Страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Прочитайте фрагмент 2 текста. Используя рисунок 9.4, расскажите:

а) как с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3, и найдите его;

б) как с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение $x$, при котором $f(x) = 3$, и найдите его.

а) Чтобы с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3, необходимо выполнить следующие действия. На оси абсцисс (горизонтальной оси $x$) нужно найти точку со значением 3. Из этой точки следует провести вертикальную прямую до пересечения с графиком функции. Затем из полученной точки на графике нужно провести горизонтальную прямую до пересечения с осью ординат (вертикальной осью $y$). Число, соответствующее точке пересечения на оси ординат, и является искомым значением функции $f(3)$.

Поскольку конкретный график из рисунка 9.4 не предоставлен, найти точное числовое значение невозможно. Оно полностью зависит от того, как изображен график.

Ответ: Чтобы найти значение функции при $x = 3$, нужно найти на графике точку с абсциссой 3 и определить ординату этой точки. Конкретное значение можно определить только по графику на рисунке 9.4.

б) Чтобы с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение $x$, при котором $f(x) = 3$, необходимо выполнить следующие действия. На оси ординат (вертикальной оси $y$) нужно найти точку со значением 3. Из этой точки следует провести горизонтальную прямую. Эта прямая может пересечь график функции в одной, нескольких точках или не пересечь вовсе. Из каждой точки пересечения нужно опустить перпендикуляр на ось абсцисс (ось $x$). Значения на оси абсцисс, в которые придут перпендикуляры, и являются искомыми значениями аргумента $x$.

Поскольку конкретный график из рисунка 9.4 не предоставлен, найти точные числовые значения $x$ невозможно. В зависимости от вида функции, может быть одно, несколько или ни одного решения.

Ответ: Чтобы найти значение(я) $x$, при которых $f(x) = 3$, нужно найти на графике все точки с ординатой 3 и определить абсциссы этих точек. Конкретные значения можно определить только по графику на рисунке 9.4.

9.5 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

Изобразите указанный промежуток на координатной прямой и запишите его обозначение:

а) $-3 \le x \le 2$;

б) $-8 < x < 0$;

в) $-5 \le x < 5$;

г) $x \ge 4$;

д) $x \le 5$;

е) $x < 0$.

а) Неравенство $ -3 \le x \le 2 $ задает числовой промежуток, включающий все числа от -3 до 2, включая сами числа -3 и 2.

На координатной прямой этот промежуток изображается отрезком. Отмечаем точки -3 и 2. Так как неравенство нестрогое (знаки $ \le $), обе точки включаются в промежуток и изображаются закрашенными (сплошными) кружками. Область между этими точками, включая их, заштриховывается.

Обозначение этого промежутка (отрезка) с помощью скобок: $ [-3; 2] $.

Ответ: На координатной прямой — отрезок с закрашенными концами в точках -3 и 2. Обозначение: $ [-3; 2] $.

б) Неравенство $ -8 < x < 0 $ задает числовой промежуток, включающий все числа, которые строго больше -8 и строго меньше 0. Сами числа -8 и 0 в промежуток не входят.

На координатной прямой этот промежуток изображается интервалом. Отмечаем точки -8 и 0. Так как неравенство строгое (знаки $ < $), обе точки не включаются в промежуток и изображаются выколотыми (пустыми) кружками. Область между этими точками заштриховывается.

Обозначение этого промежутка (интервала) с помощью скобок: $ (-8; 0) $.

Ответ: На координатной прямой — интервал с выколотыми концами в точках -8 и 0. Обозначение: $ (-8; 0) $.

в) Неравенство $ -5 \le x < 5 $ задает числовой промежуток, включающий все числа от -5 до 5. При этом число -5 входит в промежуток, а число 5 — не входит.

На координатной прямой этот промежуток изображается полуинтервалом. Отмечаем точки -5 и 5. Точка -5 изображается закрашенным кружком (неравенство $ \le $), а точка 5 — выколотым кружком (неравенство $ < $). Область между этими точками заштриховывается.

Обозначение этого промежутка (полуинтервала) с помощью скобок: $ [-5; 5) $.

Ответ: На координатной прямой — промежуток с закрашенным концом в точке -5 и выколотым концом в точке 5. Обозначение: $ [-5; 5) $.

