Страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.9 На рисунке 9.8 изображён график некоторой функции. Составьте по графику таблицу значений функции на промежутке $ [-1; 2] $ с шагом $0,5$. Воспроизведите этот график в тетради.

Рис. 9.8

Составьте по графику таблицу значений функции на промежутке [-1; 2] с шагом 0,5

Для составления таблицы значений определим по графику ординаты (значения $y$) для заданных абсцисс (значений $x$) на промежутке $[-1; 2]$ с шагом 0,5. Масштаб по обеим осям: 2 клетки соответствуют 1 единице, следовательно, 1 клетка — это 0,5 единицы.

• При $x = -1$, график проходит через точку, ордината которой равна $-1$. Итак, $y = -1$.
• При $x = -0,5$, график проходит на полклетки выше оси абсцисс. Так как 1 клетка — это 0,5 единицы, то полклетки — это $0,5 \times 0,5 = 0,25$ единицы. Следовательно, $y = 0,25$.
• При $x = 0$, график проходит через начало координат, значит $y = 0$.
• При $x = 0,5$, график проходит на полторы клетки (1,5 клетки) ниже оси абсцисс. Это соответствует $1,5 \times 0,5 = 0,75$ единицы. Так как точка находится ниже оси, $y = -0,75$.
• При $x = 1$, график проходит через точку, ордината которой равна $-1$. Итак, $y = -1$.
• При $x = 1,5$, график проходит на полклетки выше оси абсцисс, следовательно, $y = 0,25$.
• При $x = 2$, график проходит через точку, ордината которой равна $4$. Итак, $y = 4$.

Соберем полученные значения в таблицу.

Ответ:

Воспроизведите этот график в тетради

Чтобы воспроизвести данный график в тетради, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертите оси координат $Ox$ и $Oy$. Выберите масштаб, например, такой же, как на рисунке: 1 единица равна 2 клеткам тетради по обеим осям. Подпишите оси и отметьте на них несколько значений (например, 1, 2, -1, -2).
2. Используя таблицу из предыдущего пункта, отметьте на координатной плоскости точки с координатами: $(-1; -1)$, $(-0,5; 0,25)$, $(0; 0)$, $(0,5; -0,75)$, $(1; -1)$, $(1,5; 0,25)$ и $(2; 4)$.
3. Аккуратно соедините отмеченные точки плавной, непрерывной линией. При этом важно учесть характерные изгибы графика:
   • Локальный максимум (вершина "холма") находится немного левее точки $(-0,5; 0,25)$.
   • Локальный минимум (нижняя точка "впадины") находится немного левее точки $(1; -1)$.
4. Продолжите кривую немного за крайние точки $(-1; -1)$ и $(2; 4)$, чтобы показать, что график не заканчивается в этих точках.

Ответ:

Для воспроизведения графика необходимо построить его по точкам, полученным в предыдущем задании, и соединить их плавной кривой, повторяя форму исходного графика с его характерными изгибами (локальным максимумом и минимумом), как описано в инструкции выше.

9.10 Составьте таблицу значений функции $y = x^2 - 1$, где $-3 \le x \le 3$, и постройте её график.

Составьте таблицу значений функции y = x² - 1, где -3 ≤ x ≤ 3

Для того чтобы составить таблицу значений для функции $y = x^2 - 1$ на отрезке $[-3; 3]$, мы выберем целые значения аргумента $x$ из этого промежутка и для каждого из них вычислим соответствующее значение функции $y$.

• При $x = -3$, значение $y$ равно: $y = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
• При $x = -2$, значение $y$ равно: $y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
• При $x = -1$, значение $y$ равно: $y = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
• При $x = 0$, значение $y$ равно: $y = (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$.
• При $x = 1$, значение $y$ равно: $y = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
• При $x = 2$, значение $y$ равно: $y = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
• При $x = 3$, значение $y$ равно: $y = (3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.

Сведем полученные пары значений $(x, y)$ в таблицу:

Ответ: Таблица значений функции составлена.

и постройте её график

Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вниз по оси OY. Ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится в точке с координатами $(0; -1)$.

