Страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9 На примере системы уравнений $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом сложения.

Метод сложения для решения систем линейных уравнений заключается в том, чтобы путём преобразований уравнений исключить одну из переменных. Для этого добиваются того, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами. Затем уравнения почленно складывают, что приводит к уравнению с одной переменной.

Продемонстрируем этот метод на примере системы:

Шаг 1: Подготовка к сложению

Цель этого шага — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. В данной системе коэффициенты при переменной $y$ равны $-1$ (в первом уравнении) и $+2$ (во втором). Чтобы они стали противоположными, достаточно умножить все члены первого уравнения на $2$.

Умножим первое уравнение $2x - y = 3$ на $2$:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 3$

$4x - 2y = 6$

Теперь система уравнений приобрела вид, удобный для сложения:

Шаг 2: Сложение уравнений

Теперь выполним почленное сложение левых и правых частей уравнений системы:

$(4x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 16$

При сложении слагаемые $-2y$ и $+2y$ взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение, содержащее только одну переменную $x$:

$4x + 7x = 22$

$11x = 22$

Шаг 3: Нахождение значения одной переменной

Решим полученное простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 4: Нахождение значения второй переменной

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем найти $y$, подставив $x=2$ в любое из исходных уравнений. Например, подставим в первое уравнение $2x - y = 3$:

$2(2) - y = 3$

$4 - y = 3$

Перенесем $4$ в правую часть:

$-y = 3 - 4$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, мы нашли решение системы: $x=2$, $y=1$.

Шаг 5: Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденную пару чисел $(2; 1)$ в оба исходных уравнения.

Проверка для первого уравнения: $2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Равенство $3=3$ верное.

Проверка для второго уравнения: $7(2) + 2(1) = 14 + 2 = 16$. Равенство $16=16$ верное.

Оба равенства верны, значит, система решена правильно.

Ответ: $(2; 1)$

10 На примере системы уравнений $\begin{cases} 3x - 4y = 5, \\ x - 3y = 0 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом подстановки.

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную из одного уравнения системы и подставить это выражение в другое уравнение. Это позволяет свести систему из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной. Рассмотрим этот метод на примере системы: $ \begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ x - 3y = 0 \end{cases} $

Шаг 1. Выразить одну переменную через другую.
Посмотрим на оба уравнения. Во втором уравнении, $x - 3y = 0$, переменная $x$ имеет коэффициент 1, поэтому ее легче всего выразить. Перенесем $-3y$ в правую часть уравнения, изменив знак.
$x = 3y$
Ответ: Мы получили выражение для $x$ через $y$: $x = 3y$.

Шаг 2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.
Теперь возьмем первое уравнение системы, $3x - 4y = 5$, и вместо переменной $x$ подставим полученное на первом шаге выражение $3y$. Важно подставлять выражение в скобках, чтобы не ошибиться в вычислениях.
$3(3y) - 4y = 5$
Таким образом, мы получили уравнение с одной переменной $y$.
Ответ: Уравнение после подстановки: $3(3y) - 4y = 5$.

Шаг 3. Решить полученное уравнение.
Решим уравнение $3(3y) - 4y = 5$ относительно переменной $y$.
Раскроем скобки: $9y - 4y = 5$
Приведем подобные слагаемые: $5y = 5$
Найдем $y$: $y = \frac{5}{5}$
$y = 1$
Ответ: Мы нашли значение переменной $y$: $y = 1$.

Шаг 4. Найти значение второй переменной.
Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем найти значение $x$. Для этого вернемся к выражению, которое мы получили на первом шаге: $x = 3y$. Подставим в него найденное значение $y=1$.
$x = 3 \cdot 1$
$x = 3$
Ответ: Мы нашли значение переменной $x$: $x = 3$.

Шаг 5. Записать ответ.
Решением системы уравнений является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(3; 1)$.
Для уверенности можно выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
1) $3(3) - 4(1) = 9 - 4 = 5$. (Верно)
2) $3 - 3(1) = 3 - 3 = 0$. (Верно)
Оба уравнения обратились в верные равенства, значит, система решена правильно.
Ответ: $(3; 1)$.