г) Неравенство $ x \ge 4 $ задает числовой промежуток, включающий число 4 и все числа, которые больше 4.

На координатной прямой этот промежуток изображается лучом. Отмечаем точку 4 закрашенным кружком (неравенство $ \ge $). От этой точки вправо (в сторону увеличения чисел) проводится штриховка до бесконечности.

Обозначение этого промежутка (луча) с помощью скобок: $ [4; +\infty) $.

Ответ: На координатной прямой — луч, начинающийся из закрашенной точки 4 и идущий вправо. Обозначение: $ [4; +\infty) $.

д) Неравенство $ x \le 5 $ задает числовой промежуток, включающий число 5 и все числа, которые меньше 5.

На координатной прямой этот промежуток изображается лучом. Отмечаем точку 5 закрашенным кружком (неравенство $ \le $). От этой точки влево (в сторону уменьшения чисел) проводится штриховка до бесконечности.

Обозначение этого промежутка (луча) с помощью скобок: $ (-\infty; 5] $.

Ответ: На координатной прямой — луч, начинающийся из закрашенной точки 5 и идущий влево. Обозначение: $ (-\infty; 5] $.

е) Неравенство $ x < 0 $ задает числовой промежуток, включающий все числа, которые строго меньше 0. Само число 0 в промежуток не входит.

На координатной прямой этот промежуток изображается открытым лучом. Отмечаем точку 0 выколотым кружком (неравенство $ < $). От этой точки влево (в сторону уменьшения чисел) проводится штриховка до бесконечности.

Обозначение этого промежутка (открытого луча) с помощью скобок: $ (-\infty; 0) $.

Ответ: На координатной прямой — луч с выколотым началом в точке 0, идущий влево. Обозначение: $ (-\infty; 0) $.

9.6 На рисунке 9.6 изображён график некоторой функции. Найдите по этому графику:

a) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $4$.

б) значение аргумента, при котором значение функции равно $-3$; $-1$; $0$; $1$; $1.5$.

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному –2; –1; 0; 1; 2; 4

Чтобы найти значение функции (координату $y$) по заданному значению аргумента (координате $x$), необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти на оси абсцисс ($x$) заданное значение аргумента.
2. Провести из этой точки вертикальную прямую до пересечения с графиком функции.
3. От точки пересечения провести горизонтальную прямую до оси ординат ($y$).
4. Значение на оси $y$, в которое пришла горизонтальная прямая, и является искомым значением функции.

Применим этот алгоритм для каждого из заданных значений аргумента:

• При $x = -2$: находим на оси $x$ отметку -2, движемся вертикально до графика. Точка пересечения имеет координаты $(-2, -1)$. Следовательно, значение функции равно $-1$.
• При $x = -1$: график пересекает ось абсцисс в этой точке, значит, значение функции равно $0$.
• При $x = 0$: график пересекает ось ординат в точке $1$, следовательно, значение функции равно $1$.
• При $x = 1$: находим точку на графике. Соответствующее ей значение на оси $y$ находится ровно посередине между отметками $1$ и $2$. Значит, значение функции равно $1,5$.
• При $x = 2$: находим точку на графике. Соответствующее значение на оси $y$ немного меньше $2$ и больше $1,5$. Оценочно, оно равно $1,8$.
• При $x = 4$: находим точку на графике. Соответствующее значение на оси $y$ немного больше $2$. Оценочно, оно равно $2,2$.

Ответ: при $x = -2$ значение функции $y = -1$; при $x = -1, y = 0$; при $x = 0, y = 1$; при $x = 1, y = 1,5$; при $x = 2, y \approx 1,8$; при $x = 4, y \approx 2,2$.

б) значение аргумента, при котором значение функции равно –3; –1; 0; 1; 1,5

Чтобы найти значение аргумента ($x$) по заданному значению функции ($y$), необходимо выполнить обратные действия:

1. Найти на оси ординат ($y$) заданное значение функции.
2. Провести из этой точки горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции.
3. От точки пересечения провести вертикальную прямую до оси абсцисс ($x$).
4. Значение на оси $x$, в которое пришла вертикальная прямая, и является искомым значением аргумента.