Для построения графика в системе координат OXY отметим точки, найденные в таблице: $(-3, 8)$, $(-2, 3)$, $(-1, 0)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 3)$, $(3, 8)$. Затем соединим эти точки плавной кривой. Так как функция задана на отрезке $[-3; 3]$, график будет представлять собой часть параболы, ограниченную точками с абсциссами $x=-3$ и $x=3$.

Ответ: График функции построен.

9.11 Какие из точек $(-1; 10)$, $(0; 4)$, $(2; -1)$, $(3; -2)$ принадлежат графику функции $y = -3x + 7$? Запишите координаты ещё двух каких-либо точек, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

Какие из точек $(-1; 10)$, $(0; 4)$, $(2; -1)$, $(3; -2)$ принадлежат графику функции $y = -3x + 7$?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции, необходимо подставить значение абсциссы $x_0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение ординаты $y$. Если вычисленное значение $y$ совпадает с $y_0$, то точка принадлежит графику.

Проверка точки $(-1; 10)$:
Подставляем $x = -1$ в уравнение $y = -3x + 7$:
$y = -3 \cdot (-1) + 7 = 3 + 7 = 10$.
Вычисленное значение $y=10$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка $(-1; 10)$ принадлежит графику.

Проверка точки $(0; 4)$:
Подставляем $x = 0$ в уравнение $y = -3x + 7$:
$y = -3 \cdot 0 + 7 = 0 + 7 = 7$.
Вычисленное значение $y=7$ не совпадает с ординатой точки ($7 \neq 4$). Следовательно, точка $(0; 4)$ не принадлежит графику.

Проверка точки $(2; -1)$:
Подставляем $x = 2$ в уравнение $y = -3x + 7$:
$y = -3 \cdot 2 + 7 = -6 + 7 = 1$.
Вычисленное значение $y=1$ не совпадает с ординатой точки ($1 \neq -1$). Следовательно, точка $(2; -1)$ не принадлежит графику.

Проверка точки $(3; -2)$:
Подставляем $x = 3$ в уравнение $y = -3x + 7$:
$y = -3 \cdot 3 + 7 = -9 + 7 = -2$.
Вычисленное значение $y=-2$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка $(3; -2)$ принадлежит графику.

Ответ: Графику функции принадлежат точки $(-1; 10)$ и $(3; -2)$.

Запишите координаты ещё двух каких-либо точек, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

1. Точка, принадлежащая графику:
Чтобы найти такую точку, выберем произвольное значение $x$, например $x = 1$. Вычислим соответствующее значение $y$ по формуле функции:
$y = -3 \cdot (1) + 7 = -3 + 7 = 4$.
Таким образом, точка $(1; 4)$ принадлежит графику функции.

2. Точка, не принадлежащая графику:
Чтобы найти такую точку, выберем произвольную абсциссу, например $x=5$, и вычислим, какая ордината должна быть у точки на графике:
$y = -3 \cdot 5 + 7 = -15 + 7 = -8$.
Значит, точка $(5; -8)$ лежит на графике. Чтобы получить точку, не лежащую на графике, нужно для $x=5$ выбрать любое другое значение $y$, отличное от $-8$. Например, $y=0$. Точка $(5; 0)$ не будет принадлежать графику, так как $0 \ne -8$.

Ответ: Пример точки, принадлежащей графику: $(1; 4)$. Пример точки, не принадлежащей графику: $(5; 0)$.

9.12 В каких точках график функции пересекает координатные оси:

a) $y = 20x + 75;$

б) $y = -8x + 1?$

а) $y = 20x + 75$

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

1. Пересечение с осью ординат (ось $Oy$)
В любой точке на оси ординат координата $x$ равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующую координату $y$:
$y = 20 \cdot 0 + 75$
$y = 75$
Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 75)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (ось $Ox$)
В любой точке на оси абсцисс координата $y$ равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующую координату $x$:
$0 = 20x + 75$
Перенесем 75 в левую часть уравнения:
$-75 = 20x$
Найдем $x$:
$x = -\frac{75}{20} = -\frac{15}{4} = -3.75$
Следовательно, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-3.75; 0)$.

