убывающие функции: $y = -5x + 1$ и $y = -4x$.

Схематическое расположение графиков на координатной плоскости

Расположение графика линейной функции $y = kx + b$ определяется двумя параметрами:

• Угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой. Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем круче наклон графика. Знак $k$ показывает направление наклона: при $k > 0$ график "поднимается" слева направо, при $k < 0$ — "опускается".
• Свободный член $b$ показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью OY). Координаты этой точки — $(0, b)$.

Проанализируем расположение каждого графика:

• $y = 2x - 2$: Возрастающая ($k=2$), пересекает ось OY в точке $(0, -2)$.

• $y = \frac{1}{3}x$: Возрастающая ($k=\frac{1}{3}$), проходит через начало координат $(0, 0)$. Наклон более пологий, чем у $y=2x-2$.

• $y = -4x$: Убывающая ($k=-4$), проходит через начало координат $(0, 0)$.

• $y = -5x + 1$: Убывающая ($k=-5$), пересекает ось OY в точке $(0, 1)$. Наклон этой прямой "круче", чем у $y=-4x$, так как $|-5| > |-4|$.

Схематически графики расположены следующим образом:

Ответ: Схематическое изображение графиков представлено на рисунке выше. Все графики являются прямыми. Графики возрастающих функций $y=2x-2$ и $y=\frac{1}{3}x$ направлены из III в I координатную четверть (условно). Графики убывающих функций $y=-5x+1$ и $y=-4x$ направлены из II в IV координатную четверть. Графики $y=\frac{1}{3}x$ и $y=-4x$ проходят через начало координат. График $y=-5x+1$ пересекает ось OY в точке $(0,1)$, а график $y=2x-2$ — в точке $(0,-2)$.

На рисунке 9.17 изображены графики движения двух спортсменов (А и Б), участвовавших в соревнованиях по спортивной ходьбе. Кто из них шёл с постоянной скоростью?

$S$, км

$t$, ч

0

1

4

Б

А

Рис. 9.17

На графике изображена зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ для двух спортсменов. Скорость движения на таком графике определяется наклоном (крутизной) линии графика.

Движение с постоянной скоростью означает, что за равные промежутки времени тело проходит равные отрезки пути. Такая зависимость описывается линейной функцией $s = v \cdot t$, где скорость $v$ является постоянной. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

График движения спортсмена А представляет собой прямую линию. Это означает, что его скорость была постоянной на всём протяжении пути.

График движения спортсмена Б — это кривая линия. Наклон этой кривой увеличивается со временем (линия становится всё круче). Это говорит о том, что скорость спортсмена Б не была постоянной, а росла со временем, то есть он двигался с ускорением.

Ответ: С постоянной скоростью шёл спортсмен А.

9.24 Сумма углов выпуклого многоугольника, имеющего $n$ сторон, вычисляется по формуле $M = 180^\circ n - 360^\circ$. Объясните, почему эта функция является линейной. Укажите область определения функции. Возрастающей или убывающей является функция? Найдите сумму углов выпуклого многоугольника при $n = 3$; 4; 10.

Объясните, почему эта функция является линейной
Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа. Заданная функция $M = 180^\circ n - 360^\circ$ представляет собой зависимость суммы углов $M$ от количества сторон $n$. Эту зависимость можно записать как $M(n) = 180^\circ \cdot n - 360^\circ$. Данная формула полностью соответствует виду линейной функции, где в качестве $y$ выступает $M$, в качестве $x$ — $n$, коэффициент $k = 180^\circ$, а свободный член $b = -360^\circ$.
Ответ: Эта функция является линейной, так как имеет вид $M(n) = kn + b$ с коэффициентами $k=180^\circ$ и $b=-360^\circ$.

Укажите область определения функции
Переменная $n$ в формуле обозначает количество сторон выпуклого многоугольника. По определению, многоугольник должен иметь не менее трех сторон (треугольник). Также количество сторон может быть только целым числом. Следовательно, областью определения данной функции является множество всех натуральных чисел, больших или равных 3.
Ответ: Область определения: $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.

Возрастающей или убывающей является функция?
Для линейной функции $y = kx + b$ ее характер монотонности определяется знаком углового коэффициента $k$. Если $k > 0$, функция возрастает, а если $k < 0$ — убывает. В функции $M(n) = 180^\circ n - 360^\circ$ угловой коэффициент $k = 180^\circ$. Поскольку $180^\circ > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что с увеличением количества сторон многоугольника сумма его внутренних углов также увеличивается.
Ответ: Функция является возрастающей.

Найдите сумму углов выпуклого многоугольника при n = 3; 4; 10
Чтобы найти сумму углов, подставим указанные значения $n$ в формулу $M = 180^\circ n - 360^\circ$:
При $n=3$: $M(3) = 180^\circ \cdot 3 - 360^\circ = 540^\circ - 360^\circ = 180^\circ$.
При $n=4$: $M(4) = 180^\circ \cdot 4 - 360^\circ = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$.
При $n=10$: $M(10) = 180^\circ \cdot 10 - 360^\circ = 1800^\circ - 360^\circ = 1440^\circ$.
Ответ: При $n=3$ сумма углов равна $180^\circ$, при $n=4$ — $360^\circ$, при $n=10$ — $1440^\circ$.

9.25 Дана линейная функция $f(x) = 100x - 2.$

а) Найдите $f(0), f(1), f(-1), f(0,3), f(-2,4).$

б) Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 100, f(x) = -1, f(x) = 0, f(x) = -5.$

а) Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, нужно подставить это значение вместо $x$ в формулу функции $f(x) = 100x - 2$.

Вычислим значение функции для каждого из заданных аргументов:

• При $x = 0$:
  $f(0) = 100 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$.
• При $x = 1$:
  $f(1) = 100 \cdot 1 - 2 = 100 - 2 = 98$.
• При $x = -1$:
  $f(-1) = 100 \cdot (-1) - 2 = -100 - 2 = -102$.
• При $x = 0,3$:
  $f(0,3) = 100 \cdot 0,3 - 2 = 30 - 2 = 28$.
• При $x = -2,4$:
  $f(-2,4) = 100 \cdot (-2,4) - 2 = -240 - 2 = -242$.

Ответ: $f(0) = -2$; $f(1) = 98$; $f(-1) = -102$; $f(0,3) = 28$; $f(-2,4) = -242$.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает заданное значение, нужно приравнять выражение для функции к этому значению и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

• Найдем $x$, при котором $f(x) = 100$:
  $100x - 2 = 100$
  $100x = 100 + 2$
  $100x = 102$
  $x = \frac{102}{100} = 1,02$.
• Найдем $x$, при котором $f(x) = -1$:
  $100x - 2 = -1$
  $100x = -1 + 2$
  $100x = 1$
  $x = \frac{1}{100} = 0,01$.
• Найдем $x$, при котором $f(x) = 0$:
  $100x - 2 = 0$
  $100x = 2$
  $x = \frac{2}{100} = 0,02$.
• Найдем $x$, при котором $f(x) = -5$:
  $100x - 2 = -5$
  $100x = -5 + 2$
  $100x = -3$
  $x = \frac{-3}{100} = -0,03$.

Ответ: при $f(x) = 100$, $x = 1,02$; при $f(x) = -1$, $x = 0,01$; при $f(x) = 0$, $x = 0,02$; при $f(x) = -5$, $x = -0,03$.