11 Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases}$;

2) $\begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8 \end{cases}$;

3) $\begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -24 \end{cases}$.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными графически представляет собой две прямые на плоскости. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих прямых. Возможны три случая:

• Единственное решение: прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны.
• Нет решений: прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью y — различны.
• Бесконечное множество решений: прямые совпадают. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью y у них одинаковы.

Для анализа приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – смещение по оси y.

1) Рассмотрим систему $\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 6x - 2y = 10; \end{cases}$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

Первое уравнение: $3x - y = 5 \implies -y = -3x + 5 \implies y = 3x - 5$.
Угловой коэффициент $k_1 = 3$, смещение $b_1 = -5$.

Второе уравнение: $6x - 2y = 10 \implies -2y = -6x + 10 \implies y = \frac{-6x + 10}{-2} \implies y = 3x - 5$.
Угловой коэффициент $k_2 = 3$, смещение $b_2 = -5$.

Поскольку $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, графики уравнений (прямые) полностью совпадают.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

2) Рассмотрим систему $\begin{cases} 4x - y = 8, \\ 8x - y = 8; \end{cases}$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

Первое уравнение: $4x - y = 8 \implies -y = -4x + 8 \implies y = 4x - 8$.
Угловой коэффициент $k_1 = 4$, смещение $b_1 = -8$.

Второе уравнение: $8x - y = 8 \implies -y = -8x + 8 \implies y = 8x - 8$.
Угловой коэффициент $k_2 = 8$, смещение $b_2 = -8$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: система имеет единственное решение.

3) Рассмотрим систему $\begin{cases} y = 3x + 9, \\ 6x - 2y = -24; \end{cases}$

Первое уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$.
Угловой коэффициент $k_1 = 3$, смещение $b_1 = 9$.

Приведем второе уравнение к этому виду: $6x - 2y = -24 \implies -2y = -6x - 24 \implies y = \frac{-6x - 24}{-2} \implies y = 3x + 12$.
Угловой коэффициент $k_2 = 3$, смещение $b_2 = 12$.

Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а смещения различны ($b_1 \neq b_2$), прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

1 Найдите какие-нибудь два решения уравнения $7x + 2y = 14$.

Для нахождения решений уравнения $7x + 2y = 14$ необходимо найти пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому равенству. Это линейное уравнение с двумя переменными, и оно имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти два из них, можно поочередно задавать произвольное значение одной переменной и вычислять значение другой.

Первое решение

Давайте выберем для переменной $x$ значение $0$. Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:
$7 \cdot 0 + 2y = 14$
$0 + 2y = 14$
$2y = 14$
Разделим обе части уравнения на 2:
$y = \frac{14}{2}$
$y = 7$
Таким образом, когда $x=0$, $y=7$. Первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(0; 7)$.
Ответ: $(0; 7)$

Второе решение

Теперь выберем значение для переменной $y$. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$7x + 2 \cdot 0 = 14$
$7x + 0 = 14$
$7x = 14$
Разделим обе части уравнения на 7:
$x = \frac{14}{7}$
$x = 2$
Таким образом, когда $y=0$, $x=2$. Вторая пара чисел, являющаяся решением, — это $(2; 0)$.
Ответ: $(2; 0)$

2 Является ли решением уравнения $xy - x = 18$ пара чисел: $(-3; -5)$, $(-5; -3)$, $(2; 10)$?

Для того чтобы определить, является ли пара чисел решением уравнения $xy - x = 18$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли полученное равенство.

(-3; -5)
Подставим в уравнение значения $x = -3$ и $y = -5$:
$(-3) \cdot (-5) - (-3) = 15 + 3 = 18$.
В результате получили верное равенство: $18 = 18$.
Ответ: да, является решением.

(-5; -3)
Подставим в уравнение значения $x = -5$ и $y = -3$:
$(-5) \cdot (-3) - (-5) = 15 + 5 = 20$.
В результате получили неверное равенство, так как $20 \neq 18$.
Ответ: нет, не является решением.

(2; 10)
Подставим в уравнение значения $x = 2$ и $y = 10$:
$2 \cdot 10 - 2 = 20 - 2 = 18$.
В результате получили верное равенство: $18 = 18$.
Ответ: да, является решением.

3 Проходит ли прямая $3x - 4y = 48$ через точку A(20; 2); через точку B(24; 6)?

Чтобы проверить, проходит ли прямая через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки (x и y) в уравнение прямой. Если получится верное равенство, то точка принадлежит прямой.