Ответ: график функции пересекает ось ординат в точке $(0; 75)$ и ось абсцисс в точке $(-3.75; 0)$.

б) $y = -8x + 1$

Аналогично найдем точки пересечения для второй функции.

1. Пересечение с осью ординат (ось $Oy$)
При $x=0$:
$y = -8 \cdot 0 + 1$
$y = 1$
Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 1)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (ось $Ox$)
При $y=0$:
$0 = -8x + 1$
Перенесем $-8x$ в левую часть уравнения:
$8x = 1$
Найдем $x$:
$x = \frac{1}{8}$
Следовательно, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(\frac{1}{8}; 0)$.

Ответ: график функции пересекает ось ординат в точке $(0; 1)$ и ось абсцисс в точке $(\frac{1}{8}; 0)$.

9.13 Дана функция $y=f(x)$. Известно, что $f(5)=0$ и $f(0)=-4$. Сформулируйте эти факты на геометрическом языке.

Геометрический смысл утверждений, связанных с функцией $y=f(x)$, раскрывается через интерпретацию точек на ее графике в декартовой системе координат. Каждая точка на графике имеет координаты $(x, y)$, где $y$ является значением функции $f(x)$ для данного аргумента $x$.

Факт $f(5)=0$

Равенство $f(5)=0$ означает, что при значении аргумента $x=5$ значение функции $y$ равно $0$. Это соответствует точке на координатной плоскости с координатами $(5, 0)$. Поскольку ордината (координата $y$) этой точки равна нулю, точка лежит на оси абсцисс (оси $Ox$). Таким образом, на геометрическом языке это означает, что график функции $y=f(x)$ проходит через точку $(5, 0)$.

Ответ: График функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами $(5, 0)$.

Факт $f(0)=-4$

Равенство $f(0)=-4$ означает, что при значении аргумента $x=0$ значение функции $y$ равно $-4$. Это соответствует точке на координатной плоскости с координатами $(0, -4)$. Поскольку абсцисса (координата $x$) этой точки равна нулю, точка лежит на оси ординат (оси $Oy$). Таким образом, на геометрическом языке это означает, что график функции $y=f(x)$ проходит через точку $(0, -4)$.

Ответ: График функции пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, -4)$.

9.14 Составьте таблицу значений функции $y = x^3 - 3x$ и постройте её график.

Составьте таблицу значений функции $y = x^3 - 3x$

Для того чтобы построить график функции, сначала необходимо найти координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Для этого составим таблицу значений, выбрав несколько удобных целочисленных значений для аргумента $x$ и вычислив для них соответствующие значения функции $y = x^3 - 3x$.

• Если $x = -3$, то $y = (-3)^3 - 3(-3) = -27 + 9 = -18$.
• Если $x = -2$, то $y = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
• Если $x = 0$, то $y = (0)^3 - 3(0) = 0 - 0 = 0$.
• Если $x = 1$, то $y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
• Если $x = 2$, то $y = (2)^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$.
• Если $x = 3$, то $y = (3)^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$.

Сведем полученные результаты в таблицу.

Ответ:

Постройте её график

Для построения графика функции $y = x^3 - 3x$ воспользуемся составленной таблицей значений, а также проведем краткий анализ функции для более точного построения.

Ключевые точки и свойства:

• Точки из таблицы: $(-3, -18)$, $(-2, -2)$, $(-1, 2)$, $(0, 0)$, $(1, -2)$, $(2, 2)$, $(3, 18)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осью OX (когда $y=0$): $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2-3) = 0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3} \approx 1.73$, $x_3=-\sqrt{3} \approx -1.73$. Точки: $(0,0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
• Точки экстремума (локальные максимум и минимум): найдем производную $y' = 3x^2 - 3$. Приравняем к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
  При $x = -1$, $y=2$. Это точка локального максимума: $(-1, 2)$.
  При $x = 1$, $y=-2$. Это точка локального минимума: $(1, -2)$.

Отметим вычисленные точки на координатной плоскости и, учитывая свойства функции, соединим их плавной кривой.