Применим этот алгоритм для каждого из заданных значений функции:

• При $y = -3$: проводим горизонтальную линию от отметки $-3$ на оси $y$. Точка пересечения с графиком имеет координату $x$, которая находится между $-2$ и $-3$. Оценочно, $x \approx -2,2$.
• При $y = -1$: горизонтальная линия пересекает график в точке, для которой координата $x$ равна $-2$.
• При $y = 0$: график пересекает ось $x$ в точке $x = -1$.
• При $y = 1$: горизонтальная линия пересекает график в точке, для которой $x = 0$ (на оси $y$).
• При $y = 1,5$: горизонтальная линия пересекает график в точке, для которой координата $x$ равна $1$.

Ответ: значение функции равно $-3$ при $x \approx -2,2$; значение функции равно $-1$ при $x = -2$; значение функции равно $0$ при $x = -1$; значение функции равно $1$ при $x = 0$; значение функции равно $1,5$ при $x = 1$.

9.7 На рисунке 9.7 изображён график функции $y = f(x)$. Найдите по этому графику:

a) $f(0)$; $f(-3)$; $f(1)$;

б) значения $x$, при которых $f(x) = 2$; $f(x) = 0$; $f(x) = -3$.

а)

Чтобы найти значение функции $f(x)$ по графику для конкретного значения аргумента $x$, необходимо найти эту точку на горизонтальной оси (оси $Ox$), затем найти соответствующую ей точку на графике и определить ее вертикальную координату (ординату).

Найдём $f(0)$: Находим точку $x=0$ на оси абсцисс. Это точка начала координат. График функции пересекает ось ординат в точке с координатой $y=2$. Следовательно, $f(0) = 2$.

Найдём $f(-3)$: Находим точку $x=-3$ на оси абсцисс. График функции проходит через эту точку, что означает, что её координата по оси ординат равна $0$. Следовательно, $f(-3) = 0$.

Найдём $f(1)$: Находим точку $x=1$ на оси абсцисс. Поднимаемся от неё вертикально до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат и видим, что она попадает в точку $y=1$. Следовательно, $f(1) = 1$.

Ответ: $f(0) = 2$; $f(-3) = 0$; $f(1) = 1$.

б)

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает определенное значение, необходимо провести горизонтальную линию на уровне этого значения на оси ординат ($Oy$) и найти горизонтальные координаты (абсциссы) всех точек пересечения этой линии с графиком.

Найдём значения $x$, при которых $f(x) = 2$: Проводим горизонтальную линию $y=2$. Эта линия пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x=-2$ и $x=0$.

Найдём значения $x$, при которых $f(x) = 0$: Линия $y=0$ совпадает с осью абсцисс ($Ox$). График пересекает эту ось в точках с абсциссами $x=-3$ и $x=2$.

Найдём значения $x$, при которых $f(x) = -3$: Проводим горизонтальную линию $y=-3$. Эта линия пересекает график в одной точке в его левой части. Абсцисса этой точки пересечения равна $x=-4.5$.

Ответ: при $f(x)=2$, $x=-2$ и $x=0$; при $f(x)=0$, $x=-3$ и $x=2$; при $f(x)=-3$, $x=-4.5$.

9.8 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Маша посадила подсолнух и в течение 12 недель вела наблюдение за его ростом, измеряя длину стебля в конце каждой недели. Результаты её наблюдений представлены в следующей таблице:

Рис. 9.7

Постройте график функции $h = f(t)$, где $t$ — время (нед.), $h$ — длина стебля (см). Используя график, ответьте на вопросы:

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Для решения задачи сначала построим график зависимости высоты подсолнуха $h$ (в см) от времени $t$ (в неделях). Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отложим время $t$, а по оси ординат — высоту $h$. Отметим точки, координаты которых даны в таблице: $(1; 20)$, $(2; 37)$, $(3; 73)$, $(4; 100)$, $(5; 140)$, $(6; 175)$, $(7; 200)$, $(8; 225)$, $(9; 240)$, $(10; 250)$, $(11; 255)$, $(12; 260)$. Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $h = f(t)$.

Теперь, используя данные таблицы и построенный график, ответим на вопросы.

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

Чтобы найти длину стебля в определенный момент времени, нужно найти на графике точку, соответствующую этому времени, и определить ее ординату (значение $h$).