Уравнение прямой: $3x - 4y = 48$.

через точку A(20; 2)
Подставляем координаты точки $A(20; 2)$, где $x=20$ и $y=2$, в уравнение прямой:
$3 \cdot 20 - 4 \cdot 2 = 48$
$60 - 8 = 48$
$52 = 48$
Полученное равенство неверно ($52 \neq 48$), следовательно, прямая не проходит через точку A.

Ответ: нет.

через точку B(24; 6)
Подставляем координаты точки $B(24; 6)$, где $x=24$ и $y=6$, в уравнение прямой:
$3 \cdot 24 - 4 \cdot 6 = 48$
$72 - 24 = 48$
$48 = 48$
Полученное равенство верно, следовательно, прямая проходит через точку B.

Ответ: да.

4 Вычислите координаты точек пересечения прямой $4x - 5y = 10$ с осями координат.

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осями координат, нужно поочередно найти точки, в которых одна из координат равна нулю.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)
Точка пересечения с осью абсцисс имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Подставим значение $y = 0$ в уравнение прямой $4x - 5y = 10$:
$4x - 5 \cdot 0 = 10$
$4x = 10$
$x = \frac{10}{4} = 2.5$
Следовательно, координаты точки пересечения с осью Ox равны $(2.5; 0)$.
Ответ: $(2.5; 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy)
Точка пересечения с осью ординат имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим значение $x = 0$ в уравнение прямой $4x - 5y = 10$:
$4 \cdot 0 - 5y = 10$
$-5y = 10$
$y = \frac{10}{-5} = -2$
Следовательно, координаты точки пересечения с осью Oy равны $(0; -2)$.
Ответ: $(0; -2)$.

5 Постройте график уравнения:

a)$9x - 3y = 6;$

б)$y = -4x + 2;$

в)$y = \frac{1}{3}x;$

г)$y = -x;$

д)$y = -5;$

е)$x = 4.$

а) Графиком уравнения $9x-3y=6$ является прямая линия, так как это линейное уравнение с двумя переменными. Для построения прямой необходимо найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению.

1. Сначала преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$ (приведем к виду $y=kx+b$):
$9x-3y=6$
$-3y = 6-9x$
$y = \frac{6-9x}{-3}$
$y = -2+3x$
или $y = 3x-2$.

2. Теперь найдем координаты двух точек, подставляя произвольные значения $x$.
Если $x=0$, то $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
Если $x=2$, то $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.

3. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -2)$ и $(2, 4)$ и проводим через них прямую. Эта прямая и есть график уравнения $9x-3y=6$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -2)$ и $(2, 4)$.

б) Уравнение $y=-4x+2$ уже представлено в виде линейной функции $y=kx+b$. Его график — прямая линия. Найдем две точки для ее построения.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $y$). Для этого примем $x=0$:
$y = -4 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.

2. Найдем вторую точку. Возьмем, например, $x=1$:
$y = -4 \cdot 1 + 2 = -4 + 2 = -2$. Получаем точку $(1, -2)$.

3. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 2)$ и $(1, -2)$ и соединяем их прямой.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(1, -2)$.

в) Уравнение $y=\frac{1}{3}x$ задает прямую пропорциональность. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат — точку $(0, 0)$.

1. Первая точка нам уже известна: $(0, 0)$.

2. Для нахождения второй точки выберем значение $x$ так, чтобы было удобно считать. Возьмем $x=3$:
$y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

3. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(3, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через начало координат и точку $(3, 1)$.

г) Уравнение $y=-x$ также является частным случаем линейной функции и задает прямую пропорциональность. График — прямая, проходящая через начало координат.

1. Первая точка — начало координат $(0, 0)$.

2. Найдем вторую точку, взяв, например, $x=2$:
$y = -2$. Получаем точку $(2, -2)$.

3. Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, -2)$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, -2)$.

д) Уравнение $y=-5$ задает прямую, на которой все точки имеют ординату (координату $y$) равную -5, при любом значении абсциссы (координаты $x$).

Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$) и проходит через точку $(0, -5)$ на оси ординат.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

е) Уравнение $x=4$ задает прямую, на которой все точки имеют абсциссу (координату $x$) равную 4, при любом значении ординаты (координаты $y$).

Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, которая параллельна оси ординат (оси $Oy$) и проходит через точку $(4, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(4, 0)$.

6 Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 5x + 2y = 8, \\ 3x - y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 4y = 13, \\ 5x + 2y = 17. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 8, \\ 3x - y = 7. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Сначала выразим переменную y из второго уравнения:

$3x - y = 7$

Перенесем $3x$ в правую часть:

$-y = 7 - 3x$

Умножим обе части уравнения на -1:

$y = 3x - 7$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$5x + 2(3x - 7) = 8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:

$5x + 6x - 14 = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$11x - 14 = 8$

Перенесем -14 в правую часть:

$11x = 8 + 14$

$11x = 22$

Найдем x:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Теперь, зная значение x, найдем соответствующее значение y, подставив $x=2$ в ранее полученное выражение $y = 3x - 7$:

$y = 3 \cdot 2 - 7$

$y = 6 - 7$

$y = -1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 13, \\ 5x + 2y = 17. \end{cases} $

Эту систему удобно решать методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$-2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 17$

$-10x - 4y = -34$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 13, \\ -10x - 4y = -34. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений системы:

$(3x + 4y) + (-10x - 4y) = 13 + (-34)$

$3x - 10x + 4y - 4y = 13 - 34$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x = -21$

Найдем x:

$x = \frac{-21}{-7}$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти y:

$5x + 2y = 17$

$5 \cdot 3 + 2y = 17$

$15 + 2y = 17$

Перенесем 15 в правую часть:

$2y = 17 - 15$

$2y = 2$

Найдем y:

$y = 1$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(3; 1)$.

Ответ: $(3; 1)$.

7 Вычислите координаты точки пересечения прямых $3x - y = 2$ и $2x - y = 3$.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо решить систему уравнений, которые задают эти прямые. Составим систему из данных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения, а именно — вычитанием. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $y$.

$(3x - y) - (2x - y) = 2 - 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x - y - 2x + y = -1$

$x = -1$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Подставим, например, в первое уравнение $3x - y = 2$:

$3 \cdot (-1) - y = 2$

$-3 - y = 2$

Перенесем $-3$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-y = 2 + 3$

$-y = 5$

$y = -5$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: $(-1; -5)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

1. Проверка для прямой $3x - y = 2$: $3(-1) - (-5) = -3 + 5 = 2$. Равенство выполняется.

2. Проверка для прямой $2x - y = 3$: $2(-1) - (-5) = -2 + 5 = 3$. Равенство также выполняется.

Так как оба равенства верны, решение найдено правильно.

Ответ: $(-1; -5)$

8 Составьте систему уравнений и решите задачу. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 280 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 210 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?

Для решения задачи можно составить следующую систему уравнений:

$\begin{cases}3k + 5a = 280 \\6k + 3a = 210\end{cases}$

Для решения задачи необходимо составить и решить систему уравнений. Введем переменные:

Пусть $x$ — стоимость одного карандаша в рублях.
Пусть $y$ — стоимость одной авторучки в рублях.

Исходя из условий задачи, составим уравнения:

1. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 280 рублей. Это можно записать как:$3x + 5y = 280$

2. Шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 210 рублей. Это можно записать как:$6x + 3y = 210$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$\begin{cases} 3x + 5y = 280 \\ 6x + 3y = 210\end{cases}$$

Решение:

Решим данную систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях стали противоположными числами.$$-2 \cdot (3x + 5y) = -2 \cdot 280 \\-6x - 10y = -560$$

Теперь система выглядит следующим образом:$$\begin{cases} -6x - 10y = -560 \\ 6x + 3y = 210\end{cases}$$

Сложим левые и правые части уравнений:$$(-6x - 10y) + (6x + 3y) = -560 + 210 \\-7y = -350$$

Теперь найдем значение $y$:$$y = \frac{-350}{-7} \\y = 50$$Следовательно, стоимость одной авторучки составляет 50 рублей.

Подставим найденное значение $y=50$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти стоимость карандаша $x$:$$3x + 5(50) = 280 \\3x + 250 = 280 \\3x = 280 - 250 \\3x = 30 \\x = \frac{30}{3} \\x = 10$$Следовательно, стоимость одного карандаша составляет 10 рублей.

Ответ: карандаш стоит 10 рублей, а авторучка — 50 рублей.