Ответ:

9.15 РАССУЖДАЕМ

1) Постройте график функции, заданной формулой $y = x^2 + 1$.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси x. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

1) Постройте график функции, заданной формулой y = x² + 1.

Графиком функции $y = x^2 + 1$ является парабола. Данная функция является частным случаем квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.
График функции $y = x^2 + 1$ можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 1 единицу вверх.

Определим ключевые параметры для построения:
1. Вершина параболы: Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Ордината вершины $y_0 = 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, 1)$.
2. Направление ветвей: Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (а это больше нуля), ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии: Прямая $x = 0$ (ось $Oy$).

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, выбрав значения $x$ симметрично относительно оси симметрии:
- при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
- при $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$.
- при $x = -2$, $y = (-2)^2 + 1 = 5$. Точка $(-2, 5)$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы.

Ответ: График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси x. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

Симметрия графика функции относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике, на симметричном графике будет находиться точка с координатами $(x, -y)$.
Чтобы найти формулу новой функции, график которой симметричен графику $y = f(x)$ относительно оси $Ox$, необходимо заменить $y$ на $-y$ в исходном уравнении.

Исходное уравнение функции:
$y = x^2 + 1$

Производим замену $y$ на $-y$:
$-y = x^2 + 1$

Теперь выразим $y$ из нового уравнения, чтобы получить формулу искомой функции в явном виде. Для этого умножим обе части уравнения на -1:
$y = -(x^2 + 1)$
$y = -x^2 - 1$

Графиком этой функции является парабола, симметричная исходной относительно оси $Ox$. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$, а ветви направлены вниз.

Ответ: $y = -x^2 - 1$.

9.16 Постройте график функции:

а) $f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \ge 0, \\ 0 \text{ при } x < 0; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 0, \\ -x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной, то есть она определяется разными формулами на разных участках своей области определения.

1. Рассмотрим первую часть функции: $f(x) = x$ при $x \ge 0$. Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Поскольку нас интересует только участок, где $x \ge 0$, мы строим ту часть этой прямой, которая находится в I координатном угле. Это луч, выходящий из точки (0, 0) и проходящий, например, через точку (1, 1), (2, 2) и т.д. Точка (0,0) принадлежит этому участку графика.

2. Рассмотрим вторую часть функции: $f(x) = 0$ при $x < 0$. Графиком функции $y=0$ является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox). Условие $x < 0$ означает, что мы берем только ту часть этой прямой, которая находится левее оси ординат (оси Oy). Это луч, идущий по отрицательной части оси Ox и заканчивающийся в точке (0, 0), причем сама точка (0,0) этому участку не принадлежит (она "выколота", так как $x$ строго меньше 0).

3. Объединим обе части на одной координатной плоскости. График состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. В точке $x=0$ разрыва нет, так как по первому правилу $f(0) = 0$, а предел функции по второму правилу при $x \to 0$ также равен 0.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки (0, 0). Один луч совпадает с отрицательной полуосью Ox (для $x<0$), а второй является лучом $y=x$ в первой координатной четверти (для $x \ge 0$).

б)

Эта функция также является кусочно-заданной.

1. Рассмотрим первую часть: $f(x) = x^2$ при $x \ge 0$. Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $x \ge 0$ означает, что мы строим только правую ветвь этой параболы, расположенную в I координатном угле. Эта часть графика проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 4).

2. Рассмотрим вторую часть: $f(x) = -x$ при $x < 0$. Графиком функции $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов. Условие $x < 0$ означает, что мы строим ту часть этой прямой, которая расположена во II координатном угле (где $x$ отрицателен, а $y$ положителен). Это луч, выходящий из точки (0, 0) (не включая ее) и проходящий через точки (-1, 1), (-2, 2) и т.д.

3. Объединим обе части. В точке $x=0$ график непрерывен, так как значение функции по первой формуле $f(0)=0^2=0$, а предел по второй формуле $\lim_{x\to 0^-}(-x) = 0$. Таким образом, обе части графика плавно соединяются в начале координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке (0, 0). При $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первой координатной четверти. При $x < 0$ это луч $y=-x$, расположенный во второй координатной четверти.