Через 3,5 недели: На оси времени $t$ находим значение 3,5 (середина между 3 и 4). В конце 3-й недели высота была 73 см, а в конце 4-й — 100 см. Длина стебля через 3,5 недели будет примерно равна среднему арифметическому этих значений: $(73 + 100) / 2 = 86,5$ см. По графику это будет точка с координатами примерно $(3.5; 87)$.

Через 6,5 недели: На оси времени $t$ находим значение 6,5 (середина между 6 и 7). В конце 6-й недели высота была 175 см, а в конце 7-й — 200 см. Примерная длина стебля: $(175 + 200) / 2 = 187,5$ см. По графику это будет точка с координатами примерно $(6.5; 188)$.

Ответ: Через 3,5 недели длина стебля была примерно 87 см; через 6,5 недели — примерно 188 см.

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

Чтобы найти время, когда стебель достиг определенной длины, нужно найти на оси высоты $h$ это значение и определить абсциссу (значение $t$) соответствующей точки на графике.

Высота 50 см: Эта высота находится между значениями на конец 2-й недели (37 см) и 3-й недели (73 см). За третью неделю подсолнух вырос на $73 - 37 = 36$ см. Чтобы достичь 50 см, ему нужно было вырасти на $50 - 37 = 13$ см после окончания второй недели. Это составляет $13/36$ от третьей недели. В неделе 7 дней, значит, это примерно $(13 / 36) \times 7 \approx 2,5$ дня. Таким образом, это произошло через 2 недели и 2-3 дня, то есть на $14 + 3 = 17$-й день.

Высота 210 см: Эта высота находится между значениями на конец 7-й недели (200 см) и 8-й недели (225 см). За восьмую неделю подсолнух вырос на $225 - 200 = 25$ см. Чтобы достичь 210 см, ему нужно было вырасти на $210 - 200 = 10$ см после окончания седьмой недели. Это составляет $10/25 = 0,4$ от восьмой недели. В днях это $(10 / 25) \times 7 = 2,8$ дня. То есть, это произошло через 7 недель и примерно 3 дня. В днях это $7 \times 7 + 3 = 52$-й день.

Ответ: Длина стебля достигла 50 см примерно на 17-й день; 210 см — примерно на 52-й день.

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

Скорость роста — это изменение высоты за неделю. На графике это соответствует наибольшему и наименьшему "наклону" кривой. Вычислим прирост за каждую неделю:

• За 2-ю неделю: $37 - 20 = 17$ см
• За 3-ю неделю: $73 - 37 = 36$ см
• За 4-ю неделю: $100 - 73 = 27$ см
• За 5-ю неделю: $140 - 100 = 40$ см
• За 6-ю неделю: $175 - 140 = 35$ см
• За 7-ю неделю: $200 - 175 = 25$ см
• За 8-ю неделю: $225 - 200 = 25$ см
• За 9-ю неделю: $240 - 225 = 15$ см
• За 10-ю неделю: $250 - 240 = 10$ см
• За 11-ю неделю: $255 - 250 = 5$ см
• За 12-ю неделю: $260 - 255 = 5$ см

Максимальный прирост составил 40 см за 5-ю неделю. Минимальный прирост — 5 см за 11-ю и 12-ю недели.

Ответ: Быстрее всего подсолнух рос в 5-ю неделю, а медленнее всего — в 11-ю и 12-ю недели.

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

Найдем общий прирост за два периода.

Прирост за первые четыре недели (с начала наблюдений до конца 4-й недели): высота в конце 4-й недели составила 100 см. (Предполагая, что в $t=0$ высота была $h=0$).

Прирост за следующие четыре недели (с конца 4-й по конец 8-й недели): $h(8) - h(4) = 225 - 100 = 125$ см.

Сравнивая приросты, видим, что $125 \text{ см} > 100 \text{ см}$.

Ответ: Рост растения был интенсивнее в следующие четыре недели (с 5-й по 8-ю).

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Нам нужно найти момент времени $t$, когда высота подсолнуха $h$ стала больше 152 см.

Посмотрим на таблицу:

• В конце 5-й недели высота была 140 см (ниже Маши).
• В конце 6-й недели высота была 175 см (уже выше Маши).

Это означает, что подсолнух перерос Машу в течение 6-й недели.

Ответ: Подсолнух перерос Машу в течение шестой недели наблюдений.