Страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.1 Автомобиль должен проехать 600 км.

Двигаясь со скоростью $v$ км/ч, он затратит на этот путь $t$ ч. Задайте формулой время движения $t$ как функцию скорости $v$: $t = \frac{600}{v}$. Найдите время движения, если скорость движения равна 40 км/ч; 60 км/ч; 80 км/ч. Найдите скорость движения, если время движения равно 5 ч; 6 ч; 8 ч.

Задайте формулой время движения t как функцию скорости v.

Связь между расстоянием $S$, скоростью $v$ и временем $t$ описывается формулой $S = v \cdot t$. Согласно условию задачи, расстояние, которое должен проехать автомобиль, составляет $S = 600$ км. Чтобы задать время движения $t$ как функцию от скорости $v$, выразим $t$ из основной формулы: $t = \frac{S}{v}$. Подставив в эту формулу значение расстояния, получим искомую зависимость: $t(v) = \frac{600}{v}$.

Ответ: $t = \frac{600}{v}$

Найдите время движения, если скорость движения равна 40 км/ч; 60 км/ч; 80 км/ч.

Воспользуемся полученной формулой $t = \frac{600}{v}$ и подставим в нее каждое из заданных значений скорости.
- При скорости $v = 40$ км/ч, время в пути составит: $t = \frac{600}{40} = 15$ ч.
- При скорости $v = 60$ км/ч, время в пути составит: $t = \frac{600}{60} = 10$ ч.
- При скорости $v = 80$ км/ч, время в пути составит: $t = \frac{600}{80} = 7,5$ ч.

Ответ: 15 ч; 10 ч; 7,5 ч.

Найдите скорость движения, если время движения равно 5 ч; 6 ч; 8 ч.

Для нахождения скорости $v$ преобразуем исходную формулу $S = v \cdot t$ к виду $v = \frac{S}{t}$. Подставив значение расстояния $S = 600$ км, получим $v = \frac{600}{t}$. Теперь подставим в нее заданные значения времени.
- Если время движения $t = 5$ ч, то скорость должна быть: $v = \frac{600}{5} = 120$ км/ч.
- Если время движения $t = 6$ ч, то скорость должна быть: $v = \frac{600}{6} = 100$ км/ч.
- Если время движения $t = 8$ ч, то скорость должна быть: $v = \frac{600}{8} = 75$ км/ч.

Ответ: 120 км/ч; 100 км/ч; 75 км/ч.

9.2 Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника является функцией числа его вершин $n$. Задайте эту функцию формулой. Какова её область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента $n$ и функции $p$:

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

Задайте эту функцию формулой.

Пусть $n$ — число вершин выпуклого многоугольника. Диагональ соединяет две несоседние вершины. Из каждой вершины можно провести $n-1$ отрезок ко всем остальным вершинам. Два из этих отрезков являются сторонами многоугольника, так как они соединяют вершину с соседними. Следовательно, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если умножить количество вершин $n$ на количество диагоналей, исходящих из каждой вершины $(n-3)$, мы получим $n(n-3)$. В этом произведении каждая диагональ будет посчитана дважды (например, диагональ AC и диагональ CA — это одна и та же диагональ). Поэтому, чтобы найти общее число диагоналей $p$, результат нужно разделить на 2.

Таким образом, функция, связывающая число диагоналей $p$ с числом вершин $n$, задается формулой:
$p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$

Ответ: $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$.

Какова её область определения?

Аргумент функции $n$ представляет собой количество вершин многоугольника. Минимальное число вершин, которое может иметь многоугольник, — это три (треугольник). Число вершин также должно быть целым числом. Следовательно, область определения функции — это множество всех натуральных чисел, больших или равных 3.

Ответ: Область определения функции — множество натуральных чисел $n$, где $n \ge 3$. Математически это можно записать как $D(p) = \{n \in \mathbb{N} \mid n \ge 3\}$.

Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента n и функции p:

Используем выведенную формулу $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$ для заполнения пустых ячеек таблицы.

• При $n=5$:
  $p(5) = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$

• При $p=14$ найдем $n$:
  $14 = \frac{n(n-3)}{2}$
  $28 = n(n-3)$
  $n^2 - 3n - 28 = 0$
  Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $n_1=7$ и $n_2=-4$. Так как число вершин не может быть отрицательным, $n=7$.

• При $n=10$:
  $p(10) = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$

• При $p=54$ найдем $n$:
  $54 = \frac{n(n-3)}{2}$
  $108 = n(n-3)$
  $n^2 - 3n - 108 = 0$
  Решим квадратное уравнение через дискриминант:
  $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$
  $n_{1,2} = \frac{3 \pm 21}{2}$
  $n_1 = \frac{3+21}{2} = 12$
  $n_2 = \frac{3-21}{2} = -9$
  Так как число вершин не может быть отрицательным, $n=12$.

Заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

Результаты, полученные в таблице, можно интерпретировать следующим образом:

• Выпуклый многоугольник с 5 вершинами (пятиугольник) имеет 5 диагоналей.

• Выпуклый многоугольник, имеющий 14 диагоналей, обладает 7 вершинами (это семиугольник).

• Выпуклый многоугольник с 10 вершинами (десятиугольник) имеет 35 диагоналей.

• Выпуклый многоугольник, имеющий 54 диагонали, обладает 12 вершинами (это двенадцатиугольник).

Ответ: Каждая пара значений $(n, p)$ в таблице соответствует конкретному выпуклому многоугольнику, где $n$ — это количество его вершин, а $p$ — количество его диагоналей.

9.3 Дана функция $y = f(x)$; где $f(x) = x^2 - 2x$.

а) Найдите значения функции для значений аргумента, равного: -2; -1; 0; 1; 2. Заполните таблицу для значений аргумента и значений функции.

б) Используя функциональную символику, запишите утверждение: если значение аргумента равно 5, значение функции равно 0. Верно ли это утверждение?

в) Сравните $f(-5)$ и $f(5)$.

г) Найдите значение аргумента, при котором функция принимает значение, равное 8.

а)

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 2x$.

Чтобы найти значения функции для заданных значений аргумента, необходимо подставить каждое значение $x$ в формулу функции:

• При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 4 + 4 = 8$.
• При $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.
• При $x = 0$: $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
• При $x = 1$: $f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.
• При $x = 2$: $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.

Заполним таблицу для значений аргумента и значений функции:

Ответ: Значения функции для аргументов -2, -1, 0, 1, 2 равны 8, 3, 0, -1, 0 соответственно. Таблица заполнена выше.

б)

Утверждение "если значение аргумента равно 5, значение функции равно 0" с использованием функциональной символики записывается как $f(5) = 0$.

Чтобы проверить верность этого утверждения, найдем значение функции при $x = 5$:

$f(5) = 5^2 - 2 \cdot 5 = 25 - 10 = 15$.

Так как $f(5) = 15$, а не 0, то данное утверждение неверно.

Ответ: $f(5) = 0$. Утверждение неверно.

в)

Чтобы сравнить $f(-5)$ и $f(5)$, найдем значения функции для этих аргументов.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $f(5) = 15$.

Теперь найдем значение $f(-5)$:

$f(-5) = (-5)^2 - 2 \cdot (-5) = 25 + 10 = 35$.

Сравним полученные значения: $35$ и $15$.

Поскольку $35 > 15$, то $f(-5) > f(5)$.

Ответ: $f(-5) > f(5)$.

г)

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает значение, равное 8, нужно решить уравнение $f(x) = 8$.

$x^2 - 2x = 8$

Перенесем 8 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$.

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверим: $4 + (-2) = 2$ и $4 \cdot (-2) = -8$. Корни найдены верно.

Следовательно, функция принимает значение 8 при двух значениях аргумента.

Ответ: $x = -2$ и $x = 4$.

9.4 Дана функция $y = f(x)$. Найдите: $f(-10), f(0), f(8)$.

a) $f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \ge 0, \\ 0 \text{ при } x < 0; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 0, \\ -x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 0, \\ 0 & \text{при } x < 0. \end{cases}$
Для нахождения значения функции в точке, нужно определить, какому условию ($x \ge 0$ или $x < 0$) удовлетворяет аргумент, и подставить его в соответствующую формулу.

Найдем $f(-10)$.
Поскольку аргумент $x = -10$, выполняется условие $x < 0$. Значит, мы используем вторую ветвь определения функции: $f(x) = 0$. Таким образом, $f(-10) = 0$.

Найдем $f(0)$.
Поскольку аргумент $x = 0$, выполняется условие $x \ge 0$. Значит, мы используем первую ветвь определения функции: $f(x) = x$. Таким образом, $f(0) = 0$.

Найдем $f(8)$.
Поскольку аргумент $x = 8$, выполняется условие $x \ge 0$. Значит, мы используем первую ветвь определения функции: $f(x) = x$. Таким образом, $f(8) = 8$.

Ответ: $f(-10) = 0, f(0) = 0, f(8) = 8$.

б) Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } x < 0. \end{cases}$
Действуем аналогично предыдущему пункту.

Найдем $f(-10)$.
Поскольку аргумент $x = -10$, выполняется условие $x < 0$. Используем вторую формулу: $f(x) = -x$. Подставляем значение: $f(-10) = -(-10) = 10$.

Найдем $f(0)$.
Поскольку аргумент $x = 0$, выполняется условие $x \ge 0$. Используем первую формулу: $f(x) = x^2$. Подставляем значение: $f(0) = 0^2 = 0$.

Найдем $f(8)$.
Поскольку аргумент $x = 8$, выполняется условие $x \ge 0$. Используем первую формулу: $f(x) = x^2$. Подставляем значение: $f(8) = 8^2 = 64$.

Ответ: $f(-10) = 10, f(0) = 0, f(8) = 